事件觸發下的網絡化系統非脆弱耗散控制方案

葛 超，張亞欣，劉 月，王 紅

（1.華北理工大學 人工智能學院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學 電氣工程學院，河北 唐山 063210）

0 引言

網絡化控制系統（Networked Control System，NCS）一般主要包含傳感器單元、控制器單元、執行器單元以及被控對象等功能節點。這些部件一般離散分布，并通過數字網絡可實現遠程的信息交互［1-3］；但是由于網絡自身的缺點，比如時間延遲、丟包、數據量化等問題［4-8］，導致NCS 性能惡化，甚至失去穩定性。多數網絡化控制系統采用基于周期采樣機制（也稱時間觸發機制）的控制模式，所有的采樣數據都通過網絡進行傳輸，導致對資源不必要的占用。當采樣周期是時變時，在最壞情況下，系統控制性能需求需要被滿足。

為了解決時間觸發機制帶來的資源不必要的占用問題，在20 世紀90 年代，提出了事件觸發機制［9］。當滿足事件觸發的條件時，采樣數據被觸發器傳輸。事件觸發機制被證明是一個減少數據傳輸的有效方法［10-13］，和時間觸發相比，它可以減少網絡帶寬的占用以及控制器設計的計算成本。文獻［14-15］中，事件觸發依賴于對系統狀態的持續監控，以檢測當前狀態是否超過觸發閾值。要構建這類觸發器，需要對現有系統進行徹底改造，但實現起來比較困難。因此，設計出自觸發控制器；但是自觸發機制對系統的配置要求比較高，需要提前給出系統模型，所以自觸發方案難以被應用。文獻［16-17］中提出一個事件觸發機制去決定數據是否被傳輸，它不需要特殊硬件去連續不斷測量。

外部干擾的出現會影響系統性能，而耗散性能［18-19］的提出在保證系統穩定性前提下滿足了系統的性能指標。在實際系統中，任何控制器都會遭受一些不確定因素，比如不確定參數的影響，它可能會導致NCS 不穩定，因此研究控制器非脆弱性問題［20］也很有必要。文獻［21］中研究了基于事件觸發的網絡化控制系統，但它只考慮了網絡誘導延時問題，沒有考慮控制器的非脆弱性。

綜上，本文研究事件觸發機制下的網絡化系統非脆弱耗散控制。耗散控制滿足嚴格耗散性能，非脆弱性考慮控制器加性攝動問題。研究新型的雙邊泛函，借助線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）方法分析系統的穩定性和對控制器的設計。

符號說明 上標符號“T”代表矩陣轉置，“-1”表示逆矩陣；矩陣“I”表示合適維度的單位矩陣；Rn、Rm分別表示n維和m維的歐幾里得空間；diag｛·｝表示對角矩陣，col｛·｝表示矩陣的列；“*”表示為對稱矩陣。

1 問題描述及事件觸發控制

1.1 問題描述

考慮線性系統裝置：

其中：x(t) ∈Rn是狀態向量，u(t) ∈Rm是控制器輸入向量，z(t) ∈Rm是控制器輸出向量，ω(t) ∈L2[0，∞)是外部干擾，A、B、Bω、C是合適維度的常數矩陣。系統（1）的初始條件是x(0)=x0。

系統（1）的控制律為：

其中K是反饋控制器增益。

1.2 事件觸發機制

一個事件觸發機制通過非周期采樣數據來建立傳輸事件機制。當采樣周期為非均勻周期時，研究模型的建立、穩定性分析和控制器的設計具有重要意義。

本文考慮沒有數據丟包發生的情況，采樣器以hl為周期進行采樣。通過事件生成器檢測當前采樣時刻和最后觸發時刻tk之間的采樣數據誤差。下一觸發時刻tk+1被設計為以下等式：

其中：e(il)=x(il)-x(tk)表示狀態誤差是當前采樣時刻；定義ik作為下一次的采樣時刻；hl=ik-il是非均勻采樣周期；δ∈[0，1)和Φ分別是給定的閾值參數和設計的正定權重矩陣。

并非所有的采樣數據需要通過事件觸發機制傳輸，只有那些滿足條件（3）的數據才能被傳輸。此外，采樣數據傳輸的頻率由δ和Φ決定。當δ=0 時，事件觸發機制轉變成時間觸發機制。在每個采樣時刻引入事件觸發機制，以決定是否傳輸當前的采樣數據。把零階保持器中的保持間隔Ω劃分成子區間，也就是Ω=∪Ωl(l=0，1，…，tk+1-tk-1)。

注1 當系統中考慮丟包發生時，要建立新的事件觸發條件。

注2 式（3）提出的事件觸發機制建立在非周期采樣機制中，比一般的周期采樣更具有普遍性和實際性。式（3）所設置的是離散事件觸發機制，只在一個固定的采樣周期測量狀態、計算偏差，所以不需要額外硬件進行連續測量和計算。因為事件觸發間隔必定大于最小的采樣的周期，所以就直接避免了芝諾（Zeno）現象。

定義η(t)=t-il(t∈Ωl)，控制律（2）被重寫為：

對于t∈Ωl和t≠il+τil，η(t)是分段線性函數，滿足

假設網絡時延的上、下界已知，分別為τ1、τ2。根據式（5）中給出的，那么所允許的采樣周期可以設置為：

得到hl∈[0，η]。

在實際生活中，網絡化控制系統中控制器含有許多的不確定參數。當攝動矩陣ΔK(t)出現時，可以建立以下的實際控制律：

ΔK(t)是加性增益攝動，滿足以下關系：

其中：H、E是給定的矩陣，F(t)是滿足以下不等式的未知矩陣：

聯立式（1）和（6），系統（1）可以被重新寫作：

1.3 定義及引理

引理2［23］假設0 ≤η(t) ≤η，并且Ψ1、Ψ2、Ψ是合適維度的矩陣，如果存在那么

Ψ+η(t)Ψ1+(η-η(t))Ψ2<0

引 理3［24］給定合適維度的正實矩陣M3=，H、E、F(t) 滿足M3+HF(t)E+(HF(t)E)T<0，對于F(t) 滿足式（8），當且僅當存在一個參數ε>0 時，以至于M3+εHHT+ε-1ETE<0，或者。

2 穩定性分析及控制器設計

2.1 穩定性分析

利用Lyapunov 穩定性分析可以得到系統漸進穩定的充分條件。

注3V3(t)是雙邊泛函，只需要保證它在采樣點是正定的，它的導數在采樣區間內必然是負定的。不僅考慮區間[il，t]，還考慮[t，ik]，這會使所得到的結果具有更小的保守性。

對泛函求導，得到：

Π0和Γs(s=1，2，3，4)定義在定理1 中。根據引理2 和舒爾補引理，Ξ0<0 是Ξ1、Ξ2的凸組合，可以得到式（10）。由式（15）可得到式（16）：

對式（16）兩邊從0 到tf求積分，得到

由式（17）可以得到嚴格耗散的定義1，系統是關于性能指標γ-嚴格耗散的且漸進穩定的。證畢。

2.2 控制器設計

應用定理1，在事件觸發機制下的反饋控制器增益K可以被求得。

注4 值得注意的是，式（16）是非線性凸組合，因此不能被Matlab 里面的LMI 工具箱直接求得結果。在本文中，用一個簡單的線性方法和一個錐補線性化（Cone Complementarity Linearization，CCL）算法來處理這些非線性項。可以得到：

對于XλI-1X項，本文用CCL 方法，定義G滿足：

然后對式（18）進行求解，得到式a，式a 是把式（18）里面的非線性項用式（23）和（24）代替。以上最小化問題可以被CCL 算法解決。通過舒爾補原理，式（24）等價于：

算法1 CCL 算法。

第一步 尋找LMIs（式（18））和以下不等式的可行性解

設定k=0。

第二步 解決以下最小化問題。

聯立式（18）和式（26）。

第三步 如果式（18）被滿足，那么得到一個控制器K=YX-T。令k=k+1，如果k

3 仿真算例

例1 對于線性系統可以考慮以下參數：

在本例中不考慮耗散性能和非脆弱性，利用定理1，當Bω=0；ΔK(t)=0 時，對于不同的事件觸發閾值參數δ得到時延η的最大上界，如表1 所示。

表1 文獻［21］和本文在不同閾值參數δ所對應的時延η最大上界Tab.1 Maximum upper bound of time-delay η in literature ［21］ and this paper corresponding to different threshold parameters δ

由表1 可知，本文方法比文獻［21］方法具有更小的保守性。

例2 考慮如下參數：

假設不存在外部干擾和非脆弱性，即ω(t)=0，ΔK(t)=0。系統可考慮為x˙(t)=Ax(t) +BK(x(t-η(t))-e(il))，在這個系統中應用事件觸發機制，令δ=0.2，η=0.5，根據定理2，可求得反饋控制器增益K和事件觸發矩陣Φ如下：

令初始值x0=[0.9，-0.7，0.2，0.3，0.6]T，對應的系統狀態響應曲線如圖1。

圖1 多維系統的狀態響應曲線Fig.1 State response curves of multi-dimensional system

觀察圖1，曲線逐漸接近為0，說明系統逐漸穩定。由此可以說明事件觸發機制在NCS 中的可行性。

例3 考慮倒立擺系統，參數如下：

其 中M=10 kg，m=1 kg，l=3 m，g=10 m/s2。初始條件為x0=[0.98，0，0.2，0]T。

在此算例中考慮系統的嚴格耗散性能和非脆弱性。設ω(t)=0.01sin(2πt)，Q1=-0.3I，R1=-0.1I，S1=I，γ=500，ΔK(t)=[0.2 sint，0.2 sint，0.2 sint，0.2 sint]。

情況1 令δ=0，在這種情況下，事件觸發機制被考慮為時間觸發，即正常的采樣機制。根據定理2，求得最大時延上界為η=0.774。當η=0.489 時，此時求得增益K=[44.489 2 104.361 4 987.607 7 563.741 7]。對應得到的狀態反應曲線如圖1 所示。令采樣周期h=0.2，在t∈[0，15]區間內，所有的75 個采樣數據都要被傳輸過去。圖2 為在采樣控制時得到的狀態響應曲線。

圖2 情況1的狀態響應曲線Fig.2 State response curves of case 1

情況2 令δ=0.2，此時所用的機制為事件觸發機制。在此情況下，根據定理2，求得時延的最大上界η=0.489，對應的反饋控制器增益K和事件觸發矩陣Φ為以下結果：

對應K和Φ的系統的狀態反應曲線如圖3 所示。

圖3 情況2的狀態響應曲線Fig.3 State response curves of case 2

從圖3 中看出曲線逐漸接近于0，說明系統逐漸穩定，可以很容易看出，本文設計的關于事件觸發的控制器是有效的。

圖4 表示系統的傳輸瞬間和釋放間隔。令采樣周期h=0.2，在t∈[0，15]區間，只有40 個采樣數據被傳輸，傳輸率為53.3%，并非所有的采樣數據被傳輸。

圖4 傳輸瞬間和釋放間隔Fig.4 Transmission instants and release intervals

通過情況1 和情況2 的對比來看，可以證明，事件觸發機制可以減少采樣數據的傳輸，從而節約帶寬資源。

4 結語

本文研究了基于事件觸發機制的網絡化系統非脆弱耗散控制。采用事件觸發通信機制，在網絡化系統上進行建模，考慮加性攝動非脆弱性和嚴格耗散性能，在此模型上，使用新型改進的泛函使得穩定性結果具有較小的保守性。并給出了控制器的設計過程，求得控制器增益和事件觸發機制矩陣。事件觸發機制的引入，減少了采樣點的傳輸，節約了帶寬資源，數值仿真結果證明了本文設計方法的有效性。