利用Mathematica研究四電荷系統的電勢與電場強度分布

曲 浩 馮 豪 郭芳俠

（陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西 西安 710119）

在高中電學學習中，由于電勢以及電場強度的抽象性與復雜性，學生理解起來較為困難.受限于高中階段物理知識以及數學工具的深度，學生往往只能利用對稱性和疊加原理進行局部的定性分析，不能對復雜電場進行精確計算，從而全面分析和呈現電場和電勢的特征.以往研究中，陳燕［1］和許冬保［2］分別對等量和不等量的兩個點電荷激發的電場、電勢進行了討論，董順成［3］利用Geo-Gebra軟件呈現兩個點電荷在不同電性、不同電荷量情況下的電場分布情況，而對于四電荷系統激發的電場的研究較少.

本文首先從理論上計算4個位置對稱的點電荷在空間中產生的電場和電勢，然后應用Mathematica軟件直觀展示靜電場的分布，為教師教學和學生學習提供有力支持和幫助.

2022年高考全國乙卷物理試題第19題如下.

如圖1，兩對等量異號點電荷＋q、－q（q＞0）固定于正方形的4個頂點上，L、N是該正方形兩條對角線與其內切圓的交點，O為內切圓的圓心，M為切點.則

圖1

（A）L和N兩點處的電場方向相互垂直.

（B）M點的電場方向平行于該點處的切線，方向向左.

（C）將一帶正電的點電荷從M點移到O點，電場力做正功.

（D）將一帶正電的點電荷從L點移到N點，電場力做功為零.

答案：（A）（B）.

本題情境是靜止、等量的兩個正電荷和兩個負電荷構成的體系，主要考查學生運用點電荷電場、電勢分布解決復雜電場中特殊場點的問題以及電場力做功的應用，對學生的學習遷移能力要求較高.圖1中的L、N和M 3點的電場方向、電勢很容易利用點電荷電場、電勢規律及疊加原理解決，這里不再贅述.下面進一步分析4個電荷所在的正方形平面內各點的電場和電勢分布，以期全面地展示電場和電勢的分布特點.

1 電勢與電場強度分布的計算

為方便對一般情形的分析討論，將正方形頂點的4個點電荷設為q1、q2、q3、q4，并設正方形 的邊長為2R，則內切圓的半徑為R.以O點為原點，建立x Oy直角坐標系，如圖2所示.

圖2

則4個電荷的坐標為q1（R，R）、q2（－R，R）、q3（－R，－R）、q4（R，－R）.這里僅討論x Oy平面內的電場分布，設平面內任意一點A的位矢為

r＝x i＋y j，取無窮遠處為電勢零點，4個點電荷在A點產生的總電勢為

通過（1）（4）（5）3個表達式，就可以得到x Oy平面內任意點的電勢和電場強度.

2 電勢與電場分布圖像

為使圖2的點電荷系統在空間中產生的電場和電勢更加直觀，利用Mathematica進行計算并繪制圖像.

2.1 x Oy平面內的電勢分布

使用 Mathematica軟件計算（1）式，并利用ContourPlot以及Plot3D命令繪制點電荷所在平面（xOy平面）內的等勢線圖和電勢高低變化的立體圖，分別如圖3、圖4所示.

圖3形象直觀地顯示出4個點電荷所在的二維平面上電勢的分布情況.由圖可以看出，正電荷附近電勢較高，負電荷附近電勢較低；一、三象限電勢為負，二、四象限電勢為正；正方形的各邊垂直平分線上（x軸和y軸）的各點電勢都為零，是等勢線；相鄰電荷間等勢線最為密集，反映了在該區域電場強度相對較大.圖4則很好地反映了x Oy平面內電勢大小的相對變化，正電荷周圍圖像凸起（電勢為正），負電荷周圍圖像凹陷（電勢為負），相鄰電荷間電勢梯度最為“陡峭”，反映出該區域電場強度是相對較大的.對稱性方面，電勢關于正方形的兩條對角線對稱.因此不難判斷圖1中將一帶正電的點電荷從M點移到O點，兩點位于同一等勢線上，故電場力不做功；而將一帶正電的點電荷從L點移到N點，兩點電勢不同，電場力一定做功.故而（C）（D）選項錯誤.

圖3

圖4

2.2 x Oy平面內的電場分布

使用 Mathematica軟件計算（4）（5）式，并利用VectorPlot以及Plot3D命令繪制電場矢量圖和電場強度大小變化的立體圖，分別如圖5、圖6所示.

圖5

圖6

圖5顯示出電場強度的大小關于正方形的對角線或任意邊的垂直平分線（x軸和y軸）對稱，但電場方向不相同，對角線上的場強方向沿對角線方向，但方向是變化的.該圖還顯示了圖1中的L和N兩點處的電場方向相互垂直，M點的電場方向平行于內切圓在該點處的切線，方向向左，故選項（A）（B）正確.點電荷平面內電場強度大小的分布如圖6所示，“柱子”的粗細可以反映該處點電荷電量的大小，此圖對應4個點電荷電荷量相等的情況.還可看出在點電荷附近電場強度較大，這也是不難理解的.

3 拓展討論

以上討論是正方形一對角線兩端是等量負電荷，另一對角線兩端是等量正電荷時的電勢和電場的分布.現在將點電荷的電性、電荷量、位置進行變化，研究電性、電荷量或位置不同的情況下電勢和電場的分布.將電荷量及坐標變化代入前文所得公式（1）（4）（5）中，再利用 Mathematica軟件計算并繪制得到對應的電場和電勢分布圖.

圖7和圖8是4個等量同號的正電荷位于正方形4個頂點上的電場矢量圖和等勢線以及電勢分布.平面內電勢大于0，電勢、電場強度大小關于各邊平分線和對角線具有對稱性.若是4個等量同號的負電荷，除電勢為負、電場方向相反外，分布圖相似.

圖7

圖8

圖9和圖10是把圖1中4個電荷的位置進行調整，對角線上是兩個等量異號電荷情形下的電場和電勢分布.此時x軸是電勢為0的等勢線，y＞0區域電勢為正.電勢關于y軸具有對稱性.電場強度大小關于x、y軸具有對稱性.

圖9

圖10

圖11和圖12是將4個電荷的電荷量進行調整，上面兩個點電荷的電荷量為＋2q，下面2個電荷量為－q.此時和圖9相比，x軸顯然不再是等勢線.電勢為0的等勢線變成了圖中的一條閉合曲線，閉合曲線內部區域電勢為負.電勢、電場強度大小關于y軸具有對稱性.

圖11

圖12

圖13和圖14是將一條對角線上面兩個點電荷的電荷量變為±2q，另一條上的兩個點電荷的電荷量變為±q.此時電勢、電場不再具有對稱性.電勢為零的等勢線變成了一條傾斜的曲線，曲線下方區域電勢為負.

圖13

圖14

由此可見，當場源電荷分布位置或電荷量發生變化時，空間的電場、電勢分布一定隨之改變.

4 結論

本文對2022年高考全國乙卷19題中4個位于正方形頂點的點電荷系統產生的電場這一問題，定量計算電場、電勢的表達式，并利用 Mathematica繪制其電場和電勢分布圖，然后進行了拓展，就4個點電荷電荷量、正負電性、位置的不同變化對應的電勢與電場分布進行了計算模擬，直觀形象地呈現了復雜情形時的電場、電勢分布，實現了可視化.模擬結果能夠有效幫助物理教師和學生理解位置對稱的4個點電荷的電場、電勢的大致分布及特點.