一類二階有理差分方程解的漸近性研究

周敬人，王麗，鄭浩森，全衛貞，黃日娣

差分方程是用來刻畫自然和社會系統按照離散時間演化規律的重要數學工具.由于現代技術的快速發展，差分方程的理論知識在各個領域都有著大量的應用，比如，經濟分析、生態、數學、計算機等領域都用到了差分方程理論.近些年，有理差分方程引起了廣大學者的注意，其中對高階有理差分方程解的性質的研究具有極高的理論和應用價值.因為其形式簡單，所以常使人誤認為簡單；事實上，對比有理差分方程，線性差分方程的求解理論相對成熟，但對有理差分方程的精確解卻還在研究階段.這些方程看似簡單，但其解卻展示出許多復雜的性質.近年來，學者們取得了諸多研究成果［1?6］.

陳云［1］研究了幾類有理差分方程的解的漸近性，并給出了平衡解是匯點、源點、鞍點、非雙曲點的充要條件.廖百安等［2］研究了一類有理差分方程的奇點集和解的漸近性，并根據方程系數的不同取值，得到不同的奇點集和解的不同性質.楊倩等［3］對一類特殊的三階有理差分方程組的解進行了研究，給出了這一類有理差分方程組具有非零初值的公式解.陳韋韋［4］給出了一類含有二次項的高階有理差分方程的奇點集及解的表達式，并討論了該方程解的全局行為.ELSAYED［5］給出了求有理差分方程二、三周期解的新方法.SEDAGHAT［6］研究了一類二次項的二階和三階有理差分方程的全局行為.

本文將研究二階有理差分方程

的解的漸近性，其中a，b，c∈R+，初始值x?1，x0∈R+.

1 預備知識

考慮如下二階有理差分方程：

其中：a,b,c∈R+，初始值x?1，x0∈R+.

定義1 稱是差分方程（1）的平衡解，如果滿足

定義2 由二階差分方程

得到函數f(u,v)，令，稱

為上述差分方程的特征方程，稱此特征方程的根為特征根.

定理1［1］①若特征方程（2）兩個根的絕對值都小于1，則差分方程（1）的平衡解是局部漸近穩定的.

②若特征方程（2）至少有一個根的絕對值大于1，則差分方程（1）的平衡解是不穩定的.

③若特征方程（2）沒有模為1 的根，則差分方程（1）的平衡解為雙曲的，否則稱為非雙曲的.

④若平衡解為雙曲的，且特征方程（2）存在一個根的絕對值大于1，一個根的絕對值小于1，則差分方程（1）的平衡解為鞍點.

定理2［1］①若，則差分方程（1）的平衡解是局部漸近穩定的，且稱為匯點.

②若|a1|>1，|a0|<|1 ?a1|，則差分方程（1）的平衡解是不穩定的，且稱為排斥點.

③若+4a1>0，|a0|>|1 ?a1|，則差分方程（1）的平衡解是不穩定的，且稱為匯點.

④若|a0|=|1 ?a1|，則差分方程（1）的平衡解稱為非雙曲點.

定理3［7］（Routh?Hurwitz 判別法）

假設實系數多項式方程

于是其所有根具有負實部的充要條件是Δk>0，k=1,2,…,n，其中Δk是n階矩陣

的k階主子式.

定理4［7］（Schur?Cohn 判別法）

方程

所有的根具有負實部.

2 主要結果

在本文，用差分方程的動力學定理、Routh?Hurwitz 和Schur?Cohn 判別法研究二階差分方程（1）的解的漸近性.

先求差分方 程（1）的平衡解，令=.通過計算，可得差分方程（1）的兩個平衡解為=0 和

定理5 ①若0

②若a>1時，差分方程（1）的平衡解=0 是不穩定的.

③若a=1時，差分方程（1）的平衡解=0 為非雙曲點.

證明 考慮平衡解=0.

a0==fv(0,0)=0，可得特征方程λ2?aλ?0=0，特征根為λ1=0，λ2=a.

由定理1 可知，若0 1時，一個特征根大于1，一個特征根小于1，所以差分方程（1）的平衡解=0 是不穩定的且為鞍點；若a=1時，差分方程（1）的平衡解=0 為非雙曲點.

從而可得特征方程

同理，解得

①當0

證明①考慮平衡解=0，由定理6 的證明過程已知其 特征方程為λ2?aλ=0，即p(λ)=λ2?aλ=0，則，可得關于z的方程

(1 ?a)z2+2z+1 +a=0，從而可得a0=1 ?a，a1=2，a2=1 +a.

由定理3，得二階矩陣

此矩陣的兩個主子式分別為Δ1=a1=2，Δ2=a1a2=(1 ?a)(a+1)，由Δ1>0，Δ2>0 解得?1

所以當0

整理可得：

其中：a0=1 ?a?2+2ab?a2b，a1=2a+(4a?8a+4a2)b，a2=3 ?a+(?3+6a?3a2)b.

由定理3 得二階矩陣如下：

此矩陣的兩個主子式分別為Δ1=a1=2a+(4a?8a+4a2)b，Δ2=[2a+(4a?8a+4a2)b]·[3 ?a+(?3+6a?3a2)b].

3 結語

文章采用了差分方程的動力學定理、Routh?Hurwitz 和Schur?Cohn 判別法這兩種不同的方法研究了二階有理差分方程xn+1=的動力學性質，給出了平衡解是匯點、排斥點、非雙曲點、鞍點的條件.