含轉動副間隙實驗教學平臺動力學建模及實驗仿真

姜 帥，林遠鵬，趙茂然，劉佳楠，張帥帥

（山東科技大學a.電氣信息系；b.斯威本學院，濟南 250031）

0 引言

理論力學是機械工程類專業學生的一門學科基礎課，在教學過程中學生只注重理想情況下機構動力學理論知識的學習，缺乏在教學過程中鍛煉學生數值計算和實驗虛擬仿真的實踐能力。在實際情況下，由于制造準確度的限制、裝配的需求以及構件之間的磨損，運動副不可避免地存在間隙［1-3］。為培養學生精確動力學模型建立、數值計算和實驗仿真研究的能力，本文以六桿機構為例，對含間隙六桿機構動力學建模、數值求解及虛擬樣機仿真進行研究。

目前，不少學者對含間隙機構展開研究。金國光等［4］基于牛頓-歐拉方程建立曲柄搖桿機構的含間隙動力學方程，研究轉動副間隙對曲柄滑塊機構動力學響應的影響。陳宇等［5］基于拉格朗日乘子法建立含混合間隙曲柄滑塊機構的動力學模型，研究轉動副間隙和移動副間隙的耦合效應對機構性能的影響。趙富強等［6］研究轉動副間隙對雙推桿機械臂運動特性和動態響應的影響。Ambrósio 等［7］對比分析了理想機構和含間隙機構的動力學響應，發現間隙使得曲柄滑塊機構的穩定性和可靠性降低。趙海洋等［8］通過ADAMS 仿真軟件分析了轉動副間隙對曲柄滑塊機構運動特性的影響。邱海飛［9］研究了轉動副間隙模型，分析含間隙四桿打緯機構的力學特性，發現轉動副間隙降低了四桿打緯機構的穩定性。王庚祥等［10］以五桿機構為研究對象，研究運動副間隙對機構動力學特性以及磨損特性的影響。秦浙等［11］建立了含轉動副間隙旋轉移栽機的動力學模型，并對彈射式移栽機構進行了動力學仿真分析，發現間隙運動副嚴重影響機構末端執行器的運動特性。

為培養學生的建模與分析能力，提高學生的實踐動手能力與創新意識，本文以含轉動副間隙六桿機構為研究對象，聯合運用Matlab、SolidWorks、ADAMS 進行數值計算和虛擬樣機仿真。建立含轉動副間隙六桿機構的動力學數學模型，創建含轉動副間隙六桿機構的虛擬樣機仿真模型。增加教學過程的多樣性、直觀性和生動性，培養學生對工程軟件應用能力及工程設計的素養。

1 轉動副間隙模型建立

平面轉動副間隙模型，如圖1 所示。

圖1 轉動副間隙模型

圖中：R1和R2分別為軸承和軸半徑；P1和P2分別為軸承和軸的中心。間隙運動副中軸和軸承之間的偏心距

軸承和軸間的偏心矢量為

含間隙轉動副的嵌入深度

式中，c＝R1－R2為間隙值大小。

如圖1 所示，含間隙轉動副中軸在軸承中的運動狀態可分成：自由狀態、連續接觸狀態和碰撞狀態3 種情況。軸和軸承發生碰撞的判定標準為

L-N法向碰撞力模型作為一個非線性黏彈性模型，適用于一般機械接觸碰撞問題，特別是恢復系數高以及碰撞過程中能量耗散相對較小的情況。

剛度系數可以表示為

阻尼系數可以表示為

式中：ce為恢復系數；為初始碰撞速度。

L-N法向碰撞力

為解決速度為0 附近時由摩擦方向引起的數值積分不穩定的問題，Ambrosio引入動態修正系數，提出了一種修正的庫侖摩擦力模型。

動態修正系數：

式中，v0和v1為給定的速度極限值。

修正的庫侖摩擦力模型

式中，cf為摩擦因數。

2 含間隙機構動力學數學模型的建立

2.1 結構介紹

如圖2 所示六桿機構由機架、曲柄1（L1）、連桿2（L2）、搖桿3（L3）、連桿4（L4）及滑塊S5構成。曲柄1由伺服電動機驅動，滑塊在導軌中做往返直線運動。曲柄1 與連桿2 處的轉動副最靠近驅動構件，考慮此處轉動副為間隙鉸接。

圖2 六桿機構的結構簡圖

六桿機構的自由度

式中：n為機構的活動構件總數，n＝5；PL為低副數目，PL＝7；PH為高副數目，PH＝0。

故該機構自由度為1，可由一電動機驅動，驅動數等于機構自由度數。因此，該機構具有確定的運動。

2.2 動力學模型建立

六桿機構的廣義坐標

含間隙六桿機構位移約束方程

式（12）關于時間求一階導數可得速度約束方程

式（12）關于時間求二階導數可得加速度約束方程

基于拉格朗日乘子法，含間隙系統動力學方程

式中：M 為質量矩陣；λ為拉格朗日乘子；g 為系統廣義力。

利用Baumgarte違約穩定算法可有效提高動力學模型求解的速度和穩定性［12-16］

3 含間隙機構教學虛擬樣機模型的建立

在Solidworks建立六桿機構的三維模型，如圖3所示。將Solidworks模型導入ADAMS，依次添加構件的材料屬性、運動副約束、驅動等，并將機構中各構件的材料均設置為Steel。同時，設置曲柄1 和連桿2 之間存在轉動副間隙，通過ADAMS 開展虛擬樣機試驗仿真研究。虛擬樣機模型，如圖4 所示。

圖3 以Solidworks建立六桿機構的三維模型

圖4 虛擬樣機模型

4 含間隙機構實驗教學平臺動力學分析

4.1 結構參數

六桿機構的桿長、質量及轉動慣量參數見表1，間隙仿真參數見表2。

表1 結構參數

表2 間隙參數

4.2 含間隙機構動力學數值計算結果分析

為讓學生了解不同間隙值對機構運動響應和動態特性的影響，基于龍格庫塔數值求解方法，通過Matkab編程對理想情況、0.1 和0.2 mm 間隙開展數值計算結果分析，曲柄的驅動速度為60 r／m。滑塊的位移、速度和加速度、轉動副間隙處碰撞力、曲柄的驅動力矩、軸在軸承中的嵌入深度、軸在軸承中的中心軌跡分別如圖5、6 所示。

圖5 含間隙機構動力學響應

圖6 間隙處中心軌跡

如圖5（a）、（b）所示，位移和速度對滑塊的敏感度和振動幅度較小。如圖5（c）～（e）所示，加速度、碰撞力和驅動力矩對間隙的敏感度較大，產生了劇烈的高頻振動和較大的峰值突變，且三者的振動峰值出現的時間點相近。如圖5（f）、6 所示，由間隙處嵌入深度和中心軌跡圖可知，軸在軸承中的運動軌跡主要集中于2 個對角線上，且軸在軸承中的運動狀態為自由狀態、連續接觸狀態和碰撞狀態來回切換，使得軸在軸承中產生不均勻碰撞，產生不同大小的碰撞力，并導致非規則磨損。

通過不同間隙值對機構動力學響應的對比分析，間隙值越大導致機構動力學響應的峰值越大、軸在軸承中的嵌入深度越大以及機構的振動頻率加快。可見，間隙值增大會一定程度的影響機構的穩定性。

4.3 含間隙機構動力學實驗虛擬仿真結果分析

在ADAMS 中設置和Matlab 數值仿真一致的參數，通過ADAMS仿真軟件對含轉動副間隙六桿機構進行動力學仿真分析，并將ADAMS 虛擬仿真結果與Matlab數值計算結果進行對比分析。位移、速度、加速度、驅動力矩及間隙處碰撞力的對比分析圖，如圖7所示。

圖7 ADAMS與Matlab動力學響應對比

通過Matlab數值計算結果和ADAMS虛擬仿真結果的對比分析可知，兩者曲線存在些許的差別，峰值的大小和振動頻率出現差距。ADAMS 虛擬仿真結果的振動頻率要低于Matlab 數值計算結果。ADAMS 虛擬仿真結果的振動峰值要高于Matlab 數值計算結果。主要原因在于，兩者的建模和求解方法存在一定的差異。兩者對應曲線的趨勢基本上是一致的。因此，可基本表明，所建理論模型的正確性。

5 結語

為使學生充分掌握工程軟件在實際工程中的應用，提高學生對含間隙機構的分析與設計能力，聯合應用Matlab、SolidWorks 及ADAMS 進行機構的設計、數值計算及實驗仿真。

（1）建立轉動副間隙模型，構建含轉動副間隙六桿機構的動力學數學模型，并通過Matlab 進行數值求解；

（2）通過ADAMS搭建含轉動副間隙六桿機構的虛擬樣機模型，驗證理論模型的正確性。