多思維策略，妙方法破解
——對2021年數學新高考Ⅰ卷第6題的探究

崔德全

山東省菏澤市定陶區第一中學

三角函數式的化簡與求值一直是歷年高考數學試卷中的一個基本考點，或單獨設置問題考查，或交匯融合其他知識輔助考查，或作為基本過程合理過渡，常考常新，變化多端，形式各樣；而且由于三角函數中公式眾多，切入點多維，破解方法多樣，對邏輯推理與代數運算的能力與素養要求比較高，是考查考生綜合能力和核心素養的良好載體.

1 真題呈現

2 真題剖析

該題條件簡單，短小精悍，難度適中，以三角函數中單角的正切值為條件，通過單角、倍角的三角函數式的求值來巧妙設置，綜合考查三角恒等變換、同角三角函數基本關系式等相關基礎知識.

正確進行三角函數求值的關鍵就是化同角，巧變換，妙求值.具體破解時，可以通過三角關系式的齊次化策略、統一化策略、各個擊破策略以及定義化策略等思維方式來處理，結合不同的思維方法來處理與求值，很好地考查學生對三角函數綜合知識的理解與掌握程度，進一步強化思維的靈活性、多樣性、拓展性等.

3 真題破解

方法1：齊次化策略

解析：由tanθ=-2，得

故選擇答案：C.

點評：由題意利用二倍角公式化簡所給的三角函數式，然后利用齊次式的特征進行除“1”的齊次化處理，利用分式的分子分母同除相應的余弦二次式，轉化為含有正切的關系式，代入即可求得三角函數式的值.齊次化處理，兩次化“1”處理，以及同除變形，是破解此類問題最常用的技巧方法.

方法2：統一化策略.

故選擇答案：C.

點評：利用題目條件中的正切值轉化為正弦與余弦之間的關系，代入平方關系得到余弦的平方值，結合所求的三角關系式統一轉化為余弦表達式，代入余弦的平方值即可求得三角函數式的值.借助條件與平方關系確定余弦的平方值，統一轉化，化同名變形，巧妙代換處理，簡捷有效.

方法3：分類討論策略.

=sinθ(sinθ+cosθ).

①

由tanθ=-2<0，可得θ的終邊在第二象限或第四象限.

點評：利用題目條件中的正切值為負，確定角θ所在的象限，通過分類討論，分別確定對應角在相應象限內的正弦值與余弦值;代入分別求值，進而求得三角函數式的值.根據題目條件確定對應角的三角函數值，是破解三角函數求值中問題最常見的思維方式，必須借助角的不同象限進行分類討論.

方法4：整體化策略.

故選擇答案：C.

點評：不分別計算正弦與余弦值，而是把正弦的平方以及正弦與余弦的乘積分別作為一個整體求值.整體化求值避免了分類討論，更加有效快捷.

方法5：定義化策略.

故選擇答案：C.

點評：結合三角函數的定義，利用題目條件中的正切值轉化為參數y與x的關系式，進而確定正弦值及余弦值與r的關系式；由題意利用二倍角公式化簡所給的三角函數式，結合三角函數定義代入，并對參數進行變形與化簡，即可求得三角函數式的值.定義化破解三角函數問題，回歸問題本質，也是破解三角函數求值問題中比較常見的一類技巧策略.

4 變式拓展

探究角度：改變問題的給出方式，變原來“tanθ=-2”為“角θ的終邊落在直線y=-2x上”，間接處理，可以進一步融合相關數學知識，強化數學知識的理解與掌握以及數學能力的提升.

5 教學啟示

(1)在掌握常規破解方法的基礎上適度拓展

涉及三角函數式的化簡或求值問題，相關公式眾多，關系錯綜復雜，有利有弊.有利的一面是可以多角度多層面選擇三角函數的相應公式加以應用；有弊的一面是容易陷入三角函數的相應公式無從選擇的困境.因此，在這部分的教學與學習過程中，除了要熟練掌握破解此類問題的常規方法外，還要有針對性地適度拓展對其他一些思維方法的理解與掌握，以防不時之需.

(2)回歸課本，挖掘潛能

充分回歸課本，挖掘課本的基本知識，有效拉近課本與高考之間的距離，架起兩者之間的橋梁，是平時數學與學習的一個關鍵所在.特別要有意識地針對一些典型高考真題，就某一層面的知識體系加以“一題多解”“一題多變”“多題一解”等方面的剖析，結合課本基本知識與基本方法，從多個視角切入，到多個思維方法破解，真正達到“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的境界.Z