類比推理法在高中數學教學中的應用研究

文/高新春

引 言

高中數學涉及的理論知識、數學方法眾多，要想讓學生在有限的學習時間內充分掌握相關內容，教師需要使用科學有效的教學方法，加深學生對知識的理解和記憶。類比推理法的應用可以幫助學生對比數學知識點的異同，從而領會不同知識點的內涵，提高學生的學習效率。教師應認識到類比推理法的應用意義，將這一教學方法有機融入高中數學課程教學中，實現對學生數學思維能力的培養。

一、類比推理法的相關界定

（一）類比推理的概念特征

類比推理是推理的形式之一。通過類比兩個或兩個以上的對象，明確其在屬性上的相同或相似，再通過比較推斷出類比對象的其他屬性，這一過程被稱為類比推理[1]。類比推理包括完全類比推理與不完全類比推理兩種形式。類比推理是一種由一般到一般、由個別到個別的推理形式，其推理結論具有或然性的特征。同時，類比推理的依據是類比對象的部分屬性，由已知屬性推理另外的未知屬性，其推理結論并不完全是正確的。

（二）在高中數學教學中的應用優勢

類比推理是一種認知思維方法，將其應用到高中數學教學中，具有以下優勢：第一，有助于調動學生的數學探究積極性。教師在課上組織學生類比學習，可以使學生有充分的機會利用已積累的經驗、知識探究

未知的數學問題。在這一過程中，學生的注意力高度集中，能夠在短時間內找到學習新知的訣竅，體會到學習的樂趣，從而形成積極的數學學習態度。第二，有助于提升學生的數學思維水平。類比推理是一種思維方法，學生應用這一方法可以將抽象的數學知識變得具象化，區分不同知識點的異同。

二、類比推理法在高中數學教學中的應用策略

（一）滲透類比思想，樹立類比學習觀念

受傳統“填鴨式”教育思想的影響，部分學生在學習高中數學知識時傾向于死記硬背數學概念、計算公式、數學算法等，忽視了對知識點之間相同、不同處的分析，導致對數學知識一知半解[2]。究其原因，在于學生缺乏良好的學習觀念。在實際教學中，教師要在課上滲透講解類比思想，將類比思想的概念內涵、應用方法、應用優勢在課上分享給學生，循序漸進地培養學生的類比推理學習意識，引導其樹立類比學習觀念。

以人教版高一必修第一冊“集合間的基本關系”一課的教學為例，為了使學生充分理解集合之間的包含、相等關系的含義，理解子集、真子集、空集的概念，教師類比實數的大小關系，引入集合的包含與相等關系。在導入階段，教師滲透類比思想：類比思想是一種知識的遷移思想，即一種學習對另一種學習的影響。在數學探究過程中，教師引導學生結合已掌握的知識對未掌握的知識進行類比推理，以降低數學學習難度。通過滲透類比思想，學生在腦海中形成類比學習的觀念，不再死記硬背知識。在此基礎上，教師提出類比問題：（1）元素與集合的關系有哪幾種？0與N的關系是什么？-1.5與R的關系是什么？（2）類比實數大小關系，如5<7，2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關系？通過問題加深學生對類比思想的理解，使其真正掌握類比推理的思想方法。

上述案例，教師立足課堂實際教學內容，在恰當的時機為學生介紹類比思想，并圍繞類比思想提出相應的問題，加深了學生對數學思想的認知與理解，為學生樹立類比學習觀念奠定了基礎。

（二）明確類比目標，優化數學教學結構

類比學習的關鍵在于挖掘不同知識點存在的內在聯系。然而，部分教師在類比教學時，受眾多數學知識點的干擾，出現了教學方向不明、教學結構混亂的問題，影響了教學的正常進行。究其原因，在于教師未能明確類比教學目標，使課程教學有形無“魂”。應用類比推理法教學之前，教師應立足教學實際，分析課程的主次教學內容，并根據學生的實際學習水平明確類比目標，圍繞目標設置有層次的教學結構，保證高中數學課程的教學質量。

以人教版高一必修第一冊“二次函數與一元二次方程、不等式”一課的教學為例，類比推理前，教師應明確探究一元二次函數、一元二次方程與一元二次不等式三者之間的關系是本課的主要教學內容，也是教學重難點。明確重難點后，教師再確定類比推理的教學目標：能夠用二次函數的觀點處理二次方程、二次不等式問題，感悟函數的重要性及數學知識之間的關聯。為達成這一目標，教師設計類比推理教學方案：第一，出示一次函數與一元一次不等式的圖像與數據表格，組織學生分析二者之間的關聯；第二，組織學生基于一次函數、一次不等式知識點的關聯類比推理一元二次函數、一元二次方程與一元二次不等式三者之間的關系；第三，得出推理結論，并組織學生驗證結論是否正確。

上述案例，教師綜合課程教學內容，明確類比推理的應用目標，并根據具體目標優化課程教學結構，使學生按照具體步驟類比、推理、演繹數學知識點，從而提高學生的類比學習效率。

（三）提出引導問題，引發數學探究興趣

并不是所有的學生都具備類比推理的思維能力，少數學生無法明確不同數學知識點之間的內在關聯，在類比學習時較為吃力。為了降低類比學習的難度，使學生對類比推理學習產生興趣，教師應發揮自身引導作用，啟發學生進行類比學習。

以人教版高一必修第一冊“指數函數”一課的教學為例，為了使學生在類比推理學習中掌握指數函數的概念、圖像和性質，教師在課上提出引導性問題：取一張正方形紙片，將紙片對折，紙片對折的次數x與所得層數y的關系可用什么函數表示？對折次數x與折后面積y的關系可用什么函數表示？通過提問讓學生得出兩個函數，類比兩個函數的異同。比如，函數y=x2的圖像是怎樣的？有什么特征？函數的圖像是怎樣的？兩個函數的圖像有怎樣的區別？讓學生在引導性問題的驅動下，發現兩種函數的異同之處，激發學生的探究意識，再借助具體的問題，讓學生抽象兩種函數的共性和差別，幫助學生完成由一般到一般的類比推理學習。

上述案例，教師將新知教學內容與過去教學的數學知識進行類比推理，同時結合學生的類比學習進度提出有針對性的引導問題，使學生在解答問題的過程中得到類比結果，從而形成積極的類比探究學習態度。

（四）觀察比較實物，發展直觀類比思維

高中數學知識具有較強的抽象性，若教師一味使用抽象的數學符號、數學語言展開類比推理教學，會增加學生的學習負擔，使其對數學學習產生倦怠感。在實際教學中，教師應控制好教學節奏，在講解復雜知識點時，設計直觀性較強的類比推理教學方案，使學生在直觀觀察、直觀類比的過程中找到類比對象的異同點，從而加深對數學知識點的理解與記憶。

以人教版高一數學必修第二冊“簡單幾何體的表面積與體積”一課為例，教師將幾何體的結構相似性作為類比推理教學的依據，在課上展示實物，讓學生觀察、比較，并結合已學的知識對數學問題進行類比推理。課上，教師展示高度相同、底面積相同的長方體與不規則四棱柱體的實物，組織學生以小組為單位觀察二者的異同，并提出討論性問題：長方體的體積應怎樣計算？不規則四棱柱體的體積應怎樣計算？二者之間有聯系嗎？讓學生帶著問題觀察、比較幾何體，應用現有的工具模擬兩個幾何體：用兩摞教科書在桌面摞成兩個長方體，其中一個不動，使另一個長方體向一側傾斜，完成數學模型的搭建。這時，學生發現長方體與四棱柱體的底面積相同、高相同，推理出四棱柱體體積的求解公式V=SH（S：底面面積；H：柱高）。

上述案例，教師根據教學需求收集教學實物，并將其直觀呈現在學生眼前，然后組織學生以小組為單位觀察、比較兩組實物的異同，讓其在合作構建數學模型、對比異同的過程中進行類比推理，從而得出數學結論，形成良好的直觀類比思維。

（五）組織聯想辨別，發展推理思維

根據類比推理的內涵和特征，教師應明確高中數學課程教學的重點，在課上預留學生獨立思考、合作討論的時間，并組織相應的教學活動，使學生在課上進行創造性的類比推理。在這一過程中，教師應轉變固有的師本教學思想，將課堂還給學生，將其作為學習主體，組織學生參與類比聯想、類比辨別的學習活動，使其在活動中大膽設想，以發散性的數學思維探究數學問題，培養創造性思維。

以人教版高一必修第二冊“復數”一單元的教學為例，復數具有幾何意義，教師可應用平面向量的相關知識組織學生進行類比、聯想：復數與向量具有相似的性質，比如，向量與復數z=a+bi存在意義對應的關系，復數z=a+bi的模可用對應向量的模表示等。教師可引導學生根據對應向量相加、相減、相乘的性質，聯想復數z1與z2相加、相減、相乘的結果，提出猜想：兩個復數相加可用兩對應向量相加表示；求解兩個復數相減的答案，可以應用求兩對應向量相減的方法計算等。在此過程中，教師不限制學生聯想，使其大膽猜測，逐步形成類比推理的數學思維習慣。

上述案例，教師明確新知內容與已教學內容的關聯，將二者相同的性質作為類比推理依據，組織學生在課上討論、猜想，使學生在此過程中形成大膽設想的創造性類比思維。

（六）驗證類比結論，發展數學抽象思維

類比推理是一個嚴謹的、富含邏輯的思維過程。由于類比推理的結論具有或然性的特征，為了避免學生形成錯誤的認知，教師需組織結論驗證教學活動。在這一活動中，教師應用相關案例，讓學生將類比推理的結論代入案例中，若應用該結論計算分析后得到的答案與原答案相同，說明類比結論正確，反之則不然。

以人教版高一數學必修第二冊“用樣本估計總體”一課的教學為例，教師將初中所學的統計知識應用到本課的類比推理教學中，讓學生在回顧舊知的過程中推理頻率分布表、頻率分布直方圖的繪制方法與作用。根據學生推理結果，教師引入實際案例：一個口袋有1個黑球和若干個白球，這些球除顏色以外，形狀大小都一樣，如果不許將小球倒出來，怎樣估計其中白球的數目？讓學生用推理出的結論解決問題，在得到問題答案后，將口袋打開，讓學生數清白球的數量，以此驗證學生所推理的結論是否正確。

在這一過程中，學生先通過類比推理得出結論，再進行案例應用驗證結論，進一步總結所推理論的正誤，提高了數學歸納、數學抽象思維能力。

（七）建構知識體系，提升類比建構能力

建構知識體系是類比推理教學的重要教學環節之一。在學生完成對知識結構、不同知識點內在關聯的探究后，教師應指導學生完善自身知識體系，在課上組織類比實驗，讓學生在實驗操作的過程中類比解題方法，從中推理、總結數學的一般性規律，進一步搭建數學知識框架，讓學生在信息化教學工具的指導下完成對新舊知識點的關聯類比，吸收、內化數學知識。

以人教版高一數學必修第二冊“頻率與概率”一課的教學為例，在完成初中統計知識的類比教學后，教師組織學生進行類比試驗。試驗1：把全班分成10個小組，每組分配兩枚質地均勻的硬幣，拋擲一枚硬幣一次，統計“正面朝上”的情況；試驗2：把全班分成10個小組，每組分配一個骰子，一次拋擲一個骰子，記錄“點1朝上”的情況。這樣，學生從兩次試驗中類比出概率的統計定義，明確事件A發生概率的估計值的含義，同時結合概率的性質0≤P（A）≤1、P（A）+P=1對“若事件A與B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）”這一性質進行類比推理。在這一過程中，學生充分參與了數學理論的發現、推理、驗證，對數學理論有了更深刻的認知，能夠輕而易舉地建構數學知識體系。

結 語

綜上所述，將類比推理法應用到高中數學教學中，對培養學生的歸納、推理、建構能力有積極意義。在實際教學中，教師要把握類比推理法的核心概念，積極將這一方法應用到知識教學、習題教學中，通過提問、引導、比較、聯想、驗證等過程，加深學生對數學知識的認知與理解，使學生達到深度學習的狀態，促進學生的綜合發展。