基于電子齒輪箱的展成磨齒多軸同步自適應控制＊

韓江 周廣鑫 夏鏈 黃曉勇 李彥青 田曉青

（①合肥工業大學機械工程學院，安徽 合肥 230009；②安徽省智能數控技術及裝備工程實驗室，安徽 合肥 230009）

展成磨齒是齒輪一種常見的主要精加工手段，數控磨齒實際加工中，其運動參數、受力狀態、熱變形以及轉矩實時變化，使得工件在進行磨削時出現形位偏差以及磨齒機床運動偏差明顯增加。磨齒高速高精度加工對多軸控制精度提出更高的要求，研究利用電子齒輪箱（EGB）進行磨齒機多軸控制就顯得尤為重要。在展成磨齒過程中，工件回轉軸、刀具回轉軸和各進給軸按照電子齒輪箱約束關系進行聯動，共同完成齒輪的磨削加工，但是由于整個運動系統出現的響應延遲、加工過程中產生擾動、傳動絲桿自身制造誤差等導致磨齒機床各軸無法按照嚙合規則同時完成理想動作，這是產生齒輪加工誤差的主要原因[1]。采用合適的控制策略保障多軸聯動精度，補償系統的控制誤差，對于提高實際工況齒輪加工具有重要意義。

在高速磨齒時，磨削力實時波動，使得主軸轉速跟蹤誤差變大問題逐漸凸顯，目前主要研究方法包括建立轉速跟蹤誤差與齒形誤差之間的數學模型方法、磨削加工中的插補控制以及誤差補償等[2]。上述方法對于提高系統控制精度有一定參考價值，但展成磨齒在高速高精度工況下，由于多軸聯動延遲、擾動等因素，減小單軸跟蹤誤差并不能保證整體控制精度，各運動軸并未至理想位置。針對多軸同步運動控制問題，Sarachik P等人[3]提出交叉耦合（CCC）概念，使用計算產生的同步誤差逐步調整被控軸達到同步運動。Koren Y等人[4]對交叉耦合模型進行完善，首次實現了在數控系統中的應用。田曉青等人[5]提出了一種將軟件式電子齒輪箱與交叉耦合控制策略相結合電子齒輪箱交叉耦合控制器（ECCC），結果顯示交叉耦合控制模型取得了較好的控制效果，能夠迅速、實時消除工況中的擾動，但為了得到合適的反饋信號，計算各軸軌跡輪廓誤差仍是難點。為了降低控制難度，簡化計算模型，學者們采用多種控制方法相結合來實現多軸之間高性能同步控制。其中包括PID控制、魯棒控制、最優化控制和干擾觀測器等[6-7]。彭曉燕等人[8]提出一種適用多個電機同步PI補償控制的改進型偏差耦合控制結構，仿真結果說明，該結構具有更高同步精度。Jeong S K等人[9]提出了一種多軸回轉系統同步位置控制方法，保證魯棒性同時，使用最大誤差比較法減少各軸之間同步誤差，仿真與實驗表明可有效提高控制精度。為了解決實際工況系統性能參數的實時波動，干擾觀測器和自適應控制是學者們主要選擇的控制方法，徐壯等人[10]比較了滑模觀測器與卡爾曼觀測器之間的特點，研究表明卡爾曼觀測器對外界噪聲等干擾更加敏感，位置感知更加優秀，適合高速高精度的場合。

磨齒加工精度由機床同步精度直接決定，常見能夠有效確保同步精度策略包括交叉耦合、最優化控制、模糊控制與神經網絡、干擾觀測器等，通過對磨齒工藝分析，針對實際工況中時變擾動特點，選擇干擾觀測器中的擴展卡爾曼觀測器作為該系統的控制策略。本文針對磨齒工況中磨削力等擾動引起的同步精度問題，建立了一種基于電子齒輪箱的多軸聯動模型，給出加工齒輪誤差與工件軸誤差之間的數學關系，設計了一種針對實際工況磨削力波動具有自適應功能的擴展卡爾曼觀測器，將磨削力波動作為擾動參數輸入系統，對多軸聯動過程產生的磨削力進行觀測，并使用設計并驗證的前饋模型對其磨削力產生的位置誤差進行補償，大幅度降低系統控制誤差，通過實驗驗證本方法的有效性。

1 磨齒原理與電子齒輪箱結構

1.1 磨齒加工運動原理

蝸桿砂輪磨齒加工原理及運動關系如圖1所示。實現磨齒運動包括：砂輪回轉運動B軸、工件回轉運動C軸、軸向進給運動Z軸、切向進給運動Y軸、徑向進給運動X軸與刀架回轉運動A軸。其中各進給軸控制磨削進給量，刀架回轉A軸控制刀具安裝角度。

圖1 蝸桿砂輪磨齒加工原理及運動關系

1.2 磨齒加工數學模型

根據蝸桿砂輪磨齒原理，加工過程中，砂輪和工件在電子齒輪箱控制下，按照一定速比關系實現展成磨削運動，刀具沿著工件軸線方向進行進給完成齒面磨削，為了磨削加工效果，在磨削量和加工速度較大時，需要砂輪沿自身軸線（Y軸）作竄刀運動。整個加工過程，被加工齒輪不僅需要與蝸桿砂輪保持一定嚙合關系，還必須和刀具進給運動保持一定約束關系。

在磨齒過程中，砂輪和工件之間相互運動遵循嚙合原理，C軸跟隨Z軸產生的轉動為[11]

C軸跟隨Y軸產生的轉動為

則工件回轉C軸與其他各軸的聯動關系為

式中：k為砂輪頭數；z為齒輪齒數；λ為砂輪安裝角；β為工件齒輪螺旋角；mn為齒輪法面模數；Ki(i=b、z、y)為各軸方向系數，取值為“1”或“-1”；Δi(i=Z、Y)為i軸跟蹤誤差，Δnic(i=z、y、b)為i軸附加在C軸上的轉動。

1.3 電子齒輪箱控制系統結構設計

在磨齒中，設計電子齒輪箱結構如圖2所示。

電子齒輪箱結構模型采用主從式和平行式相結合的結構模型，其中刀具主軸采用速度控制模式，各主動軸輸入插補信息經過相應的模塊后由編碼器反饋至電子齒輪箱模塊進行保存，在電子齒輪箱中根據各軸間展成關系運算后得到工件軸輸入插補信息，從而加工出符合要求的齒輪。由于電子齒輪箱使用主切削軸實際反饋位置對從運動軸進行控制，從運動必然相對主運動存在滯后，而系統各軸又為獨立控制，各軸同步精度取決于各軸對插補指令的跟蹤精度，為了進一步提升電子齒輪箱控制精度，必須要設計控制策略對其進行優化。

1.4 電子齒輪箱控制誤差模型

齒輪的加工精度直接由電子齒輪箱同步精度決定，當系統同步精度較差時，所加工齒輪存在嚴重誤差，如圖3所示，分別對齒形和齒向造成不同程度誤差，嚴重影響齒輪精度。為了提高系統同步精度，減小電子齒輪箱控制誤差，需研究系統控制誤差與齒輪加工誤差之間的數學關系。

圖3 齒輪加工誤差示意圖

由于齒廓偏差受螺旋角、刀具等綜合影響，電子齒輪箱控制誤差在加工齒輪過程中主要體現在齒輪齒距偏差和螺旋線偏差上，對于圖2所示的電子齒輪箱結構，由于采用主從式結構跟隨主軸運動，主軸跟蹤誤差不會對電子齒輪箱精度造成影響，根據加工過程中刀具與工件相對位姿關系，綜合考慮安裝角、螺旋角、X、Y、Z軸跟蹤誤差等，得到齒距偏差Fp的數學模型為[1]

圖2 磨齒加工電子齒輪箱控制模型

綜合考慮得到螺旋線偏差Fβ數學模型為

根據磨齒過程中實際多軸聯動關系，綜合式（3）、（4）、（5），得到齒距偏差和螺旋線偏差相對于工件轉軸誤差的表達式分別為

式中：z為加工齒輪的齒數；λ為砂輪安裝角；β為工件齒輪螺旋角；mn為加工齒輪法面模數；Ki(i=b、z、y)為各軸方向系數；Kpi（i=c、y）、Kβi（i=c、y、z）為偏差方向系數，取“1”或“-1”；Ei(i=c、x、y)為i軸誤差。

分析式（6）和式（7）可得，在磨齒多軸聯動中，可以將各軸誤差通過聯動關系的方式累積到工件軸上，推導出電子齒輪箱控制誤差與齒輪展成加工誤差之間的映射關系，為加工過程中實時估算齒輪相關精度情況提供了可能。

為了能夠準確地實時估算出電子齒輪箱控制精度，確保系統的魯棒性，需要實時讀取能夠反應磨齒過程中受到的擾動，并利用該參數保障系統同步精度，設計了一款能夠觀測該參數的濾波觀測器。

2 自適應卡爾曼觀測器設計

2.1 觀測器模型原理與設計

在磨齒工況中，作用在工件運動軸上時變的等效磨削力會在電機內部的電流中引入對應擾動，使得電機在運行過程中出現干擾信號，從而引起誤差。為了探究工況中磨削力與電機最終輸出誤差之間的關系，設計補償策略，搭建工件運動軸觀測器如圖4，輸入信息為電子齒輪箱運算得到的插補，由傳感器得到的電流iq和轉速 ωc作為輸入參數進入觀測器中，觀測器將觀測得到的磨削力矩進行輸出。電流環部分按照永磁同步電機的運行原理進行搭建。

圖4 PMSM觀測器-控制器結構框圖

其中電機運動方程為

工件回轉軸采用閉環控制，因為電磁時間常數遠遠小于機械時間常數，電流環穩態時間相對速度環可以忽略。測量轉速和電流由傳感器返回。

綜上所述可以把電磁轉矩和摩擦轉矩引起的擾動全部等效為負載擾動。根據式（8）可得系統離散系統狀態空間和測量方程分別為

式中：xk為二維狀態向量；uk為輸入電流iq；Ts為離散時間常數取0.1ms；Ke為電流系數；?、B、H為狀態空間的系數矩陣。

由于建模偏差和測量誤差等問題，考慮動態噪聲與測量噪聲系統狀態方程與測量方程修正為

式中：ωk和vk+1vk+1為系統模型擾動與測量誤差。

由于卡爾曼觀測器對外界噪聲等干擾更加敏感，且在協方差矩陣合適情況下具有更高的觀測精度，適合高速高精度場合。因此針對磨齒選擇擴展卡爾曼觀測器進行控制。擴展卡爾曼觀測器可以使用相應的協方差矩陣對輸出進行濾波，如圖5所示，包括預測和修正過程兩部分。其預測過程表達式為

圖5 自適應卡爾曼觀測器原理框圖

修正過程表達式為：

為了能使得協方差矩陣Q能夠根據擾動和突變進行自適應變化，建立k時刻協方差矩陣Qk為

2.2 前饋設計

為了運用改進觀測器觀測的磨削力，設計基于磨削力觀測值運算的前饋補償，需要建立以力矩形式反應在工件軸磨削力與加工工件偏差之間的數學關系。在Simulink中搭建工件軸仿真模型，通過前述研究將磨齒中磨削力進行疊加，得到反應在工件整體上的磨削力數據，選取該參數為模型擾動引入，觀測模型輸出位置量與引入擾動之間數學關系，基于此邏輯設計前饋補償，來平衡擾動所帶來的誤差。結果如圖6所示，輸出位置加速度與引入擾動呈線性關系，選取適當比例系數k1積分補償模型為

圖6 輸入磨削力與輸出加速度示意圖

其中：T為輸入磨削力，a為輸出加速度，可以據此對工況中實時變化的擾動進行補償。

3 仿真及實驗結果

為了驗證設計系統的性能，在MATLAB Simulink環境下對其進行驗證，并在基于DSP28335的多電機控制平臺上進行試驗，實驗平臺如圖7所示，電機參數如表1所示。編碼器線數為2 500 PPR，四倍頻。系統工作頻率10 kHz，電流環周期0.1 ms。

圖7 多電機驅動控制實驗平臺

表1 電機參數

3.1 仿真結果分析

分別對觀測性能以及補償前后進行仿真試驗，給定電機轉速為60 r/min，接入擾動為前述磨削力參數，采樣周期為0.1 ms。圖8、圖9為在仿真條件下，傳統卡爾曼觀測器和改進自適應觀測器，對于引入模型輸入磨削力和觀測器觀測到的磨削力之間的對比。由圖中可以看出，在最開始極短時間受啟動電流影響后，改進的自適應擴展卡爾曼觀測器有效對電機產生的磨削力矩進行了觀測，誤差峰值不超過20 N ·cm，平均誤差小于3 N ·cm,且觀測系統整體滯后周期小于1 ms，可以得出其性能良好，觀測值可靠性高。圖10、圖11為在仿真環境下，系統引入擾動后是否進行前饋補償，加工齒輪螺旋線偏差和齒距偏差對比，可以看出，系統引入合適前饋，選擇適當補償系數k2，補償后偏差值減小到擾動情況下1/5以內并且向0收斂，螺旋線平均偏差由26.32 μm降至3.77 μm，偏差幅值不超過7 μm；齒距平均偏差由41.63 μm降至6.92 μm，偏差幅值不超過11 μm。證明所建立的前饋補償的有效性。

圖8 傳統觀測器系統磨削力與觀測磨削力對比圖

圖9 改進觀測器系統磨削力與觀測磨削力對比圖

圖10 補償前后螺旋線偏差對比圖

圖11 補償前后齒距偏差對比圖

從仿真結果中可以看出，改進觀測器和前饋補償明顯減少了加工工件的誤差，提高系統的同步精度和魯棒性，確保了磨齒工況中的抗擾動性。

3.2 實驗結果分析

為了在實驗中驗證所設計的前饋補償有效性，將前述磨削力參數作為負載輸入到電機中，分別將系統在未加載、加載未補償、加載帶前饋補償3種不同情況下對工件偏差進行對比，將轉速控制在60 r/min情況下得到相應數據，通過實驗平臺反饋的偏差對前饋補償進行檢驗。圖12是在上述3種情況下由傳感器和編碼器所獲得整個系統誤差，可以看出，未加載系統本身由于靜摩擦、粘性摩擦等，使得系統自初始即帶有一定的誤差。而在磨削力接入系統后，由于磨削力遠遠大于系統靜摩擦等擾動，可以將其均等效到磨削力上，將其引入系統后對工件偏差產生了較大的波動，使得加工工件的精度受到巨大影響。在運用觀測值運算出適合的前饋補償并接入后，可以看出，由等效磨削力引起的工件偏差明顯被所設計的前饋補償平衡，在取樣時間內，偏差幅值由488 μm降至13 μm，極差由591 μm降至13 μm。

圖12 三種情況下偏差對比圖

對比仿真與實驗過程中出現的擾動與補償效果，研究表明進行的仿真與試驗有較好的吻合性，也說明仿真與試驗的有效性。

綜上所述，該前饋能夠較好地吸收工況中出現的實時波動干擾并有效做出補償，減小系統偏差，明顯增加系統抗擾動性，魯棒性大幅提高。

4 結語

通過研究電子齒輪箱控制模型與磨齒基本原理，基于齒輪螺旋線偏差、齒距偏差相對于同步等效工件運動軸偏差之間數學關系，結合擴展卡爾曼濾波算法，構建了具有自適應功能的觀測器與前饋，實現了磨齒中動態擾動觀測與補償。為了貼近實際工況，引入的磨削力數據為工況下多齒受到的實時波動磨削力疊加的擾動。運用磨削力觀測值，進行處理形成前饋對系統進行補償，在高速高精度的環境下具有更好的控制效果。通過仿真和實驗研究，所設計的觀測器擁有較好的觀測效果，可以準確地追蹤工況中實時波動的擾動。結果表明，所設計的前饋補償系統顯著減小了加工工件的螺旋線偏差和齒距偏差，提升了系統的同步精度和抗擾動性。