MFC驅動主動反射器形面的有限時間動態變形控制

2023-02-27 13:14:46盧志榮王曉明周文雅

振動與沖擊 2023年4期

關鍵詞：變形

盧志榮，王曉明，周文雅

(1. 廣州大學機械與電氣工程學院，廣州 510006； 2. 大連理工大學航空航天學院，遼寧大連 116024)

衛星通信、空間探索以及射電天文學等領域的飛速發展，對反射器天線的輻射頻率和增益提出了越來越高的要求[1]。為實現高增益信號傳輸，需要天線反射器形面具有很高的幾何精度[2]。然而，天線反射器易受制造裝配誤差、在軌熱載荷等復雜因素影響，產生形面變形，從而極大影響信號傳輸精度[3-5]。為此，結合智能驅動器(如壓電材料)實現反射器在軌形面主動控制，已經成為提高反射器性能的關鍵技術之一。

國內外學者在利用壓電作動器進行反射器的靜態形面主動控制方面開展了研究工作。孫國鐘等研究了一種基于前饋補償算法提高壓電纖維執行器控制拋物面天線的精度的控制方法。黃志榮等[6]對可調整反射器方向的研究進行調研，并對三種結構形式的可調整反射器和三種調整點布置方法進行分析。宋祥帥等[7]研究了一種通過影響系數矩陣法(influence coefficient matrix, ICM)與最小二乘法并用壓電陶瓷作動器使主控格柵反射器的均方根誤差最小的主動控制方法。伍科等[8]提出了一種使CFPR格柵反射器殘余誤差最小的形面控制器設計方法，并對PZT作動器的布置及電壓進行了優化。張順琦等[9]建立了壓電智能薄壁結構在強致動電壓的條件下的大轉角變形的非線性模型，并通過仿真發現電致材料的非線性因素在強致動電壓下對結構變形有重要影響。Jiang等[10]提出了一種形狀記憶索網的結構，并研究了一種運用該結構提高索網天線在軌的表面精度的主動控制方法。Xun等[11]提出了一種用壓電陶瓷作動器對大型索網天線的主動控制方案，該方案采用了一種針對大尺寸形狀控制問題的新型快速模型預測控制算法。Song等[12]提出了一種提高壓電陶瓷作動器對天線反射面的主動控制精度的方案，該方案采用了一種基于影響系數矩陣模型的閉環迭代形狀控制方法。Song等[13]提出了一種反饋誤差學習(feedback error learning,FEL)的形狀控制方法，該算法能有效提高運用壓電陶瓷作動器控制天線反射面的形狀精度，與運用影響系數矩陣模型的方法相比，降低了模型誤差對形狀控制精度的影響。Huang等[14]提出了一種天線反射面的主動控制方法，該方法采用徑向基函數(radial basis function,RBF)神經網絡進行誤差分析，能在短時間內減小反射器的形狀誤差。

需要指出的是，目前的反射器形面主動控制大多聚焦于靜態或準靜態形面控制，而較少考慮形面控制的動態過程。隨著天線尺寸增大、材料變輕，反射器整體結構柔性效應愈加顯著，從而導致一些簡單、隨意性的控制電壓加載方式(如階躍式、斜坡式信號等)反而會激發附加的或者伴隨的結構瞬態振動，并產生明顯的殘余振動[15-16]。另一方面，當前的對地觀測、衛星通訊等對控制過程的時效性提出了更高的要求，通常期望反射器能在盡量短的有限時間內完成形面精度調整，這就使得傳統基于漸進穩定理論的無限時間控制理論(如LQR等)難以滿足控制需求[17]。因此，設計面向反射器動態形面的有限時間控制律，并保證形面調節過程附加振動的最小化，是一項新的研究課題。王曉明等前期研究了基于二次規劃的有限時間開環控制算法，驗證了可通過優化作動器電壓加載軌跡減小附加振動的可行性，但純開環控制系統的抗干擾性較差，有必要引入閉環控制環節。這對于反射器形面的動態變形控制律設計提出了新的要求。

本文以基于分布式壓電纖維驅動器的拋物面形主動反射器為例，開展有限時間動態形面控制問題研究。基本思路是，建立面向控制的主動反射器動力學方程，并將動態形面控制問題轉化為有限時間的時變LQ終端和跟蹤控制問題，進而通過求解對應的微分Riccati方程，得到時變控制律；最后，通過仿真算例驗證控制算法的有效性。

1 MFC驅動固面反射器有限元建模

1.1 模型描述

反射器結構的模型如圖1(a)所示。反射器本體為拋物面形結構，中心區域為固定約束區域。采用宏纖維復合材料(macro fiber composite，MFC)[18]作為壓電驅動器，其內部結構如圖1(b)所示。在反射器下表面沿徑向粘貼8個P1型MFC壓電纖維作動器，因此其壓電纖維朝向為徑向。此外，為便于測量反射器形面變形和反饋控制，在結構上表面粘貼應變傳感器。反射器模型與MFC壓電作動器的幾何、材料參數，如表1所示。

圖1 反射器結構圖與MFC作動器Fig.1 Reflector structure diagram and MFC actuator

表1 反射器模型與MFC作動器參數Tab.1 Parameters of reflector modal and MFC actuator

1.2 反射器有限元模型

研究中結合有限元法、壓電驅動的載荷比擬法、均勻化方法等手段，建立主動反射器的動力學模型。結構整體有限元網格如圖2所示。此外，由于鋪設的分布式MFC作動器會改變了反射器局部的剛度和質量特性，研究中利用復合材料層合板理論計算含MFC鋪層單元的剛度矩陣和質量矩陣[19]。

圖2 反射器結構有限元網格Fig.2 Finite element mesh of reflector structure

根據哈密頓原理可以導出單元的動力學方程[20]。其中不含MFC鋪層單元和含MFC鋪層單元的動力學方程可分別表示為

(1)

(2)

Fp=KuφV

(3)

其中

(4)

式中：B1與B2分別為應變-位移矩陣和電場-電勢矩陣;V為電壓值；e為壓電應力系數矩陣。于是，采用等效比擬載荷后，在結構模型中只需考慮壓電材料的力學特性，將等效載荷施加到單元邊界即可，從可以減少有限元單元規模、提高計算效率。

總體剛度矩陣和質量矩陣由不含MFC鋪層單元與含MFC鋪層單元的剛度矩陣和質量矩陣構成。通過對所有單元的剛度矩陣和質量矩陣進行組裝，整體的有限元方程可表示為

(5)

式中：d為節點位移向量;M,K分別為整體質量矩陣和剛度矩陣;Fu為作動器電壓-載荷矩陣;u為作動器加載的電壓向量。令m為所用模態數，n為MFC作動器數量，k為反射器模型未固定的節點數，M,K皆為維數6k×6k矩陣，Fu為維數6k×n矩陣，d為維數6k×1矩陣。

1.3 狀態空間模型

由于有限元模型的節點數與單元數過多，致使質量矩陣與剛度矩陣的階數過大，不便于進行控制律設計。研究中引入模態坐標變換，運用模態分解法對模型進行降階處理，即

d=Φq

(6)

式中：Φ為振型矩陣；q為廣義坐標向量，即對應模態在動力學響應中的分量。Φ為維數6k×m矩陣，q為維數m×1矩陣。

將上式代入式(5)，并在式子的兩端左乘ΦT，再進行整理可得

(7)

(8)

式中：A和B分別為系統性質矩陣和控制輸入矩陣，A為維數2m×2m矩陣,B為維數2m×n矩陣;x為維數2m×1矩陣;u為維數n×1矩陣。

為便于觀測反射器形面變形狀態，研究中以結構邊緣節點P(見圖1)的撓度為控制輸入出量

z=C1x

(9)

式中：z為節點P的撓度;C1為輸出矩陣。C1為維數1×2m矩陣。

此外，為構成閉環控制，將應變傳感器信號作為反饋量，即

y=C2x

(10)

式中：y為傳感器反饋信號列陣；C2為對應輸出矩陣。

2 反射器靜態形面控制

在軌運行過程中，天線反射器易受裝配誤差、熱載荷、輻射等因素影響，產生結構變形和形面誤差，從而降低天線傳輸信號的精度。因此，可以通過主動控制方式消除不利變形、恢復或提高形面精度；另一方面，也可以通過主動地驅動反射器結構變形，實現調節反饋增益、覆蓋面積等可重構天線功能。不論對于哪種控制需求，其目的均是將反射器形面從一個初始變形狀態x0轉移至另一個預期變形狀態xf。為便于開展分析和對比，研究中將反射器初始條件定義為未變形狀態，以結構第一階模態為變形形式，并通過邊緣節點P的面外撓度值作為觀測量。

設節點P的預期撓度為zf，根據式(8)和式(9)得出作動器終端加載電壓的計算式為

uf=-(C1A-1B)?zf

(11)

式中：“?”為矩陣的偽逆;uf為作動器終端穩態加載電壓值。

設預期撓度為zf=0.5 mm，則各MFC作動器的終端穩態電壓值為

uf=[449.2 96.8 -448.4 -96.6
335.2 96.8 -448.2 -97]T

(12)

由于觀測點為邊緣節點P，作動器的電壓加載量呈對稱式分布。根據圖1(a)與式(12)可看出，2,8、3，7和4，6的作動器電壓相對應。

圖3給出了控制前后的反射器形面變形云圖。可以看出，在MFC作動器的驅動下，實現了預期的變形狀態。需要注意的是，實際控制過程中可以以整體形面誤差RMS為控制需求，計算作動器穩態電壓，其計算過程與上述類似。

需要注意的是，上述靜態形面控制僅考慮了系統初始和終端兩個狀態，而沒有考慮系統的動態響應過程，即不考慮時間因素的影響。然而，如前所述，隨著天線尺寸增大、材料變輕，反射器結構柔性效應愈加顯著，在變形調節過程中極易產生非期望的附加瞬態動力學響應和殘余振動。圖4分別給出了階躍式、斜坡式和正弦式電壓加載信號，以及對應加載信號下反射器邊緣節點P撓度的時間響應歷程。可以看出，在階躍式電壓輸入下，結構產生了劇烈的周期性振蕩；采用斜坡式、正弦式電壓輸入后，結構振動幅值一定程度減小，但仍然存在明顯瞬態或殘余振動。由于在軌環境阻尼小，結構振動難以短時間內得到消除或衰減，不僅難以達到提高形面精度目的，甚至會降低整體反射性能和系統穩定性。因此，對于高精度、大柔性的反射器結構形面控制，必須考慮變形過程的時間因素，即設計動態形面控制律，實現快速、平穩的控制效果。

圖3 反射器靜態形面變形控制的初態與終態Fig.3 Initial and final states of reflector static surface deformation control

圖4 不同電壓加載方式的動態響應Fig.4 Dynamic response of different voltage loading mode

3 有限時間的時變LQ控制算法

反射器動態形面控制是一個有限時間控制問題，控制過程不存在基準狀態，因此有別于常規的基于無限時間的定常控制律(如LQR)設計。為此，研究中采用有限時間的時變LQ終端控制和跟蹤算法設計動態控制律。

3.1 終端控制

時變LQ終端控制可以描述為尋求最優的電壓加載軌跡u(t)使得系統在終端時刻tf達到預期狀態xf，并極小化如下性能指標

(13)

式中：Q,R為正定加權矩陣;tf為系統到達終態的時間。Q為狀態量的加權矩陣，R為控制輸入量的加權矩陣，通過調節Q和R能夠使系統在動態控制效果與耗能之間進行權衡。可以看出，LQ終端控制問題的性能指標與常規LQR調節問題的主要區別在于目標函數的積分上限為tf，而非無限時間。

為了確保系統能精確地到達終端狀態，引入終端條件的誤差變量ef=x(tf)-xf，并將其作為懲罰項加入性能指標J式(13)中，可得

(14)

式中，Qf為終端誤差的正定加權矩陣，Qf越大，系統在tf時與所期望的終端狀態量越接近。

通過采用Riccati矩陣變化的方法，求得反饋-前饋的控制輸入如下

u(t)=-Kx(t)x(t)+Kψ(t)ψ=

-Kx(t)x(t)+uf(t)

(15)

式中：uf(t)KΨ(t)Ψ;Kx(t)為反饋矩陣;uf(t)為前饋矩陣，其中

(16)

式中：N為狀態量與輸入量的均衡加權矩陣;S(t)與Fm(t)為矩陣微分Riccati方程的解

(17)

(18)

3.2 跟蹤控制

另一方面，可以通過預設一條平滑的變形軌跡作為參考，使得變形過程跟蹤該軌跡，同樣可實現快速、平滑的動態形面控制效果。

時變LQ跟蹤控制可以描述為尋求最優的電壓加載軌跡u(t)使得系統控制輸出序列z(t)跟蹤預設參考軌跡zr(t)，其性能指標可表示為

(19)

式中,v(t)zr(t)-z(t)為控制過程中的輸出誤差，zr(t)為預設的輸出軌跡。

同樣，通過采用Riccati矩陣變化的方法，求得反饋-前饋的控制輸入為

u(t)=uf(t)-K(t)x(t)

(20)

式中：K(t)為反饋增益矩陣的時間序列;uf(t)為前饋矩陣的時間序列。

可見，有限時間時變LQ控制問題的關鍵在于求解微分Riccati方程組，相比定常控制律，設計中的代數Riccati方程求解，其求解難度更大。為此，研究中采用精細積分算法進行求解[23];另一方面，可以看出，有限時間時變LQ終端控制律和跟蹤控制律，均由反饋增益和前饋信號組成，且均為時間的函數。因此，相比定常控制律，時變控制律能夠實現更快速、穩定的動態控制效果，且幾乎沒有超調量。

3.3 Kalman濾波器

為構成閉環控制系統，研究中采用Kalman濾波器設計狀態觀測器。Kalman濾波是一種狀態最優估計方法，它從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，利用所有測量數據對當前時刻動態系統的狀態量進行估計。通過反射器內側的應變傳感器測量出系統的動態輸出量，利用Kalman濾波得出系統狀態量的估計值。濾波公式為

(21)

(22)

式中：B1為系統干擾輸入矩陣；P為相應矩陣微分Riccati方程的解。

(23)

綜上所述，基于有限時間LQ控制算法的反射器動態形面控制系統構成如圖5所示。

圖5 控制系統框圖Fig.5 Diagram of control system

4 反射器動態形面控制算例

本章算例的控制需求與第2章靜態形面控制相同，但要求節點P的撓度能夠在tf=1 s內達到預期撓度，并保證動態變形過程平滑、連續。

4.1 終端控制

時變LQ終端控制律設計中的權系數選取為

Q=104I2m,R=10-8In,Qf=108I2m

(24)

式中：I2m為2m階單位矩陣;In為n階單位矩陣。

通過終端控制優化得出作動器的電壓加載歷程如圖6所示。通過終端控制優化后的控制效果如圖7所示。可以看出在整個控制過程中，節點P的撓度變化平滑穩定，無振蕩，同時在tf時刻達到預期的變形狀態。相較于圖4中簡單的電壓加載方式，利用有限時間時變LQ終端控制算法可有效消除變形過程的瞬態振動，同時滿足控制的時效性。