“數”“形”合作，巧妙破解
——對2021年高考數學天津卷第15題的探究

談 琴

江蘇省宜興市丁蜀高級中學

平面向量的數量積問題涉及平面向量的基本概念、模、投影、夾角、坐標等相關知識，同時具備“數”的特征與“形”的直觀，一直是歷年高考中的熱點題型與常考題型之一，背景新穎，方式創新，難度適中，倍受命題者的關注與青睞.特別是新高考的天津卷，對平面向量的數量積考查已經形成了“天津”特色.

1 真題呈現

圖1

2 真題剖析

此題是新高考天津卷中對平面向量考查的一大特色，以正三角形為問題背景，以平面向量的線性關系以及數量積作為條件，通過兩問設置，求解相應平面向量線性關系式的模以及平面向量數量積的最值問題.

破解此類問題最常見的“招數”就是利用平面幾何思維、平面向量思維、代數思維與極化恒等式思維等，從平面向量相關概念入手，利用平面向量的自身“形”的特點，結合向量的線性運算與邏輯推理，或通過平面幾何的幾何特征加以“形”的轉化，或通過平面向量的基底運算、投影定義、坐標運算以及極化恒等式等加以“數”的運算，從而得以應用與求解.

3 真題破解

解法1(平面幾何法)：由題可知，四邊形ABDF是等腰梯形，△CDF是正三角形.

結合余弦定理的向量式，可得

點評：借助平面幾何圖形的直觀，沒有添加任何的輔助線，直觀形象，有效破解.

圖2

解法2(平面向量——基底法)：如圖2所示，過點F作FG⊥AB，垂足為G，易證得△BED≌△AGF.

點評：結合平面幾何中輔助線的構造和三角形的全等判定與性質，確定四邊形EDFG為矩形，進而確定對應的向量關系，從而得以確定對應向量的線性關系式的模；設出|BD|=2t，結合平面向量的線性運算，通過基底的選取與線性變形，利用數量積加以轉化與變形，得到含參的二次函數關系式，通過配方處理，利用二次函數的圖象與性質來確定對應的最值問題.合理選取基底是簡化數量積運算的關鍵.

如圖3所示，過點A作AH⊥DF，垂足為H.

圖3

點評：結合平面幾何圖形中相應輔助線的構建，在矩形背景中，根據垂直關系，將對應的數量積加以展開，分別利用投影的定義，將對應數量積加以轉化與變形，得到含參的二次函數關系式，通過配方處理，利用二次函數的圖象與性質來確定對應的最值問題.投影可以有效將數量積中的相關問題加以合理轉化，是破解此類問題中比較常用的一類技巧方法.

圖4

如圖4所示，以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

點評：通過平面直角坐標系的建立，設出|BD|=2t，結合平面幾何圖形的幾何性質以及正三角形的特征確定各對應點的坐標，根據向量的坐標以及數量積公式，將對應數量積轉化為含參的二次函數關系式，通過配方處理，利用二次函數的圖象與性質來確定對應的最值問題.坐標法處理平面幾何中的數量積的最值問題，就是合理引入參數，確定對應的坐標，轉化為函數問題，利用函數相關知識來確定最值問題.

點評：通過平面向量線性運算的轉化，引入線段GA的中點O，合理將有關的數量積問題加以巧妙轉化，借助平面向量的極化恒等式來變形；結合|BD|=2t，通過線段的關系，以及勾股定理的應用，建立含參的二次函數關系式；通過配方處理，利用二次函數的圖象與性質來確定對應的最值問題.極化恒等式是平面向量中有效轉化數量積的技巧，往往可以出奇制勝.

4 解后反思

以上各種不同的解法，或平面幾何，或平面向量，或直角坐標，或極化恒等式等，都充分體現了平面向量“數”與“形”的和諧統一與巧妙轉化，“數”與“形”協同作戰、密切合作，也可以從“數”的角度加以代數運算，可以從“形”的角度加以直觀想象，有效提升解題思維層次，發散解題思維，提升解題能力.Z