帶運算放大器的熱敏電阻電橋電路分析與設計

無錫南洋職業技術學院智能裝備與信息工程學院 代淑芬

熱敏電阻是一種新型的半導體測溫元件[1]。熱敏電阻應用于溫度檢測靈敏度高且具有結構簡單、電阻率小、適用于動態測量等突出優點，但由于熱敏電阻存在其固有的熱電非線性，嚴重影響著溫度測量范圍的擴大和溫度測量精度[2]。NTC 熱敏電阻的非線性非常嚴重，因此在實際應用中對NTC 熱敏電阻的非線性處理就非常關鍵。本設計應用數學建模的方法，通過對接口電路參數的分析計算，推導出最佳的線性化補償方法。

1 最佳線性化

用模擬電路實現最佳線性化對NTC 熱敏電阻的非線性進行線性補償。首先要選擇并實現最佳擬合直線。

如圖1 所示為分壓式接口電路，首先通過數學建模的方法列出其電路方程，如式（1）所示：

圖1 參數式敏感元件分壓接口Fig.1 Voltage divider interface of parametric sensitive element

將電路方程進行歸一化處理，如式（2）所示：

式中：x是輸入信號，。根據輸入溫度范圍條件，選擇一平衡點x=x0。為了獲得最大線性范圍輸出，將平衡點選在輸入范圍的中點。為了電路在平衡點x0附近的小范圍內具有最佳線性化輸出恃性，將公式（2）在平衡點附近展開成泰勒級數，如式（3）所示：

在式（3）中，若令二次項系數為零k''(x0)=0，并且忽略三階以上非線性，則可得線性方程如式（4）所示：

通過公式（5）可知，e(x)與x間具有線性關系，其線性化條件為：

（1）x必須在平衡點x0附近小范圍內變化；

（2）k(x)在平衡點x0上具有各階導數。

在滿足上述條件下，線性化的條件是平衡點x0上的二階導數為零，同時忽略三階以上導數。

利用泰勒級數,并令二次項系數為零，選擇過平衡點的切線(其斜率為常數）的直線作擬合直線，即常數

由此可得線性化條件，如式（6）、式（7）所示：

式(7)表達了定值電阻R1與感溫電阻R(x)在平衡點x0上的導數值的關系。一般R(x)為正值；但當R''(x0)為負值時，則定值電阻R1必為負值。這表明，當R(x)的二階導數為負值時，不能用純電阻網絡實現定值電阻R1的設計，而只能用有源網絡實現阻值為負值的R1。本設計中，熱敏電阻的二階導數為正值,如圖2 所示，所以熱敏電阻電路的線性化可用電阻網絡實現。

圖2 測溫電阻特性Fig.2 Temperature resistance characteristics

2 熱敏電阻接口電路分析與設計

傳感器接口電路是傳感器與檢測控制系統之間相連接的中間環節，其性能直接影響到整個系統的測量精度和靈敏度[3]。熱敏電阻一般為過渡金屬鐵族混合氧化物的制備物，實用溫度范圍-200℃～200℃。熱敏電阻接口電路必須外加激勵電源。但熱敏電阻通電后會產生自加熱效應，因而引起溫升，影響感溫精度。因此，熱敏電阻激勵電源的電壓或電流應有所限制。

熱敏電阻具有較高的溫度靈敏度，同時也具有很高的非線性，可用指數函數表達熱敏電阻方程，如式（8）所示：

式（8）中T 為絕對溫度，A 和B 稱熱敏電阻常數，與元件及其制備材料的特性有關，可以通過在兩個標準溫度下的實測確定。

將式（8）代入式（7），可求得串接變換方式最佳線性化條件下的R1取值，如式（9）所示：

式（9）中T0是選擇的平衡點溫度。設輸入溫度范圍0℃～50℃,平衡溫度25℃(T0=298K),熱敏電阻常數A=0.0585Ω，B=3260K。取E0=5V，可由式（9）算得R1=2278Ω。由式（4)、式(1)算得最大相對非線性誤差約為4%。

3 帶運算放大器的熱敏電阻電橋電路分析與設計

帶運放的熱敏電阻電橋電路如圖 3 所示。

這種電路的最大優點是輸出電壓對地可為零，是分壓電路、純電阻電橋電路所不具備的特點。根據圖3 電路，并利用理想運放條件,可推導出電路方程如式（10）所示：

圖3 帶運放電橋電路Fig.3 Bridge circuit with op amp

根據熱敏電阻公式(8)，若設平衡溫度為T0，可將熱敏電阻方程作如式（11）、式（12）所示的變換：

設平衡溫度為T0，即x=1，將歸一化電路方程在平衡點x=1 展開成泰勒級數，如式（15）所示：

式中展開系數如式（16）-式（19）所示：

根據最佳線性化條件k2=0可得到如式（20）、式（21）所示：

將式（17）代入式（18），得到如式（22）所示：

若設計在平衡點時的輸出為零，則k0=0，可得如式（23）所示：

在k0=0、k2=0，平衡點零輸出線性化條件下有如式（24）所示：

若僅考慮立方項引起的立方非線性誤差，則相對立方非線性誤差如式（25）所示：

設輸入溫度范圍-25℃～35℃(T=248K～308K），在5℃(T=278K)時輸出電壓為零，在35℃時的最大輸出電壓約為1V，最大相對非線性誤差為D=0.1，計算圖3電路在最佳線性化條件下的電路參數值。

選平衡溫度為5℃(T0=278K）,則歸一化參數x的上限和下限值如式（26）、式（27）所示：

根據最大非線性誤差的要求，可列如式（28）所示：

可見，根據最大非線性誤差的要求，應選用熱敏電阻常數B≈2780K的元件。由式（23）可得到如式（29）所示：

若熱敏電阻的另一個常數A=0.4441?，則得到如式（30）所示：

若取R3=10?，則由，可得R2=1.5K?。根據35℃時最大輸出電壓約為1V 的需求，可得到如式（31）所示：

將上面計算的參數代入電路方程可得如式（32）所示：

由此可計算偏離擬合直線的誤差并畫輸出曲線和誤差曲線如圖4 所示。

圖4 帶運放電橋輸出特性與誤差Fig.4 Output characteristic and error of bridge with op amp

4 結語

上述關于NTC 熱敏電阻非線性的線性化處理方法，是令電路方程在平衡點的泰勒級數的二次項系數為零，對電路元件參數進行最佳線性化分析和設計，具體總結如下：（1）根據工程實際需要，選擇一種熱敏電阻接口變換電路方式，并列出電路方程。要擬定或選擇一熱敏電阻接口變換電路方式,顯然需要具備一定數置的熱敏電阻接口變換電路的知識積累或實踐經驗。知識的積累必須通過一定數量的電路分析和實踐才能獲得；（2）選擇一個平衡點，并對電路方程利用泰勒級數進行展開。為了獲得較大線性范圍的輸出，平衡點的選擇，對應輸入溫度范圍的中點和輸出范圍的中點；（3）選擇過平衡點的切線為擬合直線。具體做法如下：令泰勒級數的二次項系數為零，則一次項系數必為常數。

引用

[1] 梁森.自動檢測與轉換技術(第4版)[M].北京:機械工業出版社,2021.

[2] 于麗麗,王劍華,殳偉群.NTC熱敏電阻器在高精度溫度測量中的應用[J].傳感器技術,2004,23(12):75-77.

[3] 王時,晁雯,高菲,等.傳感器接口電路中電橋電路的應用[J].電子制作,2016(2):85-86.