氣體靜壓主軸模態仿真分析及試驗研究

王玉偉 吳東旭 索奇 肖北川 王輝

（通用技術集團機床工程研究院有限公司，北京 101300）

目前，超精密機床中的運動部件普遍采用流體靜壓支撐的方式將固定件與運動件隔開，避免直接接觸，減小摩擦阻力。流體在固定件與運動件之間充當潤滑介質，此種方式提高了運動部件的運動精度[1]。其中當所需承載力要求不高時，多采用氣體靜壓支撐的方式，且氣體作為流動介質具有溫升小、精度高的優勢[2-3]。目前國外生產氣體靜壓主軸的廠家主要以美國AMETEK Precitech、Professional Instruments及日本芝浦機械為代表，其生產的氣體靜壓主軸回轉精度均達到了20 nm[4-5]。國內從事研究氣體靜壓主軸的單位主要有通用技術集團機床工程研究院有限公司、哈爾濱工業大學、北京航空精密機械研究所、中國工程物理研究院機械制造工藝研究所及北京海普瑞森超精密技術有限公司等。

主軸部件作為機床的核心功能部件，其運動精度決定了加工件的質量，主軸在不同速度下工作時，當工作頻率與某階固有頻率相接近時會引發主軸部件產生共振。主軸部件受其結構形式、約束方式的影響，從低頻到高頻分布有多階固有頻率。固有頻率引發的系統共振會造成氣體靜壓主軸旋轉中心偏移，氣膜間隙發生變化，氣膜壓力分布不均勻，不穩定振蕩且噪聲大等問題，進而加大運動誤差，造成加工件表面粗糙度及面形精度降低，影響超精密加工質量[6-7]。為避免產生上述問題，本文從有限元仿真分析及試驗測試入手，對有限元模型中設置的彈簧剛度系統進行力學驗證，通過主軸部件靜力學仿真與試驗測試結合分析，對動力學計算中的彈簧剛度進行修正；其次對電機轉子與定子間電磁力對主軸轉子自由度的影響進行研究，使得加載的邊界條件更精確，保證有限元模型中的約束符合實際，以獲取準確的模態參數。在仿真的基礎上通過錘擊模態測試試驗進一步驗證結構模態參數信息。基于有限元計算結果，可以更好地確定試驗中傳感器布局位置，避開模態節點，同時確定測試頻率范圍，提高測試精度。利用多參考點布局的試驗手段，在主軸轉子及外殼均勻布局多個傳感器，每個傳感器位置在不同方向進行外界激勵，以此充分獲取模態信息，同時利用檢查相干函數的方式，獲得高質量測試數據。通過仿真與試驗結果對比，最終確定主軸部件各階模態參數，作為機床工作過程中選擇合適工作轉速的依據，有效選擇避開系統共振頻率，保證主軸穩定工作，同時為進一步改進主軸部件結構提供參考依據。

1 主軸結構

本主軸采用多孔石墨雙半球支撐結構，在多孔石墨軸瓦與主軸半球軸承之間形成氣膜，氣膜厚度在10～15 μm，外界供氣壓力為0.4～0.6 MPa，主軸部件主要由外殼、軸瓦、主軸轉子、多孔石墨、半球軸承和內裝電機等部分組成，如圖1所示，主軸轉子上左右兩側各安裝一個半球軸承。兩個半球軸承分別與固定在外殼上的兩個多孔石墨軸瓦配合完成對主軸轉子系統的氣浮支撐。為分析結構質量對主軸模態的影響，簡化后的有限元模型共采用兩種方式：（1）只保留主軸轉子結構的有限元模型，如圖2所示。（2）留主軸全部零部件的有限元模型，如圖1所示，對其進行有限元仿真計算及對比分析。

圖1 主軸部件結構圖

圖2 主軸轉子結構圖

2 模態仿真

2.1 邊界條件分析

主軸有限元模型中應重點考慮的邊界條件集中在電機與主軸轉子以及多孔石墨球瓦與半球軸承之間的裝配約束關系上。電機定子與轉子之間的電磁力及球瓦與半球軸承之間存在的氣膜承載力為系統零件之間的約束條件，直接影響系統剛體自由度及內部剛度，因此在裝配模型中主要針對以上兩種情況需要定義的邊界條件進行研究，零部件之間的綁定約束及外殼底座的固定約束不再展開論述。

2.1.1 彈簧剛度設置

氣膜所產生的剛度在有限元模型中簡化為壓縮-拉伸彈簧單元，彈簧單元的剛度數值通過前期試驗測試獲得，其中主軸軸向氣膜剛度為180 N/μm，徑向剛度為90 N/μm。為確定在有限元中加載的彈簧單元剛度數值正確，對主軸轉子進行彈簧加載的力學驗證。對有限元模型中軸瓦與半球軸承匹配的兩端球面上分別添加4個彈簧，共8個彈簧，如圖3所示。若按照實際測得的氣膜剛度結果直接轉化為彈簧剛度數值，即單個彈簧的剛度值設置為180 N/μm或90 N/μm，則需要驗證設置是否合理。

圖3 彈簧加載圖

在主軸右端連接卡盤位置處的軸向（Y方向）及徑向（X方向）施加100 N的力進行計算，查看主軸轉子在軸向及徑向上的變形量。根據仿真分析中主軸轉子變形量與加載力計算得出的氣膜剛度值，并與起初加載到有限元中的彈簧剛度數值作比較，查看彈簧剛度設置是否需要進行調整。主軸轉子受力后的有限元應變結果云圖如圖4所示。

圖4 不同彈簧剛度下受力變形云

主軸轉子因自身彈性變形的影響，使得左右兩端半球軸承處的彈簧變形量不一致，因作用力加載在主軸右端，為減小主軸轉子彈性變形對計算剛度的影響，變形結果取自右端半球軸承處半球軸承的變形量。根據作用力及變形量計算的氣膜剛度值如表1所示。

表1 不同彈簧剛度及受力下的總體計算剛度

上述結果表明，在球面添加彈簧且在兩個球面共均布8個彈簧時，軸向方向氣膜剛度值為加載的單個彈簧剛度的3倍，徑向方向氣膜剛度值為加載的單個彈簧剛度的1.5倍。根據主軸實際試驗獲得的軸向氣膜剛度180 N/μm及徑向氣膜剛度90 N/μm，對有限元模型中添加的彈簧單元進行修正，設置的單個彈簧剛度值應為60 N/μm。

為進一步驗證修正后的彈簧剛度，將單個彈簧剛度值為60 N/μm的彈簧按同樣方式加載至軸瓦與半球之間，左右兩側分別加載4個總共8個彈簧，同樣對主軸右端的軸向和徑向分別施加100 N的力，通過靜力學計算得出在右端軸承處的軸向及徑向變形分別為0.56 μm及1.11 μm，如圖5所示，此時計算得出的軸向及徑向剛度分別為178.6 N/μm及90.1 N/μm，與試驗測量獲得的180 N/μm及90 N/μm基本一致。

圖5 加載修正后彈簧的主軸變形

2.1.2 電機轉子約束

電機運行過程中通過電磁力驅動電機轉子進行轉動，且電機定子與轉子之間的氣隙一般在0.1 mm左右[8]，電機轉子所受電磁力使轉子產生切向力及徑向力。切向力主要驅動轉子進行轉動[9-10]，徑向力沿著轉子一周有可能會帶來轉子偏心問題。因本氣浮軸承回轉精度在50 nm，故相對于電機轉子與定子之間的氣隙及受力，電機轉子在徑向、軸向及沿軸向回轉的方向簡化為自由約束邊界條件，同時電機轉子表面在沿軸向長度方向受均勻切向力的約束。除繞轉子軸線方向的轉動為自由約束外，其余兩個方向無法進行轉動，因此電機轉子的邊界條件總體簡化為在X、Y、Z、RZ這4個方向無約束，同時限制RX、RY兩個方向的轉動，如圖6所示。

圖6 電機及氣膜處邊界約束情況

2.2 結果分析

2.2.1 僅保留主軸轉子結構的仿真結果

以軸瓦為支撐體，主軸轉子結構的前六階固有頻率、參與系數及有效參與質量信息如表2所示，其中參與系數的含義為某振型在特定方向上參與振動的程度，某一方向的參與系數越大，則表明在這個方向上受到動載荷的作用時結構的振動響應越大。有效質量是指在某個方向參與振動的質量與結構總質量之比，理想情況下每個方向的所有有效質量之和等于結構的總質量，但實際中要取決于提取的模態階數是否充足。主軸轉子前六階的模態振型趨勢如圖7所示。

圖7 主軸轉子前六階模態振型趨勢

表2 主軸轉子仿真結果模態參數

上述結果表明，第一階固有頻率為1.5 Hz，接近0，參與系數在繞著Y轉動方向為1，參與的有效質量達到0.99，因此第一階振型趨勢為主軸轉子繞著主軸軸線進行回轉；第二、三階分別為277 Hz和279 Hz，這兩階振型相似，參與系數分在Z、X移動方向為1，參與質量都是0.91，因此為重根模態，振型趨勢都為在主軸徑向方向進行整體移動；第四階為316 Hz，參與系數在Y移動方向為1，參與的有效質量為0.99，振型趨勢為沿著主軸軸線方向整體移動；第五、六階分別為384 Hz，385 Hz，從參與系數及有效質量發現這兩階振型及固有頻率近似，同樣為重根模態，振型趨勢都為在XOZ平面進行雙節點擺動。

由于主軸回轉方向未設置彈簧剛度，故其第一階表現為自由回轉，且設置的彈簧剛度在軸向比徑向大，所以第二、三階振型趨勢首先表現在徑向方向的移動，頻率接近。此外，主軸轉子結構基本為回轉對稱類結構，因此容易出現重根模態的情況，然后再表現為第四階軸向的整體移動。前四階主軸轉子基本為整體剛性位移，主軸轉子本身未發生變形，為剛性模態。這是因為氣膜處設置的彈簧剛度小于主軸材料本身剛度，因此前四階振型首先發生在剛度較為薄弱的彈簧連接處，從第五階起主軸轉子開始變形，出現彈性模態的情況。

在不考慮一階自由剛性模態和重根模態的影響下，主軸轉子的模態可以認為第一階為2、3階的平均值278 Hz、第二階為316 Hz、第三階為5、6階的平均值384.5 Hz。

2.2.2 主軸部件含所有零部件的仿真結果

以整體外殼支架為支撐體，主軸部件的前六階振型趨勢及模態參數信息如圖8及表3所示。

圖8 主軸部件前六階模態振型趨勢

上述結果表明，外殼對于主軸轉子的模態有一定影響，首先主軸部件不再是嚴格的對稱結構，因此重根模態的情況減弱甚至消除，主軸部件內部剛度不變，質量增加引起各階固有頻率呈現下降的趨勢，同時外殼在每階的振型趨勢會影響主軸轉子的振型，主要表現為外殼振型的變形趨勢會疊加到主軸轉子上，例如表3中第二階模態參數所示，主軸部件在Y移動方向上參與系數為0.9，參與的有效質量為0.25，同時在Z移動方向上參與系數為1，參與的有效質量為0.15，相較于2.2.1節中第二階的振型趨勢，主軸部件不僅在沿著Z方向移動，還有一部分質量的外殼部分沿著Y移動，外殼部分結構沿著Y方向移動的同時帶動主軸轉子在Y方向移動，雖然此時在X移動方向的參與系數為0.24，但是參與的有效質量為0.02，所以沿著X方向的移動可以忽略。由此可以發現，主軸部件基本振型趨勢與2.2.1節中的主軸轉子振型趨勢一致，但是在原有主軸轉子的基礎上同時疊加了主軸外殼等其他部件的振型。

表3 主軸部件仿真結果模態參數

3 模態試驗

3.1 試驗測試基本理論

對于多自由度系統而言，系統在拉氏域所表示的傳遞函數為[11]

其中：B(s)=Ms2+Cs+K，B(s) 為關于質量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K的系統矩陣；A(s)為留數矩陣，留數矩陣包含系統模態振型信息；det[B(s)]為特征方程，特征方程的解為系統傳遞函數的極點，極點與系統固有頻率有關。特征方程det[B(s)]的第n階根Pn為[12-13]

實部 σn為系統阻尼比與無阻尼固有頻率的乘積，虛部 ωdn為系統有阻尼固有頻率。H(s)是系統響應與激勵之比，表現為一個復數值的曲面。系統頻響函數是系統傳遞函數曲面在s=jω軸上的一條切線。假設系統為一個具有m自由度的系統，令s=jω，以復數共軛形式特征根Pn表示的部分分式形式的頻響函數為[14]

當在系統中布局多個激勵點及響應點時，對于在特定點（系統在i處響應，在j處激勵）的頻響函數為[14]

在特定點（第i處響應，第j處激勵）的頻響函數展開為

由以上公式可以看出，當在系統中任意一點進行激勵、響應測量時，系統的頻響函數都會得到P1到Pn的值，即為系統從第一階到第k階的系統固有頻率信息。aij1至aijn則顯示了系統關于本測量點處從第一階到第k階的模態振型信息。當改變激勵及響應位置時，頻響函數的極點信息不變，固有頻率也不變，但是留數矩陣會發生變化。這意味著理論上對一個系統進行模態測試時，只需要測量一個激勵點及響應點的頻響函數即可獲得系統全部固有頻率信息，但是振型信息僅僅是獲取的關于此特殊位置的變形。當激勵位置或響應位置發生變化時，振型也會發生變化，因此當采用錘擊法進行模態測試時，應布局多個傳感器的響應位置以獲取更全面的模態振型信息，或者說應至少獲取多個參考點組成的頻響函數矩陣中的其中一行才可以較為完整的描述系統模態振型[15]。為最大程度避免可能出現的“丟階”現象[16]，錘擊激勵位置也應選擇多個點進行錘擊，即本次模態測試采用MIMO測量方法[17]。

3.2 軟件設置及方案

根據第2節有限元分析結果，主軸結構前六階最高頻率為385 Hz，依據香農定理[18]：

此次重點分析的頻率上限fmax至少為400 Hz。因有限元仿真前六階中包含重根模態頻率，為避免漏失模態，結合軟件設置情況現將頻率上限fmax設定為1 024 Hz，采樣頻率fs為2 046 Hz，譜線數M定義為1 024，頻率分辨率 Δf為1 Hz。

測試設備采用LMS振動測試儀，測試方式采用移動力錘固定傳感器的形式，軟件針對頻響函數噪聲的處理采用HV估計方式，傳感器采用單向加速度傳感器。為分別觀察主軸轉子、軸瓦、整機外殼及電機部件對模態結果的響應，共計布置14個傳感器。同時為保證有效測量主軸整機的各階模態固有品頻率參數，避免因激勵點選取不當引起的無法激勵全模態信息的情況，在對應傳感器的相同或對立方向進行激勵。其中傳感器及激勵點的具體位置及方向如圖9及表4所示。試驗測試設備及傳感器布局現場如圖10所示。

表4 傳感器及激勵點的位置與方向分布表

圖9 主軸裝配體傳感器位置布置圖

3.3 測試結果分析

在對所有結果進行篩選時，頻響函數的質量可以利用相干函數來進行評估，其相干函數的定義為[19]

其中：Gyx、Gxy為輸入輸出的互功率譜，Gxx為輸入自功率譜，Gyy為輸出自功率譜。自功率譜為標量值，互功率譜為復數值，相干函數的取值范圍為0～1。相干數值越趨近于1，表明所輸出的響應信號與輸入的激勵信號相關性越高，代表頻響函數的可靠性越高。此次試驗參考點位置共14個，激勵點位置共15個，共分別210個相干曲線及頻響函數。為節約時間，在確保主軸整機不同部件及位置處均能保留至少一個激勵點的前提下，通過對相干函數的檢查，從所有結果中選出相對質量較好的激勵點，最終確定保留的激勵點為3、6、11、13、14。針對保留的激勵點進一步選擇每個激勵點中所有參考點中質量較好的相干函數，最終保留的激勵點及參考點相干函數質量如圖10所示。激勵點3和激勵點6的相干函數相較于激勵點11、13、14波動較為嚴重，且分別在250 Hz和500 Hz以后出現急劇下降，因此進一步選擇激勵點11、13、14的頻響函數結果獲取系統極點信息。激勵點11、13、14的相干函數在550 Hz以前基本保持為1且曲線較為平直，說明輸入與輸出之間存在較好的關聯，在550 Hz以后也開始出現曲線下降及紊亂波動的情況，因此在分析激勵點對應的頻響函數時，550 Hz以內的結果是比較可靠的。各激勵點的相干質量曲線如圖11所示。

圖10 現場測試試驗

圖11 保留的激勵點及對應參考點的相干質量曲線

對最終選擇的激勵點11、13、14進行頻響函數的模態參數估計。參數識別方法采用復模態指示函數CMIF及PolyMAX穩態圖綜合的方式進行選取，當同時出現復模態指示函數峰值、頻響函數峰值且極點位置為S列時，則認為是系統其中的一階模態。按照以上原則分別對激勵點11、13、14的頻響函數曲線進行各階模態參數的選取，如圖12～14所示。

圖12 激勵點11對應的頻響函數曲線

圖13 激勵點13對應的頻響函數曲線

圖14 激勵點14對應的頻響函數曲線

為避免快速傅里葉變換過程中的信號泄露問題，測量過程中針對激勵輸入信號及響應輸出信號分別添加了力-指數窗及指數窗，由此造成了響應峰值減弱。同時，主軸部件與軸瓦之間利用氣膜約束的方式存在較大阻尼，系統在極點位置處頻響函數的峰值表現得較為平寬，因此試驗并沒有很好地識別出頻率極為接近的重根模態。通過測試試驗得到的主軸部件各階固有頻率與有限元仿真結果的對比如表5所示。

表5 仿真與試驗結果對比

4 結語

4.1 結論

通過主軸轉子和主軸部件的有限元仿真分析，獲取了不同結構的兩個有限元模型固有頻率，同時采用錘擊法對主軸部件進行模態試驗驗證。通過仿真分析及試驗驗證得出以下結論：

（1）不考慮自由剛體模態及重根模態的情況下，主軸轉子結構模型的前三階固有頻率為277 Hz、316 Hz和384 Hz，主軸部件結構模型的前三階固有頻率為259 Hz、281 Hz和352 Hz。主軸部件結構模型的質量增加和不對稱性會導致整體固有頻率呈現下降的趨勢，且存在重根模態情況但是有所減弱。

（2）試驗測試結果表明前三階固有頻率平均值分別為276.3 Hz、349.6 Hz和374.4 Hz，與主軸轉子結構模型的有限元頻率結果誤差為0.6%、10.6%和2.6%，與主軸部件的有限元頻率結果誤差為4.5%、24.4%和4.7%。主軸部件的測試結果與仿真結果誤差相對更大，此問題產生的原因可能為：試驗測試過程中外殼通過螺栓安裝固定在試驗臺上且為通氣狀態，受其試驗臺限制，外界力能夠更好地激勵主軸轉子部分，因此參與模態響應的實際質量多集中于主軸轉子部分，且整體參與的有效質量小于主軸部件質量，導致試驗數據結果偏高，具體原因需要嘗試更多不同邊界條件下的試驗進行進一步驗證。

4.2 建議

（1）進行主軸部件模態試驗時，考慮安裝位置及附加質量的影響，可以進行主軸部件自由邊界條件下的測試。主軸轉子與軸瓦之間的支撐方式為氣膜介質，主軸轉子與外殼沒有實際接觸，零部件之間激勵信號傳遞不佳，可能導致無法有效激勵起所關心帶寬內的所有模態，需要進一步考察氣體靜壓主軸中氣膜的存在對模態參數響應的影響。

（2）試驗過程中若采集到的時域信號及響應信號能夠自然衰減至零，可以不用加窗，避免由于降低響應信號幅值導致模態指示函數或頻響函數無法有效識別出重根模態。