例談“空間角”的求解策略

張 宇

江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)

“空間角”是近年高考中的高頻考點(diǎn)，求解空間角的常用方法就是“空間向量法”，此外，還可以利用幾何法求解空間角.此類問題側(cè)重考查學(xué)生的空間想象能力、化歸能力以及運(yùn)算能力.

1類型一:求解異面直線所成的角

解決異面直線成角問題，可利用空間向量方法，也可利用幾何法——先畫出圖形，通過作平行線，將異面直線所成角放置在某個(gè)三角形中，再借助余弦定理加以求解.

例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，M是A1C1的中點(diǎn)，N是BB1的中點(diǎn)，求異面直線AM與NC1所成角的余弦值.

圖1

解法1：空間向量法.

圖2

解法2：幾何法.

把直三棱柱補(bǔ)形為直四棱柱(各條棱長相等)，如圖2.設(shè)直三棱柱的棱長為4，取B1E=1，連接EN，故EN∥AM,所以∠ENC1為異面直線AM與NC1所成角.

于是，在△ENC1中，由余弦定理得

2類型二：求解直線與平面所成的角

解決線面成角問題，可利用空間向量方法，也可利用幾何法——適當(dāng)作輔助線，利用線面角的概念，先將線面角放置在某個(gè)直角三角形中，再通過求解直角三角形即可獲解.

(Ⅰ)求證：直線AB⊥平面DEF；

(Ⅱ)求直線BE與平面DAB所成角的正弦值．

解析：(Ⅰ)略.

圖4

方法2：幾何法.作EO⊥DF，垂足為O，連接OB.由(Ⅰ)可知AB⊥平面DEF，又EO?平面DEF，則AB⊥EO.又DF∩AB=F，所以EO⊥平面DAB，從而直線BE在平面DAB內(nèi)的射影為OB，因此∠OBE就是直線BE在平面DAB所成的角.

評(píng)注：處理立體幾何中有關(guān)“翻折”問題的關(guān)鍵是抓住“翻折”前后兩個(gè)圖形的特征關(guān)系，往往需要先理清哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化；然后再靈活運(yùn)用空間向量法或幾何法，化繁為簡，可有效降低試題難度.

3 類型三:求解兩個(gè)平面所成的角

解決面面所成角問題，可利用空間向量方法加以求解，也可利用幾何法——適當(dāng)作輔助線以及推理論證，先得到二面角的平面角，再將該平面角放置在某個(gè)三角形中，通過解三角形求解.

圖5

(Ⅰ)求證：直線BE∥平面PDF；

(Ⅱ)求二面角P-DF-C的余弦值.

解析：(Ⅰ)略.

圖7

(Ⅱ)方法1：空間向量法.

方法2：幾何法.

因?yàn)锽D⊥PC，AC是PC在平面ABCD內(nèi)的射影，所以BD⊥AC，則四邊形ABCD是菱形.

又由F是AB的中點(diǎn)，可知DF⊥AB.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DF.又PA∩AB=A，所以DF⊥平面PAB，于是DF⊥BF,DF⊥PF.故∠PFB就是二面角P-DF-C的平面角.

通過以上歸類解析可知，處理“空間角”問題時(shí)，若選用“空間向量法”，則關(guān)鍵在于恰當(dāng)建系、準(zhǔn)確計(jì)算直線方向向量的坐標(biāo)或平面法向量的坐標(biāo)，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、明了，缺點(diǎn)是運(yùn)算量較大.若選用“幾何法”，則關(guān)鍵在于借助圖形、將空間角問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為平面角問題，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較少，缺點(diǎn)是往往需要巧作輔助線，思維量較大.Z