非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff方程在3中的兩個(gè)非平凡解

許思詩，葉一蔚

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶沙坪壩 401331）

Kirchhoff-type問題是研究彈性弦自由振動的波方程，在彈性理論、等離子體問題、非牛頓力學(xué)和天體物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。Kirchhoff[1]給出了Kirchhoff方程的動態(tài)模型，，其中，L為弦的長度，h為橫截面的面積，E為材料的Young-模量，ρ為密度，P0為初始張力。該方程考慮了橫向振動產(chǎn)生的弦的長度變化，推廣了經(jīng)典的D'Alembert波方程。Kirchhoff方程具有較好的物理意義，同時(shí)吸引了大量研究者的關(guān)注。文獻(xiàn)[2]利用變分法研究了3中非線性Kirchhoff型問題正解的多重性和集中性行為。文獻(xiàn)[3]利用山路引理和對稱山路引理研究了一類具有徑向勢的Schr?dinger-Kirchhoff方程非平凡解的多重性和一列高能量解的存在性，這些結(jié)果隨后被文獻(xiàn)[4]推廣到 p-Schr?dinger-Kirchhoff型問題。文獻(xiàn)[5]研究了N中的周期位勢Kirchhoff方程，分別在臨界情形和次臨界情形下證明了非平凡解的存在性。文獻(xiàn)[6]研究了3中超線性Kirchhoff方程高能解的多重性。文獻(xiàn)[7]研究了一類半線性Schr?dinger方程無限多個(gè)非平凡解的存在性。文獻(xiàn)[8]研究了非齊次Kirchhoff型橢圓問題解的存在性和多重性。文獻(xiàn)[9]研究了具有組合非線性的Kirchhoff方程多個(gè)正解的存在性。文獻(xiàn)[10]討論了全空間上帶漸近非線性的非齊次Kirchhoff方程兩個(gè)正解的存在性。文獻(xiàn)[11]研究了非齊次四階Kirchhoff方程的多解性問題。

考慮如下非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題

文獻(xiàn)[12]利用Ekeland變分原理和山路引理證明了兩個(gè)非平凡解的存在性。隨后，文獻(xiàn)[13]推廣了文獻(xiàn)[12]的結(jié)論，在非線性滿足f更一般的假設(shè)條件下，利用新的證明方法獲得了非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)非平凡解的多重性結(jié)果。具體而言，文獻(xiàn)[13]給出如下假設(shè)：

(f1)f∈C(N×,)并且存在常數(shù) C＞0，。

(f2)當(dāng)|t|→0 時(shí)，f(x,t)=O(|t|)對x∈N一致成立。

(f'3)當(dāng)|t|→+∞ 時(shí)，F(xiàn)(x,t)/t4→+∞ 對 x∈N一致成立。

定理 1[13]假設(shè)，若(V'1)，(f1)-(f2)且(f3')-(f4')成立，則存在一個(gè)常數(shù) g0＞0，當(dāng)‖g‖L2＜g0時(shí)，非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)至少有兩個(gè)不同的解，其中一個(gè)是負(fù)能量解，另一個(gè)是正能量解。

鑒于此，本文考慮勢函數(shù)V和非線性項(xiàng)f滿足更一般的假設(shè)條件。克服空間嵌入失緊及非線性項(xiàng)不滿足（AR）超線性條件所帶來的困難，利用Ekeland變分原理和山路引理研究非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)非平凡解的多重性，統(tǒng)一推廣文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

記號：H1(3)是通常的Sobolev空間，其上的范數(shù)為

LS(3)(1≤s＜+∞)表示通常的 Lebesgue空間，其上的范數(shù)為

C，Ci表示不同的正數(shù)。

假設(shè)以下條件成立：

(V1)V∈C(3,)滿足 infV(x)＞0，且存在 r0＞0，使得對任意的M＞0有

(f3)當(dāng)|t|→+∞ 時(shí)，F(xiàn)(x,t)/t4→+∞ 對 x∈3幾乎處處成立。且存在r1＞0，使得：

(f4)存在 d'≥0，使得對任意的(x,t)∈3×有4F(x,t)-f(x,t)t≤d't2成立。

則E在如下定義的內(nèi)積和范數(shù)下是Hilbert空間

由于空間嵌入E→Ls(3)(2≤s＜2*)是連續(xù)的，因此存在一個(gè)常數(shù)as＞0，使得

為了應(yīng)用臨界點(diǎn)理論,首先給出E的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)。

引理1[14]假設(shè)條件(V1)成立，則空間嵌入E→Ls(3)(2≤s＜2*)是緊的。

非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)有變分結(jié)構(gòu)，考慮在E上建立非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)對應(yīng)的能量泛函。定義I∶E→，

若 I(u)＜0，則稱非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)的弱解u為負(fù)能量解。若I(u)＞0，則稱非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)的弱解u為正能量解。

由條件(f1)-(f2)，對任意 ε＞0，存在 Cε＞0，使得

并且

因此，在假設(shè)(V1)和(f1)-(f2)下，根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，泛函且

引理2[13]假設(shè)g∈L2(3)，并且條件(V1)和(f1)-(f2)成立，則存在常數(shù) ρ，α，β＞0，使得當(dāng)‖u‖=ρ且‖g‖L2＜ β時(shí)，有 I(u)≥α。

引理3假設(shè)條件(V1)和(f1)-(f2)成立，則，其中，。

證明：因?yàn)椋梢赃x取 v∈E，使得。根據(jù)式(4)～式(6)，當(dāng)t＞0足夠小時(shí)，有

這說明 Cp＜0。此外，由式(3)～式(6)和 H?lder不等式，可得

從而I在Bp上下方有界。

引理4[13]假設(shè)條件(V1)和(f1)-(f2)成立，則I的任何有界（PS）序列在E中都有一個(gè)強(qiáng)收斂的子列。

引理5假設(shè)條件(V1)和(f1)-(f3)成立則存在 e∈E 滿足‖e‖＞ρ，使得 I(e)＜0。

證明：設(shè)v∈E{0}，‖v‖=1，假設(shè)當(dāng)時(shí)，有 I(tnv)≥0。因?yàn)?v≠0，設(shè)，顯然 mA＞0。當(dāng) x∈A 時(shí)，，則當(dāng)n充分大時(shí)，A?{x∶|tnv(x)|≥r1}。結(jié)合式(4)～式(6)、(f3)、H?lder不等式及法圖引理，推出

這是矛盾的。故取 tn足夠大時(shí)，令e=tnv有‖e‖＞ρ，并且 I(e)＜0。

引理6假設(shè)條件(V1)和(f1)-(f4)成立，則I的任何（PS）序列都有界。

證明：假設(shè){un}無界，則存在一子列（仍記為{un}）滿足‖un‖→∞(n→∞)。令，則‖vn‖=1且存在一個(gè)子序列滿足vn?v在E中弱收斂，vn→v 在 Ls(3)(2≤s＜2*)中強(qiáng)收斂并且vn(x)→v(x)對 a.e.x∈3成立。

情形 1v=0時(shí)，結(jié)合式(4)和式(7)、f4及H?lder不等式，推出

情形2v≠0時(shí)，由式(6)可得

結(jié)合式(8)與(f3)可得

因此

若 V(x)≠0 時(shí)，則|un(x)|→∞(n→∞)，因此對充分大的 n，。由條件(f3)和法圖引理可推出

這是矛盾的。綜上，序列{un}有界。

引理7[16]（Ekeland變分原理）設(shè)M是一個(gè)度量為 d 的完備度量空間，I∶M|→R∪{+∞}是一個(gè)下半連續(xù)有界函數(shù)。假設(shè)ε＞0且u∈M使得。

則存在v∈M，使得

且對任意的ω∈M，有

引理8[17]（山路引理）設(shè)X為實(shí)Banach空間，且 I∈C1(X,R)滿足（PS）條件。假設(shè) I(0)=0，且

(I1)存在常數(shù) ρ，α＞0，使得 I|?βρ≥α，

(I2)存在，使得 I(u0)≤0。

則I具有臨界值c≥α，其中

2 非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff方程的兩個(gè)非平凡解

定理2假設(shè)g∈L2(3)且 g?0，若(V1)和(f1)-(f4)成立，則存在一個(gè)常數(shù) l0＞0，當(dāng)‖g‖L2＜L0時(shí)，非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)至少有兩個(gè)不同的解，其中一個(gè)是負(fù)能量解，另一個(gè)是正能量解。

證明：1）存在 u1∈E，使得 I'(u1)=0 且 I(u1)＜0。已知I∈C1(E,)且E是Hilbert空間，由引理3，I在上下方有界，則由引理7，存在中的序列{un}，使得并且。又由引理4可知，{un}有強(qiáng)收斂的子列。故非齊次Schr?dinger-Kirchhoff 型 問題式(1)存在一個(gè)解u1滿足 I(u1)＜0。

2）存在 u2∈E，使得 I'(u2)=0 且 I(u2)＞0。根據(jù)引理2、引理4、引理 5和引理 6可知，泛函I滿足引理8的所有條件。因此由引理8，非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題式(1)存在一個(gè)山路解 u2滿足 I(u2)＞0。

注 1條件(V1)由Bartsch、Wang和Willem在文獻(xiàn)[14]中給出，用于保證工作空間的緊性嵌入。易見條件(V1)弱于(V'1)，存在函數(shù)V滿足(V1)，但不滿足。例如，令

注2定理2推廣了定理1，與Cheng[13]的結(jié)論相比，定理2作了以下三方面的推廣：放寬了位勢函數(shù)V的范圍；減弱條件：在無窮遠(yuǎn)處，將一致強(qiáng)制減弱為幾乎處處強(qiáng)制；放寬條件中常數(shù)d的范圍。

推論 1若將定理 2 中的(f4)替換為，則定理2的結(jié)論仍然成立。

推論2若將定理2中的(f4)替換為，則定理2的結(jié)論仍然成立。

3 結(jié)語

本文研究了一類非齊次 Schr?dinger-Kirchhoff方程非平凡解的多重性。克服空間嵌入失緊和非線性項(xiàng)不必滿足（AR）超線性條件所帶來的困難，并考慮泛函限制在零點(diǎn)的一個(gè)局部領(lǐng)域上，利用Ekeland變分原理獲得了一個(gè)負(fù)能量解的存在性。此外，本文還研究了泛函在零點(diǎn)附近的山路幾何結(jié)構(gòu)，利用山路定理證明了一個(gè)正能量解的存在性。由于這兩個(gè)解的能量不同，從而這兩個(gè)解也是不同的。本研究所得結(jié)果統(tǒng)一和推廣了文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的結(jié)論。