振動臺與偏心負載相互作用的機理研究

王巨科， 李小軍， 劉愛文， 陳 蘇， 傅 磊， 李芳芳

(1.中國地震局地球物理研究所,北京 100081； 2.北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室,北京 100124； 3.天津城建大學 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室,天津 300384)

電液振動臺是工程抗震研究[1-3]，汽車道路模擬[4]，以及航天振動測試[5]等領域的重要試驗設備。振動臺與試驗對象(負載)間的相互作用會對振動臺試驗造成不利影響，使得振動臺的控制性能降低，負載的響應出現偏差等。當負載重心偏離振動臺臺面中心時，相互作用的影響會更加劇烈。在振動臺與偏心負載相互作用機理研究方面，已有研究的重點是提升多軸冗余振動臺的控制性能，并未對相互作用的影響這一重要問題進行深入地探究。

眾多專家在建立了多軸冗余振動臺與偏心負載系統模型的基礎上，提出了不同的控制策略來補償相互作用，從而提升振動臺的控制性能。閆飛躍等[6-8]采用拉格朗日法建立了振動臺與偏心負載的系統模型，并引入模態控制策略來提升振動臺的控制性能。樊強[9]在建立了振動臺與偏心負載系統模型的基礎上，采用了模態與自由度控制相結合的控制策略，提升了振動臺的控制性能。魏巍[10]基于建立的振動臺與偏心負載系統模型，設計了動力學解耦控制器和模態控制器，改善了振動臺的控制性能。謝子東[11]建立了振動臺與偏心負載的系統模型，并設計了動力學解耦控制器來提升振動臺的控制性能。此外，一些相關的振動臺研究也涉及到了負載偏心的情況，但這些研究并未對振動臺與偏心負載進行針對性的系統建模或相互作用補償。Zhang等[12]以雙振動臺臺陣和偏心負載為研究對象，采用了偏差耦合與自適應逆控制相結合的控制策略，改善了雙振動臺臺陣與偏心負載系統的同步與跟蹤控制性能。針對振動臺與偏心負載系統，Tsuruta等[13-14]提出了一種預測同步誤差的補償算法，提升了振動臺的控制性能。

綜上所述，振動臺和偏心負載相互作用的機理研究在相互作用的補償方面取得了長足發展。然而，在相互作用的影響研究方面卻還處于起步階段。負載的質量、轉動慣量和偏心程度這些重要特性產生的影響尚不明確。此外，相互作用對激振器及其耦合作用的影響還有待于進一步研究。

本文以單水平向雙激振器振動臺(下文統稱振動臺)與偏心負載為研究對象，采用MATLAB軟件構建了振動臺與偏心負載的系統模型。基于構建的系統模型，研究了在不同的質量比、轉動慣量比、偏心距離比工況下，相互作用對振動臺與偏心負載系統傳遞函數矩陣的影響。分析了特定負載工況下，相互作用對兩激振器及振動臺控制性能的影響。基于構建的系統模型，在分離出相互作用傳遞函數的基礎上，提出了一種實時補償的控制策略，并分別從頻域和時域角度論證了所提策略的有效性。

1 振動臺與偏心負載的系統建模

振動臺在單水平向由兩個激振器推動，二者相互耦合，因此振動臺與偏心負載系統為多輸入多輸出模型。系統的建模過程主要包括振動臺與偏心負載的動力學建模和振動臺與偏心負載的液壓及控制系統建模兩部分。

1.1 振動臺與偏心負載的動力學建模

振動臺與偏心負載(例如CCTV新臺址主樓[15])系統的示意圖如圖1所示。為簡化分析，假定負載為剛性負載，并通過將負載偏心地布置在振動臺臺面上來模擬負載重心偏離振動臺臺面中心的情況。同時，不考慮振動臺與連桿之間的剛度與阻尼，則振動臺與偏心負載的動力學模型如圖2所示。圖2中：E1和E2分別為兩激振器；AppL1(F1)和AppL2(F2)分別為兩激振器的出力,Ap為活塞的有效承壓面積；pL1為負載激振器1的負載壓力；pL2為負載激振器2的負載壓力；x1為激振器1的位移；x2為激振器2的位移；Mt為振動臺臺面質量；Ms為負載質量；Me為振動臺與負載的等效質量；x為等效質量的位移；Je為振動臺和負載的等效轉動慣量；φ為等效轉動慣量的運動轉角；a為等效質量的偏心距離；l為激振器到振動臺臺面中心的距離。

圖1 振動臺與偏心負載的系統示意圖

(a) 基本模型

振動臺與偏心負載的基本模型，見圖2(a);其等效模型,見圖2(b)。采用如圖2(c)所示的構建方法，可得振動臺與偏心負載的動力學模型為

(1)

式中：Jt和Js分別為振動臺和偏心負載本身的轉動慣量;Jt+Jta和Js+Jsa分別為振動臺和偏心負載相對于圖2(c)中x軸的轉動慣量。

1.2 振動臺與偏心負載的液壓及控制系統建模

結合動力學模型，可得液壓驅動系統的力平衡方程為

(2)

基于構建的力平衡方程，并結合王巨科等研究中的三連續方程，可得振動臺與偏心負載的液壓系統模型為

(3)

基于構建的液壓驅動系統模型，同時考慮三參量發生器、三參量前饋與反饋以及傳感器的影響，可得振動臺與偏心負載的系統模型為

(4)

寫成傳遞函數矩陣的形式為

(5)

式中：H11(H22)為受相互作用影響的激振器1(2)的傳遞函數；H12(H21)為受相互作用影響的兩激振器耦合作用的傳遞函數；u1(u2)為激振器1(2)的控制信號；H11,H12(H21)和H22的表達式為

(6)

式中：G5，G6和G7的表達式為

(7)

式中：G3為三參量輸入裝置的傳遞函數;G4為三參量反饋的傳遞函數;Gqkq為伺服閥的傳遞函數;Ap為活塞的有效承壓面積;Ga為傳感器的傳遞函數，其表達式及參數取值詳見王巨科等的研究。

2 負載特性對傳遞函數矩陣的影響研究

基于構建的傳遞函數矩陣，擬研究不同負載特性(質量、轉動慣量、偏心距離)對傳遞函數矩陣的影響，并分別采用了MR，JR和ER來表示質量比、轉動慣量比和偏心距離比。設計了表1所示的工況來研究相互作用對H11，H22，H12(H21)的影響。研究的關注點為：傳遞函數受影響的頻段范圍、敏感性和變化趨勢。研究中將幅頻特性的絕對值≥3.00 dB作為傳遞函數特性超出正常范圍的量化標準。

2.1 質量比對傳遞函數矩陣的影響

為研究質量比對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表1所示的工況1～3。不同工況下各個傳遞函數的頻譜特性如圖3所示。

表1 不同工況下負載的基本特性

由圖3(a)可知：當MR=0.5時，H11在35.60 Hz處的取值為-3.00 dB；當MR=1.0時，H11在27.90 Hz處的取值為-3.00 dB；當MR=1.5時，H11在23.60 Hz處的取值為-3.00 dB。同時，隨著MR的變化，H22在48.60 Hz處的取值均為-3.00 dB。此外，當MR=1.5時，H11在14.60 Hz處的取值為4.21 dB。分析圖3(a)可知：隨著MR的增大，H11的油注共振頻率不斷減小，且油注共振頻率處的峰值不斷升高；H22的油注共振頻率大小及該處的峰值未發生明顯變化(量化標準<1.00 dB)。

觀察圖3(b)可知：在10.00 Hz處，空臺特性的幅值為-49.40 dB；當MR=0.5時H12(H21)的取值為-32.10 dB；當MR=1.0時H12(H21)的取值為-23.10 dB；當MR=1.5時H12(H21)的取值為-18.00 dB。分析圖3(b)可知：隨著MR變大，兩激振器間耦合作用被急劇放大，最小可達31.40 dB，約為37.15倍。

(a) H11和H22

2.2 轉動慣量比對傳遞函數矩陣的影響

為研究轉動慣量比對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表1所示的工況4～6。在不同工況下各個傳遞函數的特性如圖4所示。

(a) H11和H22

觀察圖4(a)可知：隨著JR的減小，H11在27.95 Hz處的取值為-3.00 dB；在15.90 Hz處，H11的取值為3.21 dB。此外，隨著JR的變化，H22在48.60 Hz處的取值均為-3.00 dB。由圖4(b)可知：隨著JR的變化，H12(H21)在10.00 Hz處的取值為-23.80 dB。分析圖4可知：隨著轉動慣量比的變大，H11和H22的變化不大(量化標準<1.00 dB)；各個傳遞函數對轉動慣量比變化的敏感性很低，且只在40.00 Hz之后有一定的影響。

2.3 偏心距離比對傳遞函數矩陣的影響

為研究偏心距離比對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表1所示的工況7～9。在不同工況下各個傳遞函數的特性如圖5所示。

圖5 偏心距離比對傳遞函數矩陣的影響

由圖5(a)可知：當ER=0.2時，H11在30.00 Hz處的取值為-3.00 dB；當ER=0.4時，H11在27.90 Hz處的取值為-3.00 dB；當ER=0.6時，H11在26.30 Hz處的取值為-3.00 dB。同時，當ER=0.6時，H11在15.60 Hz處的取值為-3.93 dB。此外，當ER=0.2時，H22在42.20 Hz處的取值為-3.00 dB；當ER=0.4時，H22在47.20 Hz處的取值為-3.00 dB；當ER=0.6時，H22在50.20 Hz處的取值為-3.00 dB。圖5(a)表明：隨著偏心距離比的變大，H11的有效使用頻段不斷降低，油注共振頻率處的峰值不斷升高；H22的有效使用頻段有一定提升，但并未超過振動臺空載時的有效頻段。

觀察圖5(b)可知：當ER=0.2時，H12(H21)在10.00 Hz處的取值為-21.90 dB；當ER=0.4時，H12(H21)在10.00 Hz處的取值為-23.20 dB；當ER=0.6時，H12(H21)在10.00 Hz處的取值為-25.80 dB。分析圖5(b)可知：隨著偏心距離比的變大，兩激振器間耦合作用略有減小。

綜上所述，就對傳遞函數矩陣影響的頻段范圍而言：質量比、偏心距離比的影響區間集中在H11(H22)的中高頻段(5～50 Hz)，而轉動慣量比產生的影響位于H11(H22)的高頻段(40～50 Hz)。就對傳遞函數矩陣影響的敏感性而言：質量比的影響最大，偏心距離比次之，轉動慣量比最小。就對傳遞函數矩陣影響的趨勢而言：隨著質量比和偏心距離比的增大，相互作用對H11的影響逐漸變大；隨著質量比的變大，相互作用對H12(H21)的影響變大；隨著偏心距離比的變大，相互作用對H22的影響逐漸減小，對H12(H21)的影響變小。值得指出的是：相互作用導致了兩激振器間的耦合作用顯著變大，最小可達37.15倍。

3 相互作用對振動臺控制性能的影響

由第2章的研究可知：不同負載特性下，相互作用導致了傳遞函數矩陣特性出現了不同程度的變化。為進一步研究相互作用對兩激振器及振動臺性能的影響，選取了表1中的工況2(非最不利工況)進行影響分析。振動臺與偏心負載的相互作用對兩激振器性能和振動臺性能影響如圖6所示。

觀察圖6(a)可知：在17.00 Hz處，激振器1特性的取值為4.24 dB；在12.20 Hz處，激振器1特性的取值為3.00 dB；在29.20 Hz處，激振器1特性的取值為-3.00 dB。同時，在34.20 Hz處，激振器2特性的取值為4.24 dB。此外，相互作用導致了激振器1和激振器2相頻特性也發生了改變。圖6(a)表明：相互作用導致了兩個激振器性能發生了不同程度的變化，兩個激振器發生不同步運行，臺面發生了扭轉。

由圖6(b)可知：在16.20 Hz處，振動臺+偏心負載特性的取值為3.02 dB；在27.90 Hz處，振動臺+偏心負載特性的取值為-3.00 dB。此外，在56.10 Hz處，空臺特性的取值為-3.00 dB。分析圖6(b)可知：相互作用導致了振動臺系統特性發生了極大的變化，其使用頻段降低了71.13%。

圖6 相互作用對振動臺控制性能的影響

4 實時補償的控制策略及仿真驗證

第3章的研究表明，振動臺與偏心負載的相互作用對振動臺控制性能的影響巨大。因此，本文在王巨科等所提出策略的基礎上，提出了一種適用于補償振動臺與偏心負載相互作用的拓展形式。

4.1 控制策略的推導

由式(1)和式(7)，可得

(8)

令I11為相互作用對激振器1的影響，I12為相互作用對兩激振器耦合作用的影響，I22為相互作用對激振器2的影響，則

(9)

進一步推導可得

(10)

為實時補償相互作用帶來的影響，需要將I11,I12和I22部分消除，假定補償環節可以寫為

(11)

結合式(10)和式(11)，可得

(12)

通過實時補償，激振器1、激振器2的傳遞函數為

(13)

分析可知，偏心負載對激振器1、激振器2的影響被完全地補償。將該補償策略進一步同王巨科等所提出的控制策略相結合，可得出本實時補償控制策略的方框圖如圖7所示。

圖7 實時補償策略的方框圖

為了驗證所提策略的有效性，分別從時域和頻域分別展開有效性驗證。同時，為了對比補償前后振動臺控制性能提升，選用表1中的工況2作為驗證工況。

4.2 頻域特性

采用提出的補償策略，所得到的振動臺系統特性如圖8所示。由圖8(a)可知：采用補償策略后，兩激振器特性與空臺特性重合。圖8(a)表明：采用補償策略后，兩激振器的特性一致，二者同步運行，振動臺受偏心負載影響的扭轉問題得到了解決。由圖8(b)可知：采用補償策略后，振動臺+偏心負載特性的特性與空臺特性重合。分析圖8(b)可得：采用所提出的補償策略后，振動臺與偏心負載間的相互作用得到了補償。

(a) 兩激振器性能

4.3 時域特性

采用3倍壓縮的El-Centro地震動記錄作為激勵信號輸入到系統中，通過分析復現的地震動記錄及其傅里葉譜，以及復現精度來綜合判斷振動臺控制性能是否得到了提升。

4.3.1 地震動記錄的復現

3倍壓縮El-Centro地震動記錄的復現情況如圖9所示。為便于觀察，將特定時間及頻率段的細節放大進行對比。

觀察圖9(a)可知：在0.7～0.8 s內，由于相互作用的影響，激振器E1和激振器E2復現的地震動記錄不同；采用補償策略后，激振器E1、E2和振動臺與偏心負載系統試驗(system test of shaking table and eccentric load, ST)與空載時的波形重合。由圖9(b)可知：在17.6～18.6 Hz頻率內，采用補償策略后E1、E2和振動臺與偏心負載系統(ST)與空載時的傅里葉譜重合，相互作用得到了補償。

由圖9可定性地得出以下結論：所提出的控制策略能夠很好地補償振動臺與偏心負載間的相互作用。

(a) 地震動記錄的復現

4.3.2 地震動記錄復現評價

為了定量地分析所提出補償策略的有效性，進一步分析了地震動記錄的復現精度。補償前后的波形復現評價指標,如圖10所示。同時，采用了文獻[16]中的均方根誤差(root mean square error，RMSE)計算方法，來對傅里葉譜進一步分析，分析結果如表2所示。

圖10 復現評價指標

表2 傅里葉譜的對比分析

觀察圖10可知：在未補償前，激振器1,2的波形相關系數分別為：76.06%和85.32%；補償后激振器1,2同步運行，復現的波形相關系數為90.10%(與空臺的一致)。補償前，激振器1,2波形復現誤差的最大值分別為137.52 dm和100.43 dm；補償后，激振器1,2波形復現誤差的最大值均為80.44 dm。補償前，激振器1和2波形復現誤差的均方根(root mean square，RMS)值分別為74.55 dm和41.83 dm；補償后，激振器1,2波形復現誤差的RMS值均為30.15 dm(與空臺的一致)。分析圖10可得出：補償后兩激振器的波形相關系數分別提升了14.04%和4.78%，誤差的最大值分別減小了41.51%和19.90%，誤差的RMS值分別降低了59.56%和27.92%。

由表2可知，由于受到相互作用的影響，兩個激振器復現波形傅里葉譜的RMSE值由9.38%分別上升到了24.93%和15.03%。采用了補償策略后傅里葉譜的RMSE值與空臺的相等。分析表2可得出：采用補償策略后，傅里葉譜的RMSE值分別下降了15.55%和5.65%。

綜上，地震動記錄復現精度的提升說明了所提出補償策略有效。此外，補償后的時域復現各項指標都與空臺一致，且與頻域特性驗證的結果相吻合。

5 結 論

本文以單水平向雙激振器振動臺和偏心負載為研究對象，構建了振動臺與偏心負載的傳遞函數矩陣，對振動臺與偏心負載間的相互作用進行了影響研究和實時補償，得出了以下結論：

(1) 不同的負載特性對傳遞函數矩陣的影響不同。其中，質量的影響最大，偏心程度次之，轉動慣量最小。

(2) 相互作用對振動臺控制性能的影響巨大，振動臺的有效使用頻段降低了71.13%，兩激振器間的耦合作用被放大至少37.15倍，且使得兩激振器不能同步運行。

(3) 提出的實時補償控制策略有效地補償了振動臺與偏心負載間的相互作用，提升了振動臺的控制性能。