Lüroth展式相鄰字符乘積的部分和的相關(guān)例外集的分形維數(shù)

張一鳴

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶沙坪壩 401331）

令 Lüroth 變換為 T：[0,1)→[0,1),

對任意的x∈(0,1)，定義d1(x)≥2為使得式(1)成立的唯一正整數(shù)

對 n≥2，如果 Tn-1(x)≠0，則定義 dn(x)=d1(Tn-1(x))。從而對任意x∈(0,1)，可以得到由T所誘導(dǎo)的式(2)級數(shù)

稱這一級數(shù)為x的Lüroth展式,Lüroth展式由Lüroth在1883年首次引入[1]，當(dāng)x為有理數(shù)時，它的級數(shù)展式只含有限項，其中dn(x)稱為x的Lüroth展式的第n個字符。Lüroth展式在實數(shù)表示理論、動力學(xué)系統(tǒng)及概率分布中發(fā)揮著重要的作用，因此一直是數(shù)學(xué)工作者的研究熱點并且已有很多的研究成果。例如變換T關(guān)于勒貝格測度λ是不變的并且T是遍歷的[2]。字符列{dn(x):n≥1}的度量性質(zhì)和遍歷性質(zhì)可參考文獻[3]。關(guān)于單個Lüroth展式字符的增長速度及相關(guān)維數(shù)問題的研究可參考文獻[4]。沈陸明[5]研究了Lüroth展開式中的相關(guān)分形維數(shù)，考慮了Lüroth級數(shù)展開中對數(shù)字有一定限制的點集，給出了相關(guān)例外集的分形維數(shù)。沈陸明[6]還研究了Lüroth展式中最大數(shù)字的相關(guān)分形維數(shù)。譚波[7]研究了Lüroth展式兩個相鄰字符乘積的增長速度，集合｛x∈(0,1):dn(x)dn+1(x)≥φ(n).無窮多次成立｝的勒貝格測度與分形維數(shù)得到了解決。

鑒于此，本文將研究Lüroth展式相鄰字符乘積的部分和的相關(guān)例外集的分形維數(shù)，令

定理 1對任意的 α＞1，若，則。

定理2對任意的，若，則。

1 預(yù)備知識

性質(zhì)1[8]對任意的n≥1和正整數(shù)d1,d2,…,d（n其中di≥2，1≤i≤n），稱集合

為一個n階柱集。I(d1,d2,…,dn)是一個區(qū)間，長度為

引理1[9]給定[0,1]=E0?E1?…為一遞減的集合列，令，假定En為有限個不交閉區(qū)間（此類區(qū)間稱為n階基本區(qū)間）的并集，同時En-1中的每一個n-1階基本區(qū)間里包含了mn個n階基本區(qū)間，且記這些n階基本區(qū)間之間的最短間距為 εn。若 mn≥2，εn-1＞εn＞0，則有

2 維數(shù)的下界估計

引理 2令 xn=ψ(n)-ψ(n-1)，n≥2。若 xn單調(diào)遞減且

證明：令 a1,a2,…是正實數(shù)，定義 a1=2，a2=φ(1)且

因此，由拉格朗日中值定理得

所以

然后通過連續(xù)使用式(6)，得到

因為

其中，ξ介于xn與xn-1之間。再由拉格朗日中值定理得

從而有

若n是偶數(shù)，則由式(4)和式(7)得

同樣，若n是奇數(shù)，則有

取整數(shù)N≥1，且N足夠大，滿足對?n≥N，有

令

因此，對?x∈G，有

由于 anan+1=φ(n)-φ(n-1)(n≥2)，則有

即 x∈G(φ)，從而有

對?n≥N，任意的正整數(shù) d1,…,dn，令

其中，dn+1取整數(shù)且滿足

cl表示R中集合的閉包。令d1=d2=…=dN=2且對?n≥1，令

其中，dN+1，…，dN+n取整數(shù)，且滿足對?1≤i≤n，有

則

集合

則每一個Gn-1中的區(qū)間包含mn個Gn中不相交的區(qū)間。因此，由式(8)和式(9)得

又I(d1,…,dN+n-1,a+1,2)在Gn中的任意兩個相鄰區(qū)間 J(d1,…,dN+n-1,a)和 J(d1,…,dN+n-1,a+1)之間。記

其中，dN+1,…,dN+n取整數(shù)且滿足對?1≤i≤n，有

則

因此，由式(8)得

則Gn中相鄰區(qū)間的間隔至少是εn，從而由引理1和式(4)、式(10)、式(11)得

從而有

引理3若ψ(n+1)-ψ(n)單調(diào)遞增且有

證明：令 a1,a2,…是正實數(shù)，定義 a1=2,a2=φ(1)且

第一種情況0＜c＜∞

因此

從而有

若n為偶數(shù)，則

同樣，若n為奇數(shù)，有

第二種情況c=∞

此時

若n為偶數(shù)，則由式(12)得

在這兩種情況下，得到對an相同的估計。正如引理2的證明，可以相似的通過an和ψ(n)定義G(φ)中的Cantor子集G。通過對其Cantor子集G的估計從而得到對G(φ)的下界估計，因此

3 維數(shù)的上界估計

引理4[10]對任意正整數(shù)n≥4，令

則對?ε＞0，存在一個只與ε有關(guān)的常數(shù)c，使得對?n≥4的所有正整數(shù)，都有

引理 5[11]對?s∈(1/2,1)，對所有m≥n≥1，有

其中

引理6如果對任意正數(shù)M＞1，存在一個N中的子序列｛nk｝，使得對所有足夠大的k，有

則 dimHG(φ)≤1/2。

證明：對?s＞1/2，取 ε∈(0,2s-1)，令

其中，cε由引理4中定義，則對于式(15)中定義的M 存在 nk使得式(13)、式(14)成立，取 δ＞0，使得對所有足夠大的k，有

取 0＜α＜1使得

則對?x∈G(φ)，對所有足夠大的 n，有

從而對所有足夠大的k，有

則對所有足夠大的k，有

又由于 ψ（nk+1)-ψ（nk+1)≥δ，令 b1=(1-α)-(1+α)e-δ，b2=1+α。則對所有足夠大的k，有

取L≥1使得對所有K≥L有式(13)、式(14)成立，則對?K≥L，有

其中

以下證明對?K≥L，對任意正數(shù)d1,…,dNK+1，有

對?i≥K，令

其中

現(xiàn)在估計 Ωi(s)。將整數(shù) ni+2，ni+3，…，ni+1,劃分為兩部分：

要么

考慮ni+1-ni-1是奇數(shù)，且式(17)成立，其他情況的證明類似。在這種情況下

令hj=djdj+1和

則由式(17)可得

且

其中最后的和取使得式(19)成立的所有(hj)j∈Ii,1。由引理 4 得，且由式(18)可得

則由引理5和式(18)得

因此

對于其他情況，可以相似的估計Ωi(s)，由于，則

又由Hausdorff維數(shù)的定義得

引理7[4]對任意b＞1，此集合

4 主要結(jié)果的證明

定理1的證明：當(dāng)1/2＜α＜1時，取。當(dāng)α≥1時，取nk=2k。當(dāng)α=1/2時，取。

則由引理6得

另一方面，如果1/2≤α＜1，則由引理2得dimHG(φ)≥1/2。若α≥1，則由引理3得dimHG(φ)≥1/2。

定理2的證明：由引理3得。又對?1＜b＜α，有

5 結(jié)語

分形維數(shù)被譽為大自然的幾何學(xué)的分形理論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。本文研究了Lüroth展式相鄰字符乘積的部分和的相關(guān)例外集的分形維數(shù)，胡慧等[8]研究證明了其度量性質(zhì)及在一定情況下的分形維數(shù)性質(zhì)，本文在此基礎(chǔ)上，利用對適當(dāng)分形集的構(gòu)造，獲得了在一定增長速度下的相關(guān)例外集的分形維數(shù)，擴展了數(shù)的展式的維數(shù)研究。