淺談自制簡易密度計的豎直漂浮的穩定性問題

唐建國

（蘇州市胥江實驗中學校，江蘇 蘇州 215004）

制作簡易密度計是初中物理經常開展的一個綜合實踐活動，在制作過程中，為了能讓密度計保持豎直漂浮狀態，教師通常會指導學生在密度計下端增加配重，從而降低密度計的重心.文獻［1］在探討密度計出現傾斜漂浮的原因時，指出當重心高于浮心，豎直漂浮的物體必定傾翻；只有當重心低于浮心時，才能使密度計保持豎直漂浮狀態穩定，并給出相關圖示予以解釋，如圖1所示.然而更多的文獻［2－4］研究表明，漂浮物體的平衡是否穩定，并不完全取決于重心要低于浮心這一條件，重心高于浮心，物體也能保持平衡.本文從物體保持平衡狀態穩定的最小勢能原理出發，推導密度計保持豎直漂浮穩定所需要滿足的條件.

圖1

1 簡易密度計的物理模型建立

圖2

2 勢能的計算

漂浮物體只受浮力和重力作用，容易證明：重力G和浮力F做功均與路徑無關，因而物體同時具有重力勢能UG和浮力勢能UF，將重力勢能和浮力勢能的零點定義在液面處.記重心和浮心距離液面的距離分別為hC和hD，若重心和浮心位于液面以下，則規定hC和hD分別為負值和正值.總勢能U為

考慮到漂浮物體是等體積傾斜，重力和浮力始終相等，即

重心C到液面的距離為

浮心D到液面的距離為

將（2）～（4）式代入（1）式，得到

3 豎直漂浮的平衡穩定性討論

對總勢能函數（5）式求一階導，并令一階導為0，尋找平衡位置

顯然θ＝0是方程（6）的一個解，表明豎直漂浮是平衡位置.若總勢能函數的二階導在θ＝0時為正數，意味著總勢能有極小值，豎直漂浮的平衡狀態是穩定的.

對總勢能函數求二階導得