考慮物理加載時滯的力修正迭代混合試驗方法

王 濤， 浩杰敦， 孟麗巖， 鄭 歡， 龔越峰， 王 貞， 許國山

(1.黑龍江科技大學 建筑工程學院，哈爾濱 150022；2.武漢理工大學 土木與建筑學院，武漢 430070；3.哈爾濱工業大學 土木工程學院，哈爾濱 150090)

實時混合試驗(real-time hybrid test,RHT)[1]采用物理試驗和數值模擬實時數據交互的方式評估結構動力性能。該方法要求在每個時間步內完成運動方程求解、加載命令傳遞、動力加載、數據反饋等一系列流程。動力加載與數據反饋不同步將導致試驗結果發散。

作動器從接收命令到實現命令所需要的時間為加載時滯[2]。針對加載時滯問題，學者們提出了系列時滯補償方法[3-6]。數值結構從接收試驗結構反饋信號到計算出下一積分步的時間為計算時滯[7]。針對計算時滯問題，學者們提出了基于重啟動的實時混合試驗方法(restarting based real-time hybrid testing method, R-RHT)[8-9]與迭代混合試驗(iterative hybrid test,IHT)方法[10-11]。R-RHT方法基本原理是，當計算時滯大于積分步，作動器會停止加載并回到初始位置，等待數值計算到當前步的加載命令，作動器再進行連續加載直至當前步，再進行下一步的數值計算與物理加載。IHT方法將傳統RHT以積分步實時交互方式轉變成全時程離線交互方式，通過全時程迭代獲取結構真實響應，避開了計算時滯問題。IHT方法被廣泛應用于汽車輪胎耐久性測試[12]、非結構構件抗震性能評估[13]、偏置電力變壓器性能評估[14]、車橋耦合振動性能評估[15-16]等多個領域。然而，IHT方法在求解下一輪次全時程結構響應時，試驗子結構(experimental substructure,ES)實測反力值與運動方程積分算法求解存在輪次差的問題，導致運動方程求解精度和迭代收斂效率降低。針對這一問題，王濤等[17-19]于2021年在IHT方法基礎上提出了力修正迭代混合試驗方法(force correction iterative hybrid test, FCIHT)，該方法基于等效ES數值模型和相鄰兩迭代輪次的速度、位移響應修正每一迭代輪次ES反力，從而減小輪次差的影響。FCIHT方法解決了RHT的計算時滯問題，尚未考慮物理加載時滯帶來的不利影響，需進一步研究物理加載時滯對FCIHT方法精度和迭代收斂效率的影響規律。

本文在FCIHT方法基礎上考慮物理加載時滯影響，提出PLTD-FCIHT(force correction iterative hybrid test method considering physical loading time delay)方法，給出方法原理及流程，以三層框架-黏滯阻尼器減震結構為研究對象，對所提方法進行數值驗證，分析加載時滯大小對所提方法收斂性的影響規律。

1 PLTD-FCIHT方法原理及流程

PLTD-FCIHT方法包括全時程內數值計算與物理加載的內環控制和全時程輪次間迭代收斂外環控制。在內環控制中進行物理加載時滯補償和力修正運動方程數值積分，在外環控制中采用不動點迭代[20]，構成雙環控制框架，以提高試驗精度與迭代收斂效率。PLTD-FCIHT方法原理如圖1所示。

1.1 PLTD-FCIHT方法時程內環

圖1 PLTD-FCIHT方法原理圖

(1)

(2)

值得說明的是在迭代第j輪次，NS與ES的實時數值計算、時滯補償、物理加載、反力修正，形成一個時程內的閉環，時滯補償與力修正策略能在一定程度上保證試驗加載精度與運動方程求解精度。本文將通過數值模擬驗證考慮物理加載時滯下力修正策略的有效性，同時進一步分析加載時滯大小對迭代收斂性的影響。

1.2 PLTD-FCIHT方法時程外環

值得說明的是在迭代第j輪次，NS計算、ES加載與兩者之間的時程數據交互，形成一個時程間的閉環，通過不動點迭代算法，逐步減小迭代第j-1輪次與第j輪次的位移響應誤差，直至滿足收斂目標要求，則第j輪次的結構響應為結構最終的試驗結果。

(3)

(4)

(5)

則稱為不動點迭代法收斂，d*為式(4)的解。

PLTD-FCIHT方法流程如圖2所示，圖2中n為一個時程總的積分步數。

圖2 PLTD-FCIHT方法流程圖

假定ES是彈簧-阻尼的線性系統，那么在迭代第1輪次參與運動方程逐步求解時的ES反力為

(6)

式中,ac,ak分別為假定的ES阻尼系數和剛度系數。

在實際工程中，假定的ES阻尼和剛度不可避免的會帶來初始估計誤差，通常ac≠1和ak≠1。

2 PLTD-FCIHT方法實施方案設計

2.1 實施工況設計

為驗證PLTD-FCIHT方法有效性，以三層框架-黏滯阻尼器減震結構為例進行計算。以首層的黏滯阻尼器作為ES，其余部位作為NS，將兩者結合進行數值模擬。

三層框架結構各層質量均為2×104kg，各層抗側剛度均為4×107N/m，結構阻尼采用瑞利阻尼，阻尼系數矩陣由質量矩陣和剛度矩陣線性組合計算，即C=a1M+a2K。瑞利阻尼的比例系數a1與a2由結構阻尼比與頻率確定。該結構前2階振型阻尼比ζ0均為2%，前3階頻率分別為3.17 Hz,8.88 Hz和12.8 Hz。NS質量M，阻尼C和剛度K分別為

(7)

(8)

(9)

地震激勵為El Centro (NS，1940) 地震加速度記錄，峰值加速度調整為70 gal，積分步長為1/1 024 s，每一輪次的積分步數為10 240步。

在迭代第j輪次，黏滯阻尼器的力學模型為

(10)

式中:FE為阻尼力向量;cE為阻尼系數;α為速度指數。

速度指數α=0.35，阻尼器系數cE=4.14×105(N·s)/m。為避免試驗加載過程中位移響應發散，設置位移限值20 mm。為模擬控制器、作動器、黏滯阻尼器組成的試驗伺服加載系統，本文選用文獻[21]提出的傳遞函數作為加載系統模型，文獻[22]利用高階加載系統模型對該二階簡化模型進行了驗證，結果表明該二階簡化模型的精度較高，可以替代實際的試驗伺服加載系統開展數值仿真工作。該二階傳遞函數表達如下

(11)

式中:ωE與ζE分別為該系統的圓頻率與阻尼比;τ1為系統純時滯;s為拉普拉斯算子。本文選用ωE=45,ζE=0.78，同時由于τ1遠小于加載時滯，故忽略τ1的影響。為考慮真實試驗測量噪聲與AD,DA轉換噪聲，分別對試驗伺服加載系統位移的輸入和輸出加入標準差約0.01 mm的白噪聲。

時滯補償采用三階多項式外插方法，如式(12)，時滯大小τ通過求取前期離線試驗數據的最小值確定，如式(13)。

(12)

(13)

式中：Δt為積分步長；b為數據點的數目；ti為計算第i步的時間。

以第j輪次試驗為例，三層框架-黏滯阻尼器減震結構PLTD-FCIHT方法示意圖,如圖3所示。

圖3 PLTD-FCIHT方法示意圖

具體試驗操作流程如下。

(1) 建立模型階段：①對三層框架結構進行劃分,將黏滯阻尼器作為ES，結構其余部位作為NS，并建立兩者動力學邊界關系；②開展前期試驗，利用歷史數據建立等效黏滯阻尼器數值模型。

(2) 試驗第1輪次：①假定黏滯阻尼器數值模型，設定數值結構參數，輸入外部激勵，對整體結構進行數值模擬，獲得全時程響應；②對第1輪次的時程位移進行補償，獲取補償后的時程命令位移，然后在伺服加載系統中對黏滯阻尼器進行實時加載，測得黏滯阻尼器第1輪次的時程反力與時程位移；③通過外環收斂控制器將全時程反力與位移傳遞至第2迭代輪次。

(3) 試驗第j(j≥2)輪次：①將試驗j-1輪次的黏滯阻尼器時程反力輸入運動方程，同時基于黏滯阻尼器數值模型與相鄰兩迭代輪次的位移、速度響應差值對第j-1輪次傳遞的時程反力進行修正，逐步求解第j輪次的全時程響應；②對第j輪次的時程位移進行時滯補償，通過補償的命令位移，在伺服加載系統中對黏滯阻尼器進行實時加載，實時逐步反饋實測位移數據到運動方程數值積分模塊開展力修正數值計算，同時保存黏滯阻尼器第j輪次的時程反力與時程位移；③在時程輪次間逐步傳遞全時程反力與位移實測向量，開展時程外環不動點迭代收斂判斷。

(4) 試驗控制階段：①進行收斂判斷，若收斂即試驗成功，否則進行輪次判斷；②對于已經進行j輪的試驗次數與限定jmax輪的試驗次數進行對比，若未達到jmax，則繼續迭代加載，若達到jmax，則結束試驗。

2.2 收斂評價指標設計

為了對所要開展的模擬工況進行分析與評價，進行純數值模擬計算得到理想狀態下結構時程位移響應的參考解di。

為了定量分析每一輪次下迭代收斂的快慢，定義收斂速度的評價指標如式(14)所示。該指標表示結構模擬工況在相鄰兩迭代輪次的第i積分步前的輸入時程位移差值小于收斂速度誤差限值R，即認為該工況在第j輪次收斂δj步。當該模擬工況的收斂步數為10 240步時，即認為迭代完全收斂。其中誤差限值R根據工程精度要求設定，通常取小于參考解幅值的2%。

(14)

為了定量評估迭代收斂過程，定義局部峰值誤差e1與相對面積誤差e2評價指標如式(15)和式(16)所示。式(15)表示結構相鄰兩迭代輪次在第i積分步下輸入時程位移差值絕對值的最大值，該指標能夠體現PLTD-FCIHT的收斂精度；式(16)表示結構相鄰兩迭代輪次在第i積分步下輸入時程位移差值，與上一迭代輪次輸入時程位移的相對面積比值，該指標能夠體現PLTD-FCIHT整體穩定程度。

(15)

(16)

3 數值驗證

為檢驗PLTD-FCIHT方法的有效性，本文在數值環境下分別對力修正策略與不動點迭代策略展開驗證。分別設計力修正系數γ為0.8,0.4與0的模擬工況。工況1即γ=0.8與工況2即γ=0.4表示開展不同力修正系數的PLTD-FCIHT，工況3即γ=0表示開展傳統的IHT。

為驗證不動點迭代策略，圖4展示了不同迭代輪次下3種工況的首層位移響應與參考解的對比。由圖4可見，隨著迭代輪次的增加，3種模擬工況與參考解的時程位移響應吻合程度在不斷增加；工況1在第5輪迭代時，與參考解的時程位移基本吻合；工況2在第15輪迭代時，與參考解時程位移偏差較大；工況3在第15輪迭代時，與參考解時程位移偏差最大。這表明不動點迭代策略能復現結構響應，但所需試驗輪次較多。

(a) 工況1

為驗證力修正策略，圖5展示了3種工況在迭代第1～第5輪的首層位移響應與參考解的對比。由圖5可見，在迭代第1輪，3種工況下的位移響應與參考解都有較大的偏差；在迭代第2～第5輪，隨著力修正系數的增加，結構位移響應與參考解的吻合程度逐漸增加。在迭代第5輪，當γ=0.8的位移響應與參考解已基本吻合，γ=0.4次之，當γ=0時的偏差最大。這表明力修正策略能有效減少迭代輪次的需求，同時力修正所采用的模型越精確，所需試驗迭代輪次就越少，試驗耗時就越短。

(a) 第一輪

為定量評價PLTD-FCIHT的收斂性，采用迭代收斂評價指標，計算出3種工況下每一輪次結構響應的收斂步數、局部峰值誤差e1、相對面積誤差e2，結果如圖6、圖7所示。在本算例中，當該模擬工況在第j輪次下的e1<0.2 mm，e2<2%時，即認為迭代收斂，可滿足工程精度要求。

其中式(14)中收斂步數誤差限值R=0.3 mm，得到不同力修正系數下迭代收斂步數,如圖6所示。由圖6可見，在迭代第1輪后，隨著力修正系數的增加，迭代收斂步數逐漸增加，同時當γ=0.8時，迭代收斂步數的增加較為迅速，在迭代第3輪結束時，迭代收斂步數為10 240步，即迭代完全收斂。在迭代前5輪次，當γ=0.4，γ=0處于迭代不完全收斂狀態，同時γ=0.4迭代收斂步數增加極為緩慢。這表明力修正策略能較為有效的提高迭代收斂速度，同時力修正所采用的模型越精確，迭代收斂速度越快。

圖6 不同力修正系數下迭代收斂步數

不同力修正系數下迭代誤差,如圖7所示。由圖7可見，在迭代第1輪結束時，3種工況的e1與e2均為最大，分別為4.13 mm和50.65%。當γ=0.8，在迭代第3輪結束時，e1已降低至0.2 mm，在迭代第4輪結束時，e2已降低至2.00%。當γ=0.4與γ=0時，在迭代5輪內，e1與e2不滿足迭代收斂目標。相較于γ=0時，γ=0.4的e1與e2更小。這表明力修正策略能較為有效的降低迭代收斂誤差，同時力修正所采用的模型越精確，迭代收斂精度越高。

(a) 局部峰值誤差

根據試驗結果可知，隨著迭代輪次的增加，IHT最終都能得到一個收斂解，但是試驗耗時較大。力修正策略能有效提高迭代收斂效率，縮短試驗耗時。

4 時滯影響分析

為進一步分析物理加載時滯對PLTD-FCIHT的影響，本文設計定時滯大小分別為15 ms,30 ms,45 ms的模擬工況，如表1所示。

表1 模擬工況

采用迭代收斂評價指標，探究加載時滯大小對PLTD-FCIHT迭代收斂性的影響。為更明顯得到加載時滯對PLTD-FCIHT迭代收斂性的影響規律，調整式(6)假定黏滯阻尼器的阻尼系數ac為0.5，剛度系數ak為0，力修正系數γ為0.8，同時為考慮補償精度對PLTD-FCIHT迭代收斂性的影響規律，對式(12)中采樣步長一致取10，即Δt=10/1 024 s。

其中式(14)中收斂步數誤差限值R=0.3 mm，得到不同工況下迭代收斂步數如圖8所示。由圖8可見，隨著迭代輪次的增加，不同工況下的收斂步數逐漸增加。在迭代5輪次內，與無位移補償策略(工況1、工況3、工況5)相比，有位移補償策略(工況2、工況4、工況6)在相同時滯大小與迭代輪次下的迭代收斂步數增加更快，同時無位移補償策略均處于不完全收斂狀態，有位移補償策略均收斂10 240步，即迭代完全收斂，這表明位移補償策略能有效提高迭代收斂速度。當無位移補償策略時，在相同迭代輪次下，工況1時滯為15 ms，其收斂步數增加最快；工況3時滯為30 ms，其收斂步數增加次之；工況5時滯為45 ms，其收斂步數增加最慢。當有位移補償策略時，在相同迭代輪次下，工況2時滯為15 ms，其收斂步數增加最快；工況4時滯為30 ms，其收斂步數增加次之；工況6時滯為45 ms，其收斂步數增加最慢。這表明隨著物理加載時滯的增大，迭代收斂速度逐漸變慢。

圖8 物理加載時滯對迭代收斂步數的影響

不同工況下迭代誤差結果,如圖9所示。由圖9可見，隨著迭代輪次的增加，不同工況下的e1與e2逐漸減小。在迭代5輪次內，與無位移補償策略(工況1、工況3、工況5)相比，有位移補償策略(工況2、工況4、工況6)在相同時滯大小與迭代輪次下的e1與e2更小。在迭代第5輪次結束時，有無位移補償策略的e1與e2相差最小，此時對比工況1，工況2的e1與e2分別減小了39.09%與29.99%；對比工況3，工況4的e1與e2分別減小了63.16%與58.27%；對比工況5，工況6的e1與e2分別減小了58.87%與65.53%。這表明在相同時滯大小下，位移補償策略均能有效降低迭代收斂誤差，提高迭代收斂精度。當無位移補償策略時，不同輪次下物理加載時滯越小迭代的e1與e2越小；當有位移補償策略時，受限于試驗伺服加載系統非線性以及時滯補償精度等因素的影響，時滯大小對迭代的e1,e2影響規律在迭代2輪后并不明顯，這表明位移預測補償精度也會影響迭代收斂精度。

(a) 局部峰值誤差

根據試驗結果可知，物理加載時滯對迭代收斂性影響較大，位移預測補償方法能有效提高迭代收斂速度與收斂精度，同時補償精度的高低也在一定程度上影響著迭代收斂精度。

5 結 論

本文提出了考慮物理加載時滯的力修正迭代混合試驗方法，針對三層框架-黏滯阻尼器減震結構進行數值模擬，主要結論如下：

(1) 相較于迭代混合試驗，采用力修正策略的位移響應與參考解吻合程度較高，力修正能顯著提高迭代收斂效率，同時力修正所采用的模型越精確，迭代收斂效率越高。

(2) 不同物理加載時滯的模擬結果表明，當時滯分別為15 ms,30 ms和45 ms時，在迭代5輪次內，有位移補償策略均完全收斂，無位移補償策略均處于不完全收斂狀態；在迭代第5輪次結束時，對比無位移補償策略，有位移補償策略的局部峰值誤差分別減小了39.09%,63.16%和58.87%，相對面積誤差分別減小了29.99%,58.27%和65.53%，這表明物理加載時滯對迭代收斂效率影響顯著，采用時滯補償方法能有效提高迭代收斂速度與收斂精度。