利用均值不等式求函數最值的六種方法

曹 昕 洪家鳳

安徽省渦陽縣第二中學 安徽省渦陽縣第四中學

均值不等式是高中數學的一個重要公式，常出現在填空、選擇題中，結合不等式的性質進行考查，部分大題解答過程中也常用到.下面結合實例給出求函數最值的6種方法.

1 整體代換法

在利用均值不等式求最值時常會遇到一些較復雜的運算，直接運算可能比較復雜甚至無法得出結果，而采用整體代換的方法.有時可以簡化運算.

2 取平方法

解:由2x-1和5-2x的和為定值，得

≤4+(2x-1)(5-2x)=8.

3 變量變換法

當t=0時，y=0.

4 湊系數法

湊系數是使用配湊法解題的一個重要思路，常用在形如y=x(a-bx)(a,b為常數)的函數求最值，只需要將x(a-bx)配湊成和為定值的式子，即在x前面配上一個系數b使bx+(a-bx)=a,從而使等式滿足求最值的條件進而解決問題.

例4當0

分析:在利用均值不等式求最值時，目標等式中需要滿足和或者積為一個定值.本題由已知條件00，所以可以考慮給目標等式湊上一個系數構造成y=2x(8-2x)=8的形式使和為定值，從而求出目標等式的最大值.

解:y=x(8-2x)

當且僅當2x=8-2x時，上式等號成立.

即當x=2時，y=x(8-2x)的最大值為8.

5 湊項法

解:因為x0.

=-2+3=1，

所以當x=1時，函數f(x)的最大值為1.

6 分離法

所以，所求函數值域為(-∞，1]∪[9，+∞).

總而言之，利用均值不等式求解最值問題時，要熟練掌握變形技巧，積極地為利用均值不等式求解創造條件；要善于總結歸納解題方法，多加練習提高解題能力，提升利用均值不等式求最值問題的解題技巧.