融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優化器算法

張夢溪，馬 良，劉 勇

上海理工大學 管理學院，上海 200093

近年來，優化求解問題越來越復雜，計算規模日益增大，同時許多問題還具有非線性、多極值等特點。牛頓法、梯度下降法等傳統優化算法存在依賴梯度信息和求解速度慢等缺陷，已無法滿足求解需求。而元啟發式算法具有更好的求解能力，其結構簡單、靈活性高和求解效率高，因此成為了求解復雜優化問題的有力工具。

元啟發式算法根據其實現機理的不同，大致可以分為三類：基于遺傳進化的算法、基于生物種群的算法和基于特定物理機制實現的算法[1]。基于遺傳進化的算法有遺傳算法（genetic algorithms，GA）[2]；基于生物種群的算法通過模擬自然界中動植物的行為實現尋優，例如鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）[3]、麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）[4]等；基于物理學原理所提出的算法有根據萬有引力定律提出的引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）[5]、基于多元宇宙理論的多元宇宙優化算法（multi-verse optimizer，MVO）[6]等。基于特定物理機制的算法從物理現象出發，有物理學原理做基礎，具備良好的搜索效果。

平衡優化器算法（equilibrium optimizer，EO）是Faramarzi等人在2019年基于物理原理提出的一種新型啟發式算法[7]。該算法將搜索種群以不同濃度的粒子表示，粒子的濃度代表優化問題的解。同時，算法提出了平衡池候選解的概念，每次尋優根據平衡池候選解的濃度更新粒子，最終達到濃度平衡的狀態，即尋得最優解。EO算法具有算法參數少，易于理解和實現的特點。算法提出至今，已被應用到了電網設計[8]和路徑規劃[9]等諸多領域，是解決復雜問題的新工具。但是，EO算法在平衡池階段，候選解完全根據適應度值大小進行選取，使得平衡池候選解存在一定的相似性，導致種群多樣性降低，易陷入局部最優；同時，算法平衡全局搜索和局部開發能力的參數為固定值，可能出現尋優不穩定的現象；此外，粒子位置更新僅依靠濃度更新公式，使得算法局部搜索能力較強但全局搜索能力較弱，影響算法收斂速度和尋優精度。針對這些問題，國內外諸多學者相繼對其進行了改進。Fan等人利用反向學習機制和新的濃度更新公式，提升了算法的求解精度[10]。劉成漢等人在禁忌搜索策略中引入振蕩算子，使算法跳出局部最優[11]。Gupta等人利用高斯變異和新的種群劃分和重構機制改進了EO算法[12]。Too等人利用一般學習的思想改進了平衡池階段的缺陷[13]。Wunnava等人利用拉普拉斯分布的隨機游動改進了候選解的質量，然后通過反向學習加速得到最優解[14]。Shankar等人利用對立學習的更新機制生成新的解空間[15]。Abdel-Basset等人提出了基于線性化簡分集技術的新的學習機制，同時利用局部極小消去法增加了個體的多樣性，優化了算法的性能[16]。Ahmed等人利用了自動學習機來尋找適合算法模型的參數值[17]。李守玉等人首先采用正弦池策略動態平衡算法的探索和開發能力，然后引入自適應優先引力策略動態平衡算法的收斂速度和方向[18]。

雖然以上學者的研究對EO算法的尋優能力有所提升，但在收斂速度、尋優精度、平衡局部搜索和全局開發能力等方面的優化潛力仍可以進一步挖掘。針對EO算法的不足，本文提出一種融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優化器算法（NEO），引入了三種新穎有效的改進策略：首先，在平衡池階段引入濃度平衡機制，將不同濃度的粒子劃分為三個種群，不同濃度的粒子之間相互影響，提升種群間的信息交流能力，增強搜索種群的多樣性；然后，引入自適應調整的冪函數自適應因子和指數自適應因子，使算法根據迭代次數動態調整參數，平衡局部搜索和全局開發能力；最后，從菲克定律得到啟發，在粒子位置更新處引入擾動機制，改善濃度更新公式，加快收斂速度的同時提升算法尋優精度。本文通過求解24個基準測試函數，并將NEO算法與其他智能優化算法進行仿真實驗對比來驗證算法改進策略的有效性，實驗結果表明NEO算法具有良好的優化性能。

1 平衡優化器算法介紹

1.1 種群初始化

平衡優化器算法首先在搜索空間中隨機初始化種群。種群初始化的公式如下所示：

其中，Ci,k表示第k個粒子所在的位置，rk表示[0，1]間的隨機向量，ub和lb表示解空間中的上界和下界，k的范圍為[1,N]，N表示種群的數量。

1.2 候選解和平衡池

在粒子初始化之后，粒子不斷搜索迭代，并計算適應度值。該算法選取當前解中適應度值排名前四的粒子，作為候選解，并計算這四個粒子的平均值，進而構建平衡池。平衡池提高了粒子全局搜索和全局的能力，其表示如下：

其中，Cpool表示平衡池；Ceq1、Ceq2、Ceq3、Ceq4表示根據適應度值在當前迭代找到的最優粒子位置；Cave表示平衡了以上四個解的粒子位置。

在粒子搜索迭代的過程中，平衡池中的每個候選解都以相同的概率被隨機選擇以更新濃度，此過程可以表示為：

1.3 指數項

為平衡算法的全局探索和局部開發的能力，算法采用指數項F進行調整，其計算公式如下：

其中，a1和a2分別表示全局搜索和局部開發的權重系數，其值越大，對應的能力越強，通常，a1和a2分別取2和1；Iter表示當前的迭代次數；Maxiter表示算法最大迭代次數；λ表示[0，1]間的隨機數。

1.4 生成速率

為進一步增強算法的局部開發能力，利用生成速率G來改進算法開發階段，其數學表達式如下：

其中，GP為生成概率，用來平衡算法全局搜索和局部開發能力，當取值為0.5時，算法的探索和開發能力達到平衡；GCP為生成速率G的控制參數，由GP所決定；r1、r2和λ表示[0，1]間的隨機數。

1.5 濃度更新公式

平衡優化器算法的標準濃度更新公式如下：

其中，V表示單位體積，通常為1。

2 融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優化器算法（NEO）

相比其他元啟發式算法，EO算法具有以下特征：EO算法的核心原理和內部結構比較簡單，其全局搜索能力和局部開發能力主要由指數項F和生成速率G進行控制，位置更新通過濃度更新公式來完成，這使其具有很好的靈活性和適應性；此外，EO算法具有特殊的平衡池階段，算法根據個體適應度的大小進行排序選取候選解，同時生成平均值共同構成平衡池，其目的在于提高算法的探索和開發能力。

但是，平衡池只依賴適應度值的大小選取個體會使候選解趨于相似，多樣性降低，容易陷入局部最優，影響算法精度；指數項F中的參數a1和a2調節探索和開發能力，但參數a1和a2為常數，這使得算法不能根據迭代自適應調整探索和開發能力，導致算法迭代過程中出現尋優不穩定現象，甚至會影響算法尋優精度；EO算法中個體位置更新主要通過濃度更新公式，個體更新位置受到當前位置、平衡池候選解個體位置的影響，表明其局部開發能力較強但全局搜索能力相對來說有所不足，極易出現在局部最優值附近停滯的情況。針對以上問題，本文從三方面進行了改進。

2.1 濃度平衡機制

EO算法基于適應度值的大小，采用順序選擇法從總體中選出候選解，然后再對選擇出來的候選解進行各種策略的搜索操作。因此，算法的尋優效果很大程度上取決于候選解的選擇。而僅考慮適應度值選取候選解，所選擇的個體很大概率落在相似區域，導致種群多樣性降低，過早向局部收斂。

大量事實表明，一切物質分子都在無時無刻地做無規則運動，即布朗運動。分子通過布朗運動會從高濃度區域（或高化勢）向低濃度區域（或低化勢）進行轉移，直到均勻分布，這一分子熱運動現象被稱為擴散現象[19]。由于容器中粒子濃度平衡過程中，不同區域不同濃度的粒子之間會相互影響，本文受分子擴散現象的啟發，提出濃度平衡機制。首先，根據粒子位置適應度值的大小，由大到小，將粒子劃分為3個種群：低濃度區域、中濃度區域和高濃度區域。然后，不同濃度區域之間的粒子相互影響擴散：低濃度區域受中高濃度區域的影響；中濃度區域粒子受高濃度區域和低濃度區域影響；高濃度區域的粒子則同時向中低濃度區域擴散。因此，為增強不同粒子位置之間的信息交流，在此提出不同濃度區域粒子濃度平衡機制。

2.1.1 低濃度區域粒子位置更新

根據反向學習的思想，為更好地體現低濃度區域粒子受高濃度區域粒子和中濃度區域粒子的影響，加強粒子間的信息交流，采用如下公式：

2.1.2 中等濃度區域粒子位置更新

為增強中等濃度的區域與其他區域之間的信息交流，實現對其他粒子附近解空間信息的挖掘，加強算法的局部尋優能力，在迭代過程中，中等濃度區域的粒子以一定的概率向周邊擴散。此過程用如下公式表示：

其中，Cjworst、Cjmid和Cjbest分別表示當前迭代中，濃度最低、濃度中等和濃度最高粒子的位置；d3和d4分別表示[0，1]間的隨機變量。

2.1.3 高等濃度區域粒子位置更新

由于高濃度區域的粒子代表著粒子在當前適應度值最小，因此，此區域的粒子更接近于全局最優解，此時維持高濃度區域的粒子位置不變。此過程用如下公式表示：

其中，Cjbest表示當前迭代中濃度最高粒子的位置。

在經過多次實驗測試后發現，EO算法在迭代次數為1 000次時算法收斂效果較好。因此為驗證濃度平衡機制對種群多樣性的影響，本文選取表1中部分測試函數，在維度為2，種群數量為30，最大迭代次數為1 000時，分別選取迭代次數為100次和900次時查看算法種群的分布情況。將加入濃度平衡機制的改進算法與EO算法進行對比，繪制個體位置圖，如圖1所示。可以發現，在迭代次數為100次時，改進算法的種群多樣性明顯得到提升，種群分布較分散，EO算法的種群雖看起來在最優值附近，但由于縱坐標數量級較小，尋優精度距離理論最優值仍有較大差距，仍需要進一步尋優探索；在迭代次數為900次時，測試函數F3的縱坐標數量級與迭代100次時相差209，EO算法的搜索精度相比迭代次數100次時有所提升，但仍與理論最優值偏差較大，而此時改進算法收斂到了理論最優值附近。說明加入的濃度平衡機制改善了個體間信息交流缺乏的情況，中低濃度區域粒子每次迭代都會與最優個體進行信息交流，充分利用當前最優解信息，同時在一定程度上擴大了搜索空間，提高了種群多樣性。

圖1 個體多樣性對比圖Fig.1 Comparison chart of diversity

表1 測試函數Table 1 Test function

2.2 動態參數調整

在EO算法中，參數a1和a2用來調整全局搜索和局部開發，參數a1負責調整算法全局搜索能力，其值越大，全局探索能力越強，參數a2負責調整算法局部開發能力，其值越大，局部開發能力越強。但在EO算法中參數a1和a2為固定常數，這樣可能導致算法不能根據迭代次數自適應分配探索與開發能力，可能會出現尋優不穩定現象，影響算法的尋優精度。因此，本文引入兩種可調節的自適應因子改善算法，將算法迭代次數與參數相結合。利用指數自適應因子動態調整參數a1，利用冪函數自適應因子動態調整參數a2，使得算法根據迭代過程動態平衡探索和開發能力，提高算法穩定性和尋優精度。參數a1和a2的公式定義如下：

經過多次實驗驗證，λ取值為2.5時算法效果最好。如圖2所示，在算法迭代初期，參數a1接近2.5，參數a2接近于0，此時算法傾向于全局搜索；隨著迭代次數的增加，粒子濃度差減少，接近平衡，粒子轉向局部的平衡，算法更專注于局部搜索。

圖2 a1和a2參數變化曲線Fig.2 Parameter changes of a1 and a2

2.3 基于菲克定律的擾動機制

1855年德國人阿道夫·菲克（Adolf Fick）提出描述分子擴散規律的基本定律：在單位時間內通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質流量（稱為擴散通量diffusion flux）與該截面處的濃度梯度（concentration gradient）成正比，也就是說，濃度梯度越大，擴散通量越大，這就是菲克定律[20]。其指出了在分子濃度差較大時，單位時間內的擴散通量越大，隨著時間推移，容器內的濃度差逐漸減小，擴散通量變小。這說明在濃度平衡初期，容器中濃度差較高，高濃度區域粒子可以向全局擴散，隨著濃度差逐漸減小，容器中濃度接近平衡，此時更專注于局部的濃度擴散。也就是說，迭代初期應加強算法全局搜索能力，全局搜索范圍和強度更大時，尋優效果更好，隨著迭代次數的增加，逐漸轉向局部搜索，從更多的候選解中尋得最優解，提高解的精度。

在標準的EO算法中，算法在進行濃度更新后，計算當前解的適應度值，然后更新粒子位置，隨后進入后續的循環，即所有候選解的位置都受當前位置的影響，這表明EO算法雖然有很強的局部開發能力，但是其全局搜索能力相對來說有所不足，隨著迭代次數的增加，算法逐步趨于局部最優，而不是全局最優。而文獻[21]中面對相似的問題采用擾動因子增強了算法尋優精度和收斂速度。因此，本文從菲克定律和文獻[21]得到啟發，在算法位置更新策略中引入擾動機制，利用擾動因子η根據算法迭代次數來動態改變粒子位置。算法在前期進行較大范圍的全局搜索，隨著算法迭代次數的增加，在算法后期，小范圍的更新加強了算法的局部開發能力，提升解的精度，加快收斂速度。其公式定義如下：

其中，ξ為擾動系數，多次實驗表明，其值為30時算法效果最好。加入了擾動因子的濃度更新公式如下所示：

2.4 算法步驟

本文提出的NEO算法具體步驟描述如下：

步驟1設置算法相關的參數，并初始化粒子種群位置。

步驟2進入主循環，計算個體適應度值并排序，選出平衡池候選解。

步驟3利用濃度平衡機制公式（12）～（14）更新平衡池候選解。

步驟4利用公式（15）、（16）分別計算動態參數a1和a2。

步驟5利用改進后的濃度更新公式（18）更新粒子位置。

步驟6判斷是否滿足停止條件，若滿足則結束，否則返回步驟2。

步驟7輸出最優解，結束程序。

2.5 時間復雜度分析

假設種群規模為N，空間維度為D，最大迭代次數為T。EO算法的時間復雜度主要由種群初始化、迭代尋優和濃度更新三部分組成。其中，種群初始化的時間復雜度為O(ND)，迭代尋優的時間復雜度為O(ND)，濃度更新的時間復雜度為O(N)。因此，根據時間復雜度分析，EO算法總的時間復雜度為：

NEO算法的改進主要由濃度平衡機制、動態參數和擾動機制組成。初始化階段，NEO算法與EO算法的時間復雜度相同，為O(ND)；迭代尋優階段，設濃度平衡機制花費的時間為t1，計算動態參數a1和a2的時間為t2，因此迭代尋優的時間復雜度為O(ND)+t1+t2；濃度更新階段，設計算擾動因子的時間為t3，故濃度更新的時間復雜度為t3×O(N)。因此，NEO算法最終的時間復雜度為：

綜上所述，NEO算法與EO算法的時間復雜度一致，屬于多項式時間算法，說明NEO算法并未犧牲空間來提升算法性能。

3 實驗仿真與分析

為了驗證本文所提出的三種改進策略的有效性，本文選取了國際上通用的24個基準測試函數進行仿真實驗[22-23]，包括高維單峰和高維多峰不同類型的測試函數。單峰測試函數是算法尋優精度和收斂速度的度量，而多峰測試函數則可以體現算法的全局搜索能力和避免陷入局部最優的能力。這些函數的函數名及表達式、最優值見表1。

將NEO算法與遺傳算法（GA）[2]、粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）[24]、鯨魚優化算法（WOA）[3]、食肉植物算法（carnivorous plant algorithm，CPA）[25]、蜉蝣算法（mayfly algorithm，MA）[26]、平衡優化器算法（EO）[1]以及一種改進的平衡優化器算法（MDSGEO）[18]進行對比，同時，設置種群大小為30，迭代次數為50，維度為1 000，保證各個法的最大適應度評價次數相同。為使數據真實可信，仿真實驗使用各個算法在所有測試函數上各獨立運行20次，并記錄平均值和標準差兩個性能評價指標。

3.1 實驗環境與參數設置

本文實驗采用處理器為Intel?Core?i5-8250U CPU，8 GB運行內存，Windows 10操作系統，64位，仿真軟件為Matlab 2017b。

算法參數設置如下：GA算法的交叉率為0.1，變異率為0.9；PSO算法的慣性權重為1，慣性權重阻尼比為0.99，個人學習系數為1.5，全局學習系數為2.0；GWO算法參數a從2遞減到0；WOA算法參數a從2遞減到0，參數b為1；CPA算法吸引率為0.8，成長率為2，生成率為1.8；MA算法父代和子代數量均為20，突變率為0.01；EO算法的a1為2，a2為1，GP為0.5；MDSGEO算法的a1為2，a2為1，GP為0.5。

3.2 仿真實驗結果與分析

為了驗證改進算法的有效性和可行性，本文利用平均值和標準差兩個性能指標評估實驗仿真結果。實驗結果數據見表2，最優結果已加粗表示。

表2 1 000維函數測試數據Table 2 Test data of 1 000 dimensional function

由表2可知，NEO算法和MDSGEO算法的尋優結果優于其他對比算法，而本文所提出的NEO算法則尋優效果更好。

在高維測試函數上，無論是高維單峰測試函數還是高維多峰測試函數，NEO算法均具有明顯的競爭優勢，除函數F14和F20以外，NEO算法在兩個性能評價指標上均取得了最好的結果0。值得注意的是，對于高維測試函數F14，雖然NEO算法的標準差稍差于CPA算法但是NEO算法的平均值明顯優于CPA及其他對比算法，說明了NEO算法的尋優精度更優。而對于高維測試函數F20，顯然WOA算法的性能最好，但相較于除WOA算法以外的其他對比算法，NEO算法的搜索效果仍較為良好。綜合來看，本文提出的NEO算法具有更好的尋優精度。

為更加清晰直觀地對比算法的尋優精度和收斂速度，本文選取了4個測試函數繪制包含算法迭代次數和適應度值的測試函數收斂曲線，如圖3所示。

從圖3的測試函數收斂曲線來看，NEO算法和MDSGEO算法均比其他對比算法具有更好的收斂速度和尋優精度，但是NEO算法尋優精度更好，收斂速度更快。NEO算法相較其他對比算法更具優勢，其收斂曲線均在其他算法收斂曲線左下方，在同等迭代次數下，NEO算法的收斂精度優于其他算法，同時在同等收斂精度的情況下，NEO算法的迭代次數少于其他算法。

圖3 部分函數收斂曲線Fig.3 Convergence curve of partial function

其中，從測試函數F18的收斂曲線來看，NEO算法的優勢明顯，WOA等算法在經過一定次數的迭代之后，則陷入局部最優，無法尋得更優解，而NEO算法則能避開此問題，說明濃度平衡機制更新了平衡池候選解，不同區域粒子進行學習交流，增加了種群多樣性，避免個體趨同和陷入局部最優。對于測試函數F14，NEO算法和MDSGEO算法在同等尋優精度的情況下，NEO算法的收斂速度遠快于MDSGEO算法，說明NEO算法加入的基于菲克定律的擾動機制加快了算法收斂速度。從F14和F9可以看出，NEO算法的收斂曲線更加平滑，表明加入的自適應參數根據算法迭代次數動態調整，動態平衡了算法探索和開發能力，尋優更穩定。而測試函數F2，NEO算法的尋優精度和收斂速度都遠遠優于MDSGEO等對比算法，同時NEO算法收斂曲線的斜率逐漸變大，說明在濃度更新公式中引入的擾動機制在前期進行大范圍的搜索，專注于全局搜索，在后期加快了收斂，專注于局部搜索，提高了收斂速度和尋優精度。

以上兩組實驗對比驗證了本文提出的三種改進策略都是有效的。可以看出，無論是高維單峰還是多峰測試函數，NEO算法均有更好的尋優能力和更快的收斂速度。

3.3 與其他最新改進算法對比分析

為更好地研究NEO算法的優化性能，將本文提出的NEO算法與融合隨機反向學習的黏菌與算術混合優化算法HSMAAOA[27]、模糊SCA-AOA算法[28]以及改進Henry氣體溶解度優化算法HHOHGSO[29]進行對比，選取部分測試函數，參數設置與3.1節保持一致，比較各個算法的尋優精度和收斂速度。實驗結果如表3所示，最優結果已加粗表示。

表3 與其他改進算法的對比結果Table 3 Comparison results with other improved algorithms

由表3可知，除測試函數F14和F20以外，NEO算法的平均值和標準差均為0。對于測試函數F14，雖然NEO算法的標準差稍差，但其具有更好的平均值。說明了NEO算法具有出色的尋優精度。實驗結果表明，相比其他最新改進算法，NEO算法對某些測試函數的求解具有一定的競爭力，綜合來看，NEO算法具有不錯的優化性能。

從圖4的部分函數收斂曲線來看，除F20以外，NEO算法的收斂速度明顯高于SCA-AOA、HSMAAOA和HHOHGSO。對于測試函數F4和F14，NEO算法在前期收斂速度較慢，后期收斂速度較快，說明加入自適應調整參數的NEO算法根據迭代自動調整參數，前期專注于全局搜索，后期轉向局部開發。對于測試函數F18，NEO算法的收斂速度明顯優于對比算法，說明引入的菲克定律擾動因子加快了收斂，同時取得了良好的尋優精度。函數F18同時說明了HSMAAOA等對比算法經過一定的迭代次數后會陷入局部最優，而濃度平衡機制增強了種群間的信息交流，避免了粒子向局部最優收斂，從而更好尋優。函數F14則說明在尋優精度一致時，NEO算法則具有更快的收斂速度。綜上所述，NEO算法在大部分測試函數上具有不錯的表現，算法具有良好的優化性能。

圖4 部分函數收斂曲線Fig.4 Convergence curve of partial function

為了更加清楚地對比算法的收斂時間和效率，表4列出了EO、SCA-AOA、HSMAAOA、HHOHGSO和NEO在所有測試函數上的評價次數對比。設定所有函數的尋優精度為10-10，參數設置與3.1節保持一致，比較各個算法在同等尋優精度下的函數評價次數，最優結果已加粗表示，INF表示算法無法尋得指定的尋優精度。從表4可以看出，對于絕大部分的測試函數，NEO算法的函數評價次數明顯優于其他算法。對于測試函數F1、F4、F5、F7，雖然NEO算法的函數評價次數不是最優，但是與其他算法最優的函數評價次數數量級相差不大。值得注意的是，NEO算法的評價次數遠大于EO算法，說明本文所提出的改進策略是有效的。因此，本文提出的NEO算法是一種較好的優化算法。

表4 函數評價次數對比Table 4 Comparison of function evaluation times

3.4 Wilcoxon秩和檢驗

為避免算法的偶然性，進一步評估NEO算法的性能，在此進行顯著性分析，運用Wilcoxon秩和檢驗的P值對比不同算法的差異，以確認不同算法是否在統計上存在顯著不同。本次實驗選取表1的基準測試函數，將NEO算法與GA、WOA、CPA、MA、EO、MDSGEO進行對比。參數設置與3.1節保持一致，計算每個算法的Wilcoxon秩和檢驗的P值，當P值小于5%時，說明兩個算法的尋優效果有差異性，反之則沒有。表5中的+、-和=分別表示NEO算法秩和統計結果優于、差于和等于當前對比算法，NaN表示在秩和檢驗中沒有統計數據進行對比，Wilcoxon秩和檢驗結果見表5。

表5 Wilcoxon秩和檢驗的P值Table 5 P-value of Wilcoxon rank sum test

結果表明，除了沒有數據對比的情況外，NEO算法相較于其他對比算法的P值基本上都小于5%，說明從統計學上來說，NEO算法相比于GA、WOA、CPA、MA、EO、MDSGEO算法具有更好的尋優能力，體現了NEO算法的魯棒性。

綜上所述，本節通過實驗仿真與分析，對比了NEO算法與經典算法、其他改進EO算法及其他最新改進智能優化算法，分析了算法的尋優效果、收斂曲線、運算效率和Wilcoxon秩和檢驗，實驗結果表明本文提出的NEO算法具有良好的尋優精度和更快的收斂速度。之所以如此，得益于在NEO算法的平衡池階段，為避免只依靠適應度值選取候選解產生的相似問題，加入了濃度平衡機制，在高、中、低三種濃度區域的個體都進行不同程度的濃度融合，改變了粒子位置，增強了種群間的信息交流，同時豐富了種群多樣性；其次改進了EO算法的重要參數，指數自適應因子a1和冪函數自適應因子a2動態平衡探索與開發能力，保證了探索與開發過程的穩定性；最后在粒子位置更新處引入基于菲克定律的擾動因子，擾動因子的引入改善了濃度更新公式，加快收斂速度的同時提高了算法的尋優精度。總之，NEO算法是性能不錯的智能優化算法。

4 結束語

本文為了解決平衡優化器算法收斂速度慢、精度不夠、開發和搜索階段信息不平衡的問題，提出了融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優化器算法。算法首先引入濃度平衡機制，提高算法種群間的信息交流能力；同時改進了算法參數，采用動態參數設計平衡全局搜索和局部開發能力；最后引入擾動機制，擾動更新粒子位置，提高算法的尋優精度和收斂速度。通過24個基準測試函數和Wilcoxon秩和統計檢測進行實驗仿真，結果表明，本文算法具有較好的收斂速度和尋優精度，有效避免了早熟現象的發生。考慮將NEO算法應用到應急車輛路徑規劃問題中作為下一步的研究方向。