淺析物理競賽對邁克爾遜干涉儀原理和實驗的考查

何文明

（河北邯鄲市第一中學，河北 邯鄲 056002）

2021年第38屆全國中學生物理競賽有兩道關于邁克爾遜干涉儀的試題，其一是復賽（揚州福建賽區）理論題，其二是決賽的實驗題.同一年份在同一內容處編寫兩道大題的情況并不多見，這提醒教練和考生，物理學發展過程中起到關鍵作用的新理論、新儀器的學習和應用，應當引起足夠的重視.

邁克爾遜干涉儀是1883年美國物理學家邁克爾遜和莫雷合作，為研究“以太”漂移而設計制造出來的精密光學儀器.它是利用分振幅法得到雙光束來實現的干涉.在近代物理（如引力波的測量）和近代計量技術（如標定標準米單位、光譜精細結構）中邁克爾遜干涉儀有著精彩的表現.邁克爾遜本人也因此榮獲1907年度諾貝爾物理學獎.

1 邁克爾遜干涉儀的工作原理

如圖1是邁克爾遜干涉儀的結構，包括光源S、分束板G1、補償板G2、反射鏡 M1（固定）和 M2（可調）、觀察屏P.分束板后表面鍍有一層半透半反膜，當光波入射到分束板上時，被分為兩束光1和2，光束1經平面鏡M1反射，光束2經平面鏡M2反射，最后兩束反射光在觀察屏P處相遇發生干涉.注意圖中的M2′不是干涉儀中的一個元件，而是M2相對分束板G1鍍膜的鏡像，正因為這樣，光束1、2也可看成經M1和M2′之間形成的空氣薄膜反射后發生干涉.

圖1

（1）等傾干涉.

當M1和M2′平行時，所觀察到的是等傾干涉條紋，如果光線在空氣薄膜中的折射角用θ表示，則明紋中心（注意：不是圓環中心）滿足光程差δ＝2nd cosθk＝kλ；暗紋中心滿足光程差δ＝2nd cosθk＝（2k＋1）λ／2.

等傾干涉條紋的特點：① 條紋為一系列同心圓；② 條紋內疏外密，級次內高外低；③ 圓環中心處不一定是明條紋或暗條紋中心，即光束1、2光程差不一定是光波長的整數倍或半整數倍；④ 當d變大時，圓形干涉條紋更高級次的環從中心冒出，所有的環都向外擴；反之，當d減小時，原更高級次的環從中心縮進，所有的環都向中心收縮.隨著M1和M2′的間距d改變，觀察屏上的條紋變化情況為如圖2所示.

（2）等厚干涉.

當M1和M2′不平行時，形成劈尖，干涉條紋為等厚干涉條紋.這里有一個問題應當注意，就是用白光實驗時，由于白光的光譜范圍大，相干長度很小，等厚條紋主要出現在M1和M2′的交棱位置附近，所以實驗時尋找等光程交棱位置必不可少.但不能用單色光尋找交棱位置，因為用單色光實驗時總有幾條暗線位置，無法確定哪條暗線對應等光程交棱位置，而且用單色光實驗不必使用補償板G2.使用白光來精確定位交棱這個等光程位置，必有補償板G2，因為只有加上它，等光程交棱位置成為唯一的暗條紋位置.等厚干涉隨間距變化如圖3所示.

圖3

2 競賽真題賞析

題1.（第38屆中學生物理競賽復賽揚州福建賽區第七題）邁克爾遜干涉儀的光路原理圖如圖4所示.在焦距為f的透鏡L的焦平面上放置觀察屏，觀察到的干涉圖樣是一系列同心圓環.

圖4

（1）此干涉圖樣是等傾干涉還是等厚干涉？設光源的波長為λ，兩臂上反射鏡M1和M2到半反半透鏡M的距離之差為t.試求屏上k級亮環的半徑rk.條紋疏密分布如何？

（2）若用鈉光燈（含有λ1＝589 nm 和λ2＝589.6 nm兩條分立的譜線）照明邁克爾遜干涉儀，只考慮中心附近的干涉條紋.首先調整干涉儀得到最清晰的干涉條紋，然后移動M1，干涉圖樣逐漸變得模糊.至第一次干涉現象消失時，M1由原來位置移動了多少距離？

（3）若光源的光譜為589 nm到589.6 nm的連續譜，只考慮中心附近的干涉條紋，則能看到的最高干涉級數為多少？此時兩臂的距離差是多少？（光路如圖5所示）

圖5

解析：（1）根據前面對邁克爾遜干涉儀知識的講解，可知干涉圖樣是一系列同心圓環時，屬于等傾干涉.在 M1和 M2′空氣薄膜處光程差2t cosθ，θ為空氣薄膜內折射角.

賞析：第（1）問屬于基本問題，考生應當熟練掌握.第（2）（3）問實際上是以邁克爾遜干涉儀為載體考核干涉的基礎理論，請注意，第（2）問考核的是兩單色光譜干涉消失問題，第（3）問改為連續光譜求最大干涉消失的級次問題，所要求的光程差條件完全不同.這些內容比較抽象，需要考生仔細研讀相關教材，真正弄懂才能順利求解.

題2.（第38屆中學物理競賽決賽實驗題試題的B部分）如圖6所示，邁克爾遜干涉儀利用分束鏡G1將入射光束分成兩束，兩束光分別經過兩個反射鏡M1和M2反射到分束鏡處合束后，在空間相干疊加形成干涉圖樣.反射鏡M1可沿導軌前后移動改變位置.圖7為其實物圖.如用白光擴展光源照射并適當調節干涉儀，可實現白光的等厚干涉.

圖6 邁克爾遜干涉儀光路圖

圖7 邁克爾遜干涉儀實物圖

B1.在反射鏡M1和M2偏離相互垂直狀態一個微小角度α時，轉動大轉輪移動M1鏡，在兩路光束光程相等（此時M1鏡位置為d0）附近可觀察到白光等厚干涉的彩色直條紋.分別順時針和逆時針轉動轉輪尋找出現彩色直條紋的準確位置，這兩種情況下圖7中大轉輪讀數窗的讀數是否相同？請說明原因.在d0位置時，調小夾角α，干涉條紋有何變化？

B2.在d0位置時，調節α角盡量小，再在M1鏡前平行放置一平板玻璃（忽略平板玻璃反射），白光的干涉條紋消失.此時換成激光擴展光源照明，能觀察到圓環條紋，進一步微調α角直至圓環條紋不隨眼睛觀察位置變動而發生吞吐.在放置平板玻璃前，通過眼睛看到的M1和M2鏡的相對位置為：（a）M1鏡離眼睛更近；（b）M2鏡離眼睛更近；（c）M1和M2鏡重合.放置平板玻璃后，通過眼睛看到的M1和M2鏡的相對位置為：（a）M1鏡離眼睛更近；（b）M2鏡離眼睛更近；（c）M1和M2鏡重合.

此時，若大范圍移動M1鏡遠離觀察者，圓環條紋吞吐情況如何，兩臂之間的光程差如何變化？若反方向大范圍移動M1鏡，結果又是如何？

B3.假定移動M1鏡離開d0位置，使得條紋吞進，直至整個視場呈現完全均勻亮度，此時M1鏡位置為d1，其位移量為Δ＝｜d1－d0｜，請給出折射率n用玻璃板厚度t和Δ表示的關系式.若分別用σt和σΔ表示t和Δ的不確定度，請給出用t、Δ、σt和σΔ表示的n的不確定度.已測得Δ＝（2.776±0.005）mm，平板玻璃厚度t用螺旋測微器測量結果如表1所示，螺旋測微器零點讀數為0.009 mm，允差為0.004 mm，允差滿足均勻分布.請分別計算出t和n的測量結果及其不確定度.

表1 平板玻璃厚度測量實驗數據

解析：B1.由于精密螺紋的螺紋間距（就是齒輪與齒輪之間由于咬合上存在空隙），往回倒轉大轉輪，就會造成回程誤差.所以順時針和逆時針轉動時大轉輪讀數窗的讀數不同.在d0位置時，調小夾角α，由于微小放大作用，干涉條紋會變粗變稀疏.

B2.放置平板玻璃前，用白光進行等厚干涉來確定等光程交棱位置，所以M1和M2鏡的相對位置為重合.放置平板玻璃后，相當于拉近M1與分束板的位置（類似于河底變淺），所以M1鏡離眼睛更近.當調節M1鏡遠離觀察者，觀察者直觀上認為空氣薄膜厚度先變小后變大，所以干涉條紋先吞后吐.如果單從光程角度分析，M1鏡前插入玻璃增大了該條光路的光程，所以當 M1鏡遠離時，光程差一直增大.若開始向觀察者大范圍移動M1時，相當于空氣薄膜間距一直增大，所以干涉條紋一直吐出，光程則先減小后增加.

賞析：這道實驗題全面地考查了干涉儀的原理、操作和數據處理，對于考生有一定的難度.B1中的等厚干涉，當平移反射鏡M1時，干涉條紋只有左右移動；當改變鏡面間夾角時，干涉條紋既有疏密變化，又會看到整體平移效果.B2中插入玻璃板后，我們會感覺到調節M1在玻璃板中的視覺距離導致的圓環吞吐似乎與課堂上講的光程差的變化之間有矛盾，具體地說，就是從視覺上看，調節反射鏡M1的像與M2的像再次重合過程，實際是M1光路與M2光路的光程差不斷增大的過程，所顯示的現象是圓環吞進，而我們課堂上分析和演示的現象卻是M1光路與M2光路的光程差減小時圓環吞進，光程差增大圓環吐出.之所以這樣，是因為插入玻璃板后，邁克爾遜干涉儀條紋級數不再是圓環中心最大，而是圓環邊緣更大，這就容易理解為什么光程變大條紋反被吞進去的原因了.