環向加筋夾層圓柱殼體應力計算方法

曹曉明， 喻衛寧， 王磊， 李釗， 張昊， 趙志高

(武漢第二船舶設計研究所，湖北 武漢 430064)

潛深是潛艇的重要戰術指標，增大潛深可提高隱蔽性、拓展水下機動空間，有效提升生存能力和作戰能力。耐壓殼體作為決定下潛深度的關鍵因素[1]，其在高外壓載荷作用下的結構設計面臨著殼體重量急劇增加、負載能力顯著降低、抗失穩能力亟需提升等突出矛盾。囿于高強鋼比強度趨于極限，眾多學者嘗試采用具有更高比強度的鈦合金[2]、復合材料[3-4]等新型輕質材料來解決高耐壓圓柱殼體強度和重量之間的矛盾。然而僅從材料角度去解決高耐壓結構設計問題，尚存在新材料制備工藝不成熟[5]、配套材料不完備等問題；因此，從新型高耐壓結構形式出發，發展具有較高負載能力和抗失穩能力的殼體結構是解決超大潛深耐壓設計難題的一種有效途徑。

國內外學者們相繼提出了多種耐壓新構型，包括鵝蛋形[6]、多體形[7]、藕節形[8]、以及分層分壓球形[9]等,以上結構均存在缺陷敏感度高、內部設備布置困難、空間利用率低等問題，尚不適用于潛艇大尺寸耐壓結構設計。文獻[10-18]研究了三明治夾層圓柱殼受外壓作用下的力學問題，但由于這種結構形式復雜，缺乏有效的設計衡準，且加工難度較大，目前尚無法應用于潛艇耐壓結構設計。夏賢坤[19]提出了環向加筋夾層圓柱殼體，耐壓殼體由原單殼板承力轉變為內、外殼板共同承力，殼板厚度要求大幅降低，其直接利用耐壓液艙強度計算方法[20]進行了應力和穩定性分析，然而由于其受力形式與附著在單層殼體局部外表面的耐壓液艙存在一定差異，可能會導致計算結果與實際情況存在較大偏差。

本文針對環向加筋夾層圓柱殼體應用于艇體結構時的應力計算方法問題，根據端部承力特點提出內、外殼板縱向力分配模型，嘗試建立環向加筋夾層圓柱殼體在外壓載荷作用下的應力解析計算方法，利用該方法對內、外殼板和肋板應力分布規律進行探究，并通過與有限元計算結果進行對比分析，驗證所建立的應力計算方法的準確性；此外，以10%誤差(本方法計算應力值與有限元應力計算值的偏差)為衡準，初步提出環向加筋夾層耐壓圓柱殼體應力計算方法的適用條件；在此基礎上，探討環向加筋夾層圓柱殼體設計參數對關鍵位置應力的影響規律。

1 應力解析計算方法

目前國內外艇體結構耐壓殼體均為單層耐壓結構[21]。環向加筋夾層圓柱殼體如圖1所示，是一種雙層耐壓殼體結構，由外殼、肋板和內殼3部分所構成。環向加筋夾層圓柱殼體承受外壓載荷作用時，同時受到由兩側封頭承擔的縱向壓力和外殼承擔的徑向壓力作用。利用解析方法計算環向加筋夾層圓柱殼體應力，首先對外殼、肋板和內殼3部分分別進行受力分析，然后根據變形協調方程求得各部分之間的相互作用力，最后求得各部分的應力分布情況。

圖1 環向加筋夾層圓柱殼結構示意Fig.1 Schematic of ring-stiffened sandwich cylindrical shell

1.1 外殼板力學模型

如上所述，外殼板在靜水壓力P和縱向力T1的作用下發生軸對稱壓縮變形。取一個肋板間距l內的殼體為研究對象，通過2個假想的直徑面切出一條單位寬度的梁帶來研究其受力變形情況，如圖2所示。取外殼板跨中為坐標原點，其彎曲微分方程為:

圖2 外殼板力學模型Fig.2 Mechanical model of outer-shell

(1)

由于殼板結構和外部均布載荷均對稱于肋板，殼板的位移也對稱于肋板，所以在肋板處梁帶的轉角為零；其次，肋板對梁帶有徑向向外的支撐反力f1。因此，外殼板梁帶的邊界條件為:

(2)

1.2 內殼板力學模型

內殼板與外殼板結構相似，但內殼板不承受靜水壓力，且受到的肋板的作用力f0向內，力學模型如圖3所示，其彎曲微分方程為:

圖3 內殼板力學模型Fig.3 Mechanical model of inner-shell

(3)

與外殼板邊界條件相似，內殼板梁帶的邊界條件為:

(4)

1.3 肋板力學模型

肋板受到內、外殼板的軸對稱作用力f0、f1，處于軸對稱平面應力狀態，力學模型如圖4所示。根據彈性力學軸對稱平面應力理論[22]，實肋板任意半徑r處徑向位移ur為：

圖4 肋板力學模型Fig.4 Mechanical model of floor

(5)

式中t2為肋板厚度。

1.4 殼板縱向力計算

由上述計算可知，縱向力T0、T1是內、外殼板彎曲微分方程中的重要參數，將對應力計算結果產生較大影響。由于受力形式的顯著差異，傳統耐壓液艙結構縱向力計算方法[23]不再適用。如圖5所示，球封頭承受靜水壓力P時，徑向的載荷互相抵消，軸向的載荷以縱向力的形式作用在內、外殼板上。球封頭的軸向載荷T與內、外殼板單位寬度縱向力T0、T1之間的關系為：

圖5 縱向力計算模型Fig.5 Mechanical model of longitudinal force calculation

T=2πR0T0+2πR1T1

(6)

(7)

式中：L為內、外殼板總長度；A0=2πR0t0、A1=2πR1t1分別為內、外殼板橫截面積；δ為內、外殼板軸向位移。此時，T0、T1的取值可表示為：

(8)

1.5 f0和f1的求解

根據變形協調條件，在肋板處，外殼板徑向位移等于R1處肋板徑向位移，內殼板徑向位移等于R0處肋板位移，因此可得：

(9)

將ur、w1、w0代入式(9)可得：

(10)

式中：

其中，過程參數u1、u2、v1、v2等的計算可參考文獻[20]；α1、α2、β1、β2的計算可參考文獻[24]。將以上內、外殼板彎曲微分方程、變形協調條件以及縱向力計算公式聯立求解，可得到內、外殼板及肋板任意一點的位移，再通過彈性力學理論即可求解得到任意一點的應力。

外殼板縱向應力計算公式為：

(11)

外殼板周向力計算公式為：

(12)

內殼板縱向應力計算公式為：

(13)

內殼板周向力計算公式為：

(14)

肋板周向應力為：

(15)

1.6 應力分布

對于環向加筋夾層圓柱殼，參考現行規范強度考核方法，重點關注以下5個關鍵位置的應力：內、外殼板內表面肋板根部縱向應力σ1(l/2)，內、外殼板跨中中面周向應力σ2(0)和肋板中部中面周向應力σθ。

為探究殼板內表面縱向應力和中面周向應力以及肋板中面周向應力的分布規律，采用本文解析方法計算得到一個肋板間距內殼板應力分布規律以及沿高度方向肋板的應力分布規律，如圖6所示。圖中殼體參數t0=3.2 cm、t1=2.7 cm、t2=2 cm、l=26.71 cm、R0=251.6 cm、R1=273.35 cm，殼體外壓P=15 MPa，殼體材料為鈦合金(E=108 GPa、μ=0.34)。

圖6 一個肋板間距內應力分布Fig.6 Stress distribute in one floor space

由圖6可見，環向加筋夾層圓柱殼應力分布規律可總結如下：1)在一個肋板間距內，內、外殼板周向應力與縱向應力均沿跨中對稱分布，內表面縱向應力變化較為顯著，而周向應力則變化較小；2)外殼板內表面縱向應力在肋板處最大、在跨中處最小，中面周向應力在跨中處最大，在肋板處最小；3)內殼板內表面縱向應力和中面周向應力均在肋板處達到最大，在跨中處最小；4)肋板中面周向應力沿高度方向逐漸減小，但變化幅值不大。

2 解析方法的驗證與適用條件探究

2.1 縱向力計算驗證

利用ABAQUS進行T0、T1的數值計算。參數設置見表1，有限元模型如圖7所示，單元類型為軸對稱單元CGAX4R，兩端端板的壓力P2計算為：

表1 有限元模型參數設置Table 1 Dimension of FEA model

圖7 縱向力計算的有限元模型Fig.7 FEA model for longitudinal force calculation

(16)

位移邊界條件為一端固支，另一端僅可產生軸向的位移。當t0從1.5 cm改變到4.5 cm時，T0、T1的有限元結果與本文解析結果、耐壓液艙縱向力計算方法的計算結果的對比如圖8所示。由圖8可知，T0、T1的解析結果與有限元結果吻合較好，但是與耐壓液艙縱向力計算方法的結果差距非常大。當t1與t0厚度相當時，解析結果與有限元結果幾乎一致，隨著內、外殼板厚度差的增大，兩者誤差略有增加，但是在計算范圍內，最大誤差不超過10%。

圖8 T0、T1對比圖Fig.8 Comparison of T0, T1

2.2 應力計算驗證

利用ABAQUS進行6組不同參數下的應力計算，參數設置如表2所示，外壓p=15 MPa。圖9為5個關鍵位置處應力計算結果對比圖。由圖9可知，采用本文解析方法得到的關鍵位置處的應力值與有限元結果吻合較好，而直接采用耐壓液艙應力計算方法得到的應力值與有限元結果差距較大。同時可以看出，利用耐壓液艙方法計算時，縱向應力誤差最大，周向應力誤差其次，肋板應力誤差很小，導致這種現象的直接原因就是耐壓液艙方法縱向力計算誤差較大，這也符合本文提出縱向力計算方法修正的初衷。綜上所述，對于環向加筋夾層圓柱殼結構，可認為本文提出的解析方法在關鍵位置處的應力計算準確可靠。

表2 系列模型參數Table 2 Dimension of a series of FEA model cm

圖9 關鍵位置處應力對比Fig.9 Comparison of stress of typical point

2.3 解析方法適用條件判據

以Model_1模型參數為初始設計參數，通過在較大的范圍內改變各個設計參數變化范圍，進行了大量的數值和解析計算，通過對數值和解析計算得到的應力值進行誤差分析，確定解析解法的適用條件。適用條件判據為：以數值試驗的應力值為標準，當通過2種方法得到的5個關鍵位置處應力差別均小于10%時，認為解析方法對于該模型是適用的；如果某個關鍵位置處應力的差別大于10%，則認為此時解析方法不再適用。

2.4 改變肋板高度

有限元結果、解析結果和誤差隨肋板高度的變化如圖10所示，由圖10可知，肋板中部周向應力最先出現誤差大于10%的情況，當肋板高度大于5 cm時，誤差一直在5%左右，當肋板高度小于5 cm時，有限元結果急劇增大，而解析結果增大的很緩慢，導致誤差急劇增加。在解析方法的建立過程中，肋板的力學模型近似為平面應力狀態的圓環，當肋板高度與厚度之比較大時，該力學模型帶來的誤差很小，但是當肋板的高度與厚度之比較小時，已經不能看成平面應力狀態的板，該力學模型帶來的誤差急劇增大。因此，為保證解析方法計算精度，提出適用條件1：

h≥3t2

(17)

圖10 改變h時肋板中部周向應力對比Fig.10 Comparison of circumferential stress in the floor when h changes

2.5 改變內、外殼板厚度

只改變內、外殼板厚度時，內、外殼板肋板根部縱向應力計算的誤差最大，但在計算范圍內(約0.5σs<σ1<1.4σs)，最大誤差不超過10%，其有限元結果、解析結果和誤差隨內、外殼板厚度的變化如圖11所示。由圖可知，當內、外殼板厚度適中時，誤差較小;當內、外殼板厚度過大或過小時，誤差變大。導致這種現象的原因是該位置存在較大的應力集中，網格尺寸對有限元應力值結果存在很大的影響，但解析方法難以對應力集中現象進行考核，因此在該位置會存在誤差較大的現象。本文通過選擇合理的網格尺寸，在較大范圍內改變內、外殼板厚度，對比有限元結果和解析結果，認為合理范圍內改變內、外殼板厚度時，解析方法準確可靠。

圖11 t0、t1改變時肋板根部縱向應力對比Fig.11 Comparison of σ1 of inner-shell and outer-shell when t0 or t1 changes

2.6 改變肋板間距

只改變肋板間距，最先在內殼板肋板根部縱向應力計算時出現誤差大于10%的情況，其有限元值、理論值和誤差隨肋板間距的變化如圖12所示。由圖可知，當肋板間距小于13 cm時，誤差大于10%，解析方法不再適用。該現象可以從理論上進行解釋：在進行理論分析時，內、外殼板看作是兩端固支在彈性支座上的梁帶，而簡化成梁帶的條件是梁帶的長度是梁帶高度的10～12倍。當肋板間距較大時，內、外殼板更接近理想的梁帶模型，計算誤差較小，隨著肋板間距的減小，梁帶長度與高度的比值減小，不再滿足簡化成梁帶模型的條件。因此，為保證解析方法計算精度，并考慮工程應用，提出適用條件2：

l≥5max{t0,t1}

(18)

圖12 l改變時肋板根部縱向應力對比Fig.12 Comparison of σ1 of inner-shell when l changes

2.7 改變肋板厚度

在較大的范圍改變肋板厚度，5個關鍵位置處應力計算誤差變化情況如圖13所示。由圖可知，在計算范圍內，5個關鍵位置處計算誤差均小于10%，因此可以認為，當肋板厚度改變時，解析方法準確可靠。

注：OS(outer shell)代表外殼板，IS(inner shell)代表內殼板。圖13 t2改變時肋板根部縱向應力對比Fig.13 Comparison of σ1 of inner-shell when t2 changes

3 設計參數對關鍵位置處應力的影響

3.1 肋板高度對關鍵位置處應力的影響

由圖14可知，隨著肋板高度的增加，各周向應力均減小，而內、外殼板肋板根部縱向應力均增大。實際上，增加肋板高度增大了縱截面面積，而周向應力即為縱截面正應力，因此各個周向應力減??；同時，增大肋板高度增大了球頭的軸向面積，使內、外殼板縱向力增大，因此各個部位的縱向應力隨著肋板高度的增加而增大。

圖14 肋板高度對關鍵位置處應力的影響Fig.14 Effect of h on typical point stress

3.2 內、外殼板厚度對關鍵位置處應力的影響

由圖15可知，增大內、外殼板厚度可以使關鍵位置處的所有應力均有所減小，其中增加厚度的殼板的縱向應力減小最明顯。實際上，增大內、外殼板厚度首先極大地增加了對應殼板的抗彎剛度，使其縱向應力急劇減??；其次，增加厚度的殼板分擔的載荷增加，另一殼板載荷減小，因此其縱向應力減小也較為明顯；同時，增加內、外殼板厚度在一定程度上也增加了縱截面的面積，可以使周向力減小，其中增加厚度的殼板的周向力減小最為明顯。

圖15 內、外殼板厚度對關鍵位置處應力的影響Fig.15 Effect of t0, t1 on typical point stress

3.3 肋板厚度對關鍵位置處應力的影響

由圖16可知，當肋板厚度增加時，外殼板肋板根部縱向應力稍有增大，其他關鍵位置處應力均減小。首先，增加肋板的厚度可以增大外殼板彈性支座的剛度，使外殼板承受的載荷增大，傳遞給內殼板的載荷減小，導致外殼板應力增大，內殼板應力減小；同時，增大肋板厚度可以增大縱截面面積，使周向應力減小。特別說明，外殼板載荷增大使外殼板周向應力增大，但縱截面面積增大會使外殼板周向應力減小，兩種影響共同作用時，縱截面面積增大帶來的影響更大，因此外殼板周向應力減小。

注：OS(outer shell)代表外殼板，IS(inner shell)代表內殼板。圖16 肋板厚度對關鍵位置處應力的影響Fig.16 Effect of t2 on typical point stress

3.4 肋板間距對關鍵位置處應力的影響

如圖17所示，隨著肋板間距的增大，內殼板肋板中部中面周向應力先增大后減小，而其他應力均增大，內、外殼板肋板根部縱向應力增大最明顯。肋板間距增大導致殼板的抗彎能力減弱，彎曲應變增大，因此縱向應力增大；同時，肋板間距增大導致縱截面面積減小，因此周向應力增大。但是對內殼板而言，只在跨端處承受線載荷，由圣維南原理可知，若肋板間距增大，跨中處的周向收縮會減小，導致周向應力也減小，因此增大肋板間距，內殼板中部中面周向應力先增大后減小。

圖17 肋板間距對關鍵位置處應力影響Fig.17 Effect of l on typical point stress

4 結論

1)針對環向加筋夾層圓柱殼體應用于艇體結構時的應力計算方法問題，提出內、外殼板縱向力修正計算模型，建立了環向加筋夾層圓柱殼體在外壓載荷作用下的應力解析計算方法，獲得了內、外殼板和肋板的應力分布規律，與有限元結果相吻合。

2)內、外殼板縱向力和多組設計參數下5個關鍵位置處應力計算結果與有限元計算結果吻合較好，顯著優于直接采用耐壓液艙計算方法的應力結果，進一步驗證所提應力解析計算方法的可靠性。

3)以10%誤差(解析應力值與有限元值的偏差)為衡準，初步提出環向加筋夾層耐壓圓柱殼體應力計算方法的適用條件：h≥3t2,l≥5max{t0,t1}

4)探討了設計參數對關鍵位置處應力的影響規律：肋板高度增加，各位置周向應力減小，內、外殼板肋板根部縱向應力增大；內、外殼板厚度增加，關鍵位置處應力均有所減??；肋板厚度增加，外殼板肋板根部縱向應力稍有增大，其他關鍵位置處應力均減小；肋板間距增大，內殼板肋板中部中面周向應力先增大后減小，而其他應力均增大，內、外殼板肋板根部縱向應力增大最明顯。