從靜觀走向?qū)嶒?yàn)
——“長(zhǎng)方形和正方形”單元數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的開(kāi)發(fā)與實(shí)施

江蘇江陰市澄江中心小學(xué)（214400）汪燕芬

蘇教版三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形”這一單元的知識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象，因此，筆者先梳理出學(xué)生在單元學(xué)習(xí)中存在的一些普遍性問(wèn)題，再以一個(gè)個(gè)具體案例闡述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的實(shí)施路徑，以期幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

一、問(wèn)題分析：過(guò)度靜觀，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)于抽象化

本單元的教學(xué)主要存在三大問(wèn)題，究其原因主要是學(xué)生只是靜聽(tīng)教師講授知識(shí)，靜觀教師一個(gè)人操作，而缺乏動(dòng)手實(shí)踐。

1.概念理解不透徹

本單元的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生掌握長(zhǎng)方形、正方形的基本特征以及周長(zhǎng)概念。而理解周長(zhǎng)的含義是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)各圖形周長(zhǎng)計(jì)算的起點(diǎn)。對(duì)于稍加變式的練習(xí)題“如圖1，判斷是甲的周長(zhǎng)長(zhǎng)還是乙的周長(zhǎng)長(zhǎng)”，學(xué)生往往判斷不準(zhǔn)，原因就在于他們對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)不夠清晰，容易將周長(zhǎng)和圖形的面積混淆。這說(shuō)明三年級(jí)的學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的理解不透徹，易受干擾，教師要幫助其尋找到有效構(gòu)建“周長(zhǎng)”概念的方式。

圖1

2.周長(zhǎng)公式算理不明確

長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算是對(duì)長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特征的綜合運(yùn)用。在多種計(jì)算長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的方法中，學(xué)生容易掌握的方法有“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬”“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)×2+寬×2”，但對(duì)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2”的方法只會(huì)套用公式機(jī)械計(jì)算，并不明白其中的算理。可見(jiàn)，把“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2”理解透徹是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

3.解題思維力不夠

計(jì)算周長(zhǎng)的變式題很多，例如，求圖2中的多邊形的周長(zhǎng)。解題首先要在深刻理解周長(zhǎng)含義的基礎(chǔ)上明確是求哪些邊線長(zhǎng)度的和，然后通過(guò)平移，將多邊形轉(zhuǎn)化為正方形后才能求出周長(zhǎng)，這對(duì)學(xué)生的思維要求比較高。本單元還有大量需要通過(guò)拼或剪圖形之后求周長(zhǎng)的問(wèn)題，如“把兩個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形拼一拼，怎么拼使得周長(zhǎng)最長(zhǎng)？怎么拼使得周長(zhǎng)最短？”“把一個(gè)長(zhǎng)8厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方形剪成兩個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，兩個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和比原來(lái)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最多增加幾厘米？”。為此，教師要研究如何幫助三年級(jí)的學(xué)生來(lái)理解并掌握解決這類問(wèn)題的策略，以發(fā)展他們的思維。

圖2

二、解決問(wèn)題的路徑：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)發(fā)與實(shí)施

學(xué)生在學(xué)習(xí)中如同旁觀者，以一種靜觀的狀態(tài)來(lái)獲取知識(shí)，這樣的學(xué)習(xí)方式是呆板的。為了優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，筆者找到了解決問(wèn)題的路徑——開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指讓學(xué)生借助實(shí)物和工具，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的操作來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在2021年，本校成功申報(bào)了江陰市專項(xiàng)資金項(xiàng)目“指向?qū)W科育人的小學(xué)‘?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)’的實(shí)踐研究”，在項(xiàng)目研究的引領(lǐng)下，筆者作為該項(xiàng)目的主要參與者，開(kāi)始和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)零距離接觸。在教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形”單元時(shí)，筆者開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，讓學(xué)生從靜觀走向?qū)嶒?yàn)，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)，使教學(xué)取得了良好的效果。

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的開(kāi)發(fā)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)應(yīng)具備操作性、實(shí)踐性和挑戰(zhàn)性等特點(diǎn)，筆者從以下三方面來(lái)開(kāi)發(fā)本單元的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。

第一，教材。在充分理解教材編者意圖的基礎(chǔ)上，在教材中的新授內(nèi)容以及習(xí)題中開(kāi)發(fā)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。例如，教材三年級(jí)上冊(cè)第38頁(yè)的習(xí)題（如圖3）就可重新設(shè)計(jì)，開(kāi)發(fā)為“從長(zhǎng)方形中剪出一個(gè)最大的正方形”的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，并用“如何折？”“為什么這樣折？”“最大的正方形和長(zhǎng)方形之間有什么關(guān)系？”等問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

圖3

第二，數(shù)學(xué)課外讀物。例如，《亮點(diǎn)給力提優(yōu)班多維互動(dòng)空間》（數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)）（以下簡(jiǎn)稱“亮點(diǎn)給力”）這本數(shù)學(xué)讀物的趣味性、挑戰(zhàn)性比較強(qiáng)，如“剪去一個(gè)小長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)會(huì)怎樣？（如圖4）”，可開(kāi)發(fā)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：動(dòng)手剪一剪，有幾種不同的剪法？每種剪法對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)發(fā)生怎樣的變化？綜合各種剪法，你得出什么結(jié)論？

圖4

第三，生活問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題大部分來(lái)源于生活問(wèn)題，教師可把學(xué)生要解決的生活問(wèn)題設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1：王大爺想在院子里圍一個(gè)長(zhǎng)10米、寬6米的長(zhǎng)方形雞舍。如果一面靠墻，有幾種不同的圍法？哪種圍法用的籬笆最少？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：快過(guò)年了，王阿姨有一張長(zhǎng)26厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方形彩紙，她想剪出最大的正方形來(lái)制作窗花，一共可以剪出幾個(gè)最大的正方形？

經(jīng)過(guò)生活情境包裝的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更加能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。筆者充分理解教材意圖，研讀課外數(shù)學(xué)讀本，再結(jié)合生活問(wèn)題，對(duì)本單元數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了個(gè)性化和創(chuàng)造性地開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)（如表1）。

表1 單元實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的實(shí)施

在本單元學(xué)習(xí)中，筆者通過(guò)開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，組織學(xué)生在活動(dòng)中變革學(xué)習(xí)方式，如猜想試驗(yàn)、動(dòng)手實(shí)踐、探尋規(guī)律、總結(jié)歸納，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程留下痕跡，有效解決了文首提出的三個(gè)問(wèn)題。

（1）建立概念：在實(shí)驗(yàn)中直觀感知，理解數(shù)學(xué)概念

在教學(xué)長(zhǎng)方形、正方形的特征時(shí)，筆者先讓學(xué)生猜想邊和角有什么特征，然后開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)量、折、比來(lái)驗(yàn)證自己的猜想。通過(guò)互動(dòng)交流，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)由無(wú)序變?yōu)橛行?、由零散變成完整。最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)“先在釘子板上圍一個(gè)長(zhǎng)方形，再把它改成正方形以及在一張長(zhǎng)方形紙中剪出一個(gè)最大的正方形”讓學(xué)生在長(zhǎng)方形、正方形特征的比較中感受兩者之間的聯(lián)系，深刻理解兩者的特點(diǎn)。

為了避免學(xué)生混淆周長(zhǎng)和面積，筆者設(shè)計(jì)了豐富的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：描邊線、指邊線、圍邊線等。先讓學(xué)生用筆描出三張書(shū)簽一周的邊線（初步感知）；再讓學(xué)生分別指出課桌面、數(shù)學(xué)書(shū)封面、三角尺一周的邊線（再次感知）；最后讓學(xué)生想辦法測(cè)出一張樹(shù)葉的周長(zhǎng)。學(xué)生在建立周長(zhǎng)概念的過(guò)程中，都是通過(guò)充分操作、實(shí)驗(yàn)來(lái)感知的。比如教材中的思考題“兩個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形重疊成一個(gè)圖形（如圖5），求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)”，只有讓學(xué)生動(dòng)手描邊線，才能使學(xué)生的思維聚焦到概念中的“圖形一周的邊線”上。

圖5

（2）明晰算理：在實(shí)驗(yàn)中豐富表征方式，促進(jìn)深度理解

數(shù)學(xué)表征是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力，也是兒童利用已有經(jīng)驗(yàn)，在探索未知問(wèn)題時(shí)，構(gòu)建自己對(duì)未知問(wèn)題理解的外顯方式。對(duì)于“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2”，為了幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：先用四根小棒搭一個(gè)長(zhǎng)方形，然后探索如何計(jì)算周長(zhǎng)。學(xué)生經(jīng)過(guò)探索，得出多種方法，其中最典型的三種算法如圖6所示，尤其是第③種，學(xué)生通過(guò)操作小棒，直觀感知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)可以平均分成兩份，每一份都是“長(zhǎng)+寬”，所以“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2”。學(xué)生在操作中思考，用圖示表征算理，這比單獨(dú)用語(yǔ)言表征、靜觀教師的圖示表征效果好。可見(jiàn)，學(xué)生自己做過(guò)了，徹底理解了，就不會(huì)忘記。

圖6

（3）提升思維：在實(shí)驗(yàn)中滲透思想方法，促進(jìn)思維發(fā)展

獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論不是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)唯一的目的，更重要的是幫助學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，使其在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升和發(fā)展數(shù)學(xué)思考力、探究能力和創(chuàng)新能力。

【案例1】化曲為直，測(cè)量一片樹(shù)葉的周長(zhǎng)

認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)后，學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)測(cè)量周長(zhǎng)，如三角形、四邊形、五邊形等圖形的周長(zhǎng)，只要用直尺測(cè)量，再計(jì)算，就能解決。但生活中有大量曲線圍成的圖形，如何測(cè)量它的周長(zhǎng)呢？筆者組織學(xué)生開(kāi)展“測(cè)量一片樹(shù)葉的周長(zhǎng)”的實(shí)驗(yàn)。學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后，有的說(shuō)把樹(shù)葉當(dāng)成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形去測(cè)量，有的說(shuō)把葉子的邊線先剝離下來(lái)，有的說(shuō)用尺子一段一段去量……“有沒(méi)有既方便量，又量得準(zhǔn)的方法呢？”筆者的這個(gè)問(wèn)題一出，學(xué)生再次商討，最后定為先用一根細(xì)繩沿著樹(shù)葉邊緣圍一圈，再把繩子拉直后用尺子量。當(dāng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)反思時(shí)，筆者以問(wèn)題“通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你學(xué)會(huì)了哪一種測(cè)量方法？”引導(dǎo)學(xué)生反思與小結(jié)，滲透“化曲為直”的思想。

【案例2】平移轉(zhuǎn)化，巧求圖形周長(zhǎng)

例如，圖7的第二和第三個(gè)圖形，如何計(jì)算它們的周長(zhǎng)？筆者先引導(dǎo)學(xué)生用磁力棒圍出這兩個(gè)圖形，接著提問(wèn)：“如何求這兩個(gè)不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)？”學(xué)生開(kāi)始是測(cè)量每一條邊的長(zhǎng)度，后來(lái)通過(guò)移動(dòng)磁力棒，把圖形轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形，最終順利解決問(wèn)題。再如，求圖8中凹凸兩種圖形的周長(zhǎng)。學(xué)生也是通過(guò)移動(dòng)小棒，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形后再求周長(zhǎng)。

圖7

圖8

在實(shí)驗(yàn)反思環(huán)節(jié)，筆者追問(wèn)：“通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你學(xué)會(huì)了哪一種思考方法？”學(xué)生異口同聲回答：“轉(zhuǎn)化法?！笨梢?jiàn)，學(xué)生親身體驗(yàn)了圖形的轉(zhuǎn)化，已學(xué)會(huì)了把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來(lái)解決問(wèn)題的方法，并把這種方法銘記于心。

【案例3】有序列舉，理解圖形構(gòu)造的規(guī)律

如圖9，正方形的邊長(zhǎng)為1厘米，正方形的數(shù)量與拼成圖形的周長(zhǎng)之間有什么樣的關(guān)系？

圖9

學(xué)生要完全理解這道題，就要進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷圖形的構(gòu)造過(guò)程。實(shí)驗(yàn)前，學(xué)生討論出先用小棒擺或者用筆畫(huà)出圖形，從數(shù)量是1個(gè)正方形開(kāi)始研究，再研究2個(gè)正方形相拼、3個(gè)正方形相拼……確定實(shí)驗(yàn)步驟后，學(xué)生一邊擺或畫(huà)，一邊找關(guān)系：1個(gè)正方形的周長(zhǎng)是4厘米，2個(gè)正方形相拼的周長(zhǎng)是6厘米，3個(gè)正方形相拼的周長(zhǎng)是8厘米，4個(gè)正方形周長(zhǎng)是10厘米……學(xué)生用有序列舉的方法邊實(shí)驗(yàn)邊思考，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每增加一個(gè)正方形，周長(zhǎng)就增加2厘米（增加2條邊長(zhǎng)），即“第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)=2×n+2”。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不是僅僅停留在“做”的表層，而是注重引導(dǎo)學(xué)生在“做”中思，只有做思結(jié)合，才能促使學(xué)生真正掌握解決問(wèn)題的策略，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。

綜上，依托數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，以發(fā)展思維為內(nèi)涵，使靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，這樣不但能有效幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，還能在促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)深度理解的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。