項(xiàng)目式學(xué)習(xí)：讓學(xué)生在主動(dòng)參與中達(dá)成概念性理解
——以“長方形的面積”教學(xué)為例

江蘇江陰市祝塘中心小學(xué)（214415）包永芬

【問題凝視】

學(xué)生在三年級(jí)學(xué)習(xí)了長方形的面積之后，往往就會(huì)混淆周長和面積。例如，要畫一個(gè)面積為12平方厘米的長方形，總有學(xué)生畫成周長是12厘米的長方形。又如，學(xué)生會(huì)把一個(gè)長方形的面積寫成12厘米。

【成因分析】

1.學(xué)生空間觀念發(fā)展不足，沒有實(shí)現(xiàn)從一維空間到二維空間的跨越

學(xué)生很難精準(zhǔn)表達(dá)線與面的聯(lián)系和區(qū)別，如受長度測(cè)量的影響，在比較長方形面積的大小時(shí)，學(xué)生第一時(shí)間會(huì)去測(cè)量其長和寬，而對(duì)于不規(guī)則的圖形，學(xué)生就無從下手。可見，學(xué)生對(duì)“面”的認(rèn)知還停留在一維空間的層面，在他們的認(rèn)知中，“長×寬”和“長+寬”意思差不多，所以即使他們做再多的練習(xí)，也還是把面積算成周長。從一維空間到二維空間的跨越是學(xué)生空間觀念一次重要的飛躍，如果不能讓學(xué)生從二維的角度來辨析面積的本質(zhì)，那么后續(xù)的學(xué)習(xí)也就成為空中樓閣。

2.面積公式理解不足，僅局限于記憶

面積公式的本質(zhì)是度量，即用數(shù)和單位刻畫圖形面積的大小。而對(duì)于問題“為什么會(huì)混淆長方形的面積和周長”，學(xué)生的回答是“因?yàn)樗鼈兌加瞄L和寬來計(jì)算”。從學(xué)生的回答來看，學(xué)生對(duì)面積公式僅限于生硬記憶。若學(xué)生沒有真正理解，又何談?wù)莆眨?/p>

3.概念性理解不足，沒有建立基礎(chǔ)量感

對(duì)于問題“為什么把長方形的面積寫成12厘米”，學(xué)生的回答是“‘平方厘米’中都有‘厘米’，兩者差不多”。從學(xué)生的回答中可以看出，他們沒有真正理解面積的本質(zhì)，因而不清楚面積單位所表示的實(shí)際意義，更別說建立平方厘米、平方分米、平方米的量感了。學(xué)生對(duì)面積的概念的理解深度和廣度不夠，原因有兩點(diǎn)，一是缺少辨析的過程，因此沒有理解面積的本質(zhì)；二是學(xué)生對(duì)面積單位缺少豐富的體驗(yàn)感知，獲得的直接經(jīng)驗(yàn)較少，因而無法建立清晰而精準(zhǔn)的面積單位量感。

可見，學(xué)生只有高質(zhì)量地主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，調(diào)動(dòng)身體各部分充分感知“面積”，通過觀察、操作儲(chǔ)備清晰的表象，才能形成幾何直觀。

【探尋出路】

史寧中教授指出，學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展，本質(zhì)上是學(xué)生自己“悟”出來的，即通過獨(dú)立思考以及和他人的討論與反思，逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣。要想“悟”得深刻，就得“感”得充分，而充分的“感”有賴于學(xué)生高質(zhì)量地主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)以“項(xiàng)目活動(dòng)”為載體，以“問題串”為引領(lǐng)。項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)和探討交流都旨在學(xué)生主動(dòng)參與，引導(dǎo)學(xué)生在項(xiàng)目中發(fā)展能力、提升核心素養(yǎng)。

1.“兒童的”學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)主動(dòng)參與

喬納森在《學(xué)習(xí)環(huán)境的理論基礎(chǔ)》中明確指出“學(xué)和做是不可分的，它們都是由意圖啟動(dòng)的”。沒有意圖的學(xué)習(xí)，就沒有主動(dòng)意向，那學(xué)習(xí)就只能是一種抽象化的學(xué)習(xí)，并非真實(shí)的學(xué)習(xí)。要讓學(xué)生積極主動(dòng)參與，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)一定是屬于“兒童的”。因?yàn)閷W(xué)生在真實(shí)的活動(dòng)中有感而發(fā)、深有體悟的問題，所以可以激活他們的探究欲望，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)他們積極主動(dòng)參與學(xué)習(xí)。如在學(xué)生學(xué)習(xí)長方形的面積后，可以安排一個(gè)小項(xiàng)目：班級(jí)需要一個(gè)課外活動(dòng)場(chǎng)地，請(qǐng)用12米長的繩子去圍一個(gè)長方形或者正方形的班級(jí)活動(dòng)場(chǎng)地，場(chǎng)地面積要盡可能大。了解了項(xiàng)目要求后，有的學(xué)生拿著繩子的一頭跑得很遠(yuǎn)，以至于繩子不夠，最終沒有圍成長方形或是正方形；有的學(xué)生總怕繩子不夠，圍得很小心，結(jié)果繩子剩了一段；有的學(xué)生很聰明，先用繩子圍成一個(gè)圈，然后再將其拉成長方形。這樣的一番操作下來，學(xué)生產(chǎn)生了疑惑：“到底哪個(gè)才是面積最大的呢？”。參與活動(dòng)后產(chǎn)生的疑惑成為學(xué)生真正的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，成功喚起他們的探究欲望，學(xué)生進(jìn)而主動(dòng)把現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題——周長和面積的關(guān)系，最終調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)。

2.“全面的”投入學(xué)習(xí)促使深度理解

蒙臺(tái)梭利認(rèn)為：身體是學(xué)習(xí)過程的重要組成部分，我們的動(dòng)作能輔助我們思考。當(dāng)身體、大腦和思維都參與到探究過程中，學(xué)生才能進(jìn)行深層次的思考。在項(xiàng)目活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)“哪組圍成的場(chǎng)地面積最大？”有著急切的探究欲望，這就是情感的投入。如學(xué)生在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)面積”后，獲得用數(shù)方格來比較面積大小的經(jīng)驗(yàn)及面積單位的知識(shí)，在教師的引導(dǎo)下就能想到先將每組圍成的圖形按比例畫在方格紙上，再數(shù)一數(shù)方格數(shù)量，最終比出圍成場(chǎng)地面積最大的小組。在優(yōu)化數(shù)方格方法的過程中，學(xué)生明白長方形面積其實(shí)是“長方形一行的小方格個(gè)數(shù)×行數(shù)”，即“長×寬”。又或者再通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算，明白原來圍成的場(chǎng)地面積是可以用邊長為1米的方塊來度量的，“長×寬”算出來的是方塊的個(gè)數(shù)，從而理解面積與周長是不一樣的。學(xué)生在多次“全面的”投入學(xué)習(xí)中明白了長和寬在面積公式中的實(shí)際意義，在沉浸式的學(xué)習(xí)中深度理解了面積公式的內(nèi)涵。

3.“深入的”探討交流直擊知識(shí)內(nèi)核

“深入的”探討交流強(qiáng)調(diào)探討要有深度，這意味著學(xué)生的思考、交流不能淺嘗輒止。學(xué)生在探討交流中慢慢理解知識(shí)背后所蘊(yùn)含的原理和思想方法后，將原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與新知建立聯(lián)系，可將知識(shí)技能轉(zhuǎn)化為能力素養(yǎng)。對(duì)“能否用簡單的方法來測(cè)量長方形的面積”這一問題的探討，學(xué)生的思考有：用什么來測(cè)量面積的大小呢？能用長度單位嗎？為什么測(cè)量長和寬就能求出長方形的面積？學(xué)生經(jīng)歷了辨析長度單位和面積單位的不同過程，使面積單位的概念再次強(qiáng)化。學(xué)生的探討不局限于單個(gè)問題的深入，而是一個(gè)接著一個(gè)問題的層層深入，直擊面積公式內(nèi)核：長方形周長公式的長、寬與面積公式中的長、寬代表的意義是一樣的嗎？學(xué)生在辨析中理解長方形周長公式中的長、寬是長度，而面積公式中的長、寬表示的是小方塊一行的個(gè)數(shù)與行數(shù)，它們代表的意義不同。這樣，在探究、比較、討論中，學(xué)生逐步建立起穩(wěn)定、清晰的認(rèn)知，從本質(zhì)上區(qū)分了面積與周長的不同，一維空間與二維空間的差別。在真實(shí)而又富有挑戰(zhàn)性的問題中，學(xué)生不斷深入探討交流，逐步積累并形成經(jīng)驗(yàn)。

項(xiàng)目雖小但能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與，精準(zhǔn)的核心問題能引領(lǐng)學(xué)生沉浸式地思考、探討，使其經(jīng)歷從“怎么圍”“哪個(gè)面積最大”，到“數(shù)方格”，再到“公式計(jì)算”，最后到“與周長對(duì)比辨析”的過程。這樣的教學(xué)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到了實(shí)處。

【教學(xué)重構(gòu)片段】

1.實(shí)踐探究，找尋測(cè)量面積的方法

師：大家在操場(chǎng)上用12米長的繩子圍了各種不同的長方形和正方形。哪組圍的面積最大？

組1：我們可以用數(shù)方格的方法比較面積的大小。

師：把每一塊場(chǎng)地分割成一個(gè)個(gè)1平方厘米的小方塊嗎？

組1：圍成的場(chǎng)地很大，用1平方厘米的小方塊顯然太小了，用手掌大的1平方分米的小方塊似乎也太小。應(yīng)該用1平方米的小方塊。

師：還有別的想法嗎？

組2：我們組圍的長方形長4米、寬2米，都是以米為單位，角上擺出的第一個(gè)方塊的面積是1平方米。（如圖1）

圖1

師：可以用1米長的繩子代替1平方米的方塊來測(cè)量面積嗎？為什么？

組3：1米長的繩子只能量出長度是幾米，1平方米的方塊可以量出幾平方米，不能代替。（如圖2）

圖2

（學(xué)生小組合作，劃分場(chǎng)地后數(shù)方格）

2.探討想象，提升測(cè)量面積的方法

師：數(shù)方格的時(shí)候，要一個(gè)一個(gè)數(shù)出來嗎？

組1：我們組圍成的圖形長4米、寬2米。我們先數(shù)一行的方塊數(shù)，有4個(gè)，再看有2行，一共8個(gè)方塊，所以是8平方米。（如圖3）

圖3

師（出示圖4）：能知道這個(gè)長方形的面積嗎？

圖4

組2：長4米就表示一行有4個(gè)1米，寬2米就是有2行，還是可以算出長方形的面積的。

師：你們的意思是用“每行的個(gè)數(shù)×行數(shù)”就可以知道長方形里面有幾個(gè)方塊，也就是用“長×寬”就可以知道長方形的面積。

3.溝通比較，理解面積公式

師（出示圖5）：通過數(shù)這幾個(gè)圖形的面積的過程，你發(fā)現(xiàn)它們有什么相同之處和不同之處嗎？

圖5

組1：都是一行有4個(gè)方塊，有2行，面積都是8平方米。

組2：它們的不同之處是，有的是一個(gè)一個(gè)數(shù)，有的是只數(shù)了一行，有的不需要數(shù)。

組3：最后一個(gè)圖形是看著數(shù)字想象方塊數(shù)，就是將4米想象成一行有4個(gè)方塊，將2米想象成2行。

組4：長是4米，一行就有4個(gè)方塊，寬是2米，即2行，然后將長和寬相乘就能求出一共有幾個(gè)方塊。最后一個(gè)圖形的面積是算出來的，不是數(shù)出來的。

師：“4×2”也就是“長×寬”，表示的是方塊的個(gè)數(shù)，也就是這個(gè)長方形的面積。

師：如果一個(gè)長方形長10米、寬6米，能算出它的面積嗎？

生1：10×6=60（平方米）。

師：請(qǐng)總結(jié)出求長方形面積的公式。

生2：長方形的面積=長×寬。

師：長方形的周長公式為“長方形的周長=（長+寬）×2”，長方形的周長公式和面積公式中的長、寬代表的意思是一樣的嗎？

組5：長方形周長中的長、寬表示的是長度，長4米表示有4個(gè)1米，寬2米表示有2個(gè)1米，“長+寬”一共有6個(gè)1米，周長就是12個(gè)1米。長方形面積中的長表示一行有幾個(gè)方格，寬表示有幾行，“長×寬”表示的是一共有多少個(gè)面積為1平方米的方格。

師：看來大家已經(jīng)領(lǐng)悟面積公式的本質(zhì)，并且能清楚地區(qū)分長方形面積與周長的不同了。

4.應(yīng)用實(shí)踐，鞏固面積公式

師：我們?cè)倏纯床賵?chǎng)上圍出的不同的長方形，現(xiàn)在要知道哪組圍的面積最大，只要算出每組圍成的圖形面積就可以。能算嗎？

生1：能。只要測(cè)量出每個(gè)長方形的長和寬，然后計(jì)算它們的乘積就可以了。

師：在圍成的圖形中，正方形的面積最大，它的面積是怎么求的？

生2：其實(shí)也是用一行的個(gè)數(shù)乘行數(shù)，只不過兩個(gè)數(shù)是一樣的。

師：我們的操場(chǎng)那么大，它的面積到底有多大呢？能測(cè)量嗎？

生（齊）：能！

綜上所述，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，促使學(xué)生深度理解，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從“遇到問題”到“解決問題”的過程，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地。