應用解題策略 提升解題質量

朱付菊

山東省泰安長城中學

高考數學試題題型多變，靈活性強，部分學生對數學有畏難情緒，影響學習的積極性.但若掌握好解題策略，樹立起學習的信心，數學這一難關也可以被攻破.基于此，筆者結合歷年真題進行剖析，以期師生在復習時可以有針對性地選擇合適的解題策略進行訓練，以此提升解題能力.

1 公式法

公式法可謂是數學解題中最直接、最高效的策略之一，在高考選擇題和填空題中占有較大的比重，因此要重視概念、公式、定理等基礎知識的積累，扎實的基礎是高考制勝的法寶.

例1已知復數z=(5+2i)2(i為虛數單位)，則z的實部為______.

考點：復數的基本概念.

解析：z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25-4+20i=21+20i.故實部為21.

例2在各項均為正數的等比數列{an}中,a2=1,a3=a5+2a4,則a6的值為.

考點：等比數列的通項公式.

解析：設公比為q，因為a2=1，則由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,即q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a2q4=4.故a6=4.

以上兩個題目均為高考填空題，其直接考查的就是基本概念、公式和定理的應用.另外，分析歷年高考試卷也容易發現，填空題、選擇題及解答題中的一些小問題大多可以直接套用公式進行求解，可見，公式法在解題中占有重要地位.為了讓學生應用好公式法，教師應引導學生熟練掌握教材中所涉及的概念和公式，同時要關注概念的外延和公式的變形，以讓學生在遇到涉及公式、概念等問題時可以一眼識破，從而恰當應用、靈活求解.

2 分類討論法

分類討論是高考的重要考點之一，其主要考查學生思維的嚴謹性，在解此類問題時必須從整體出發，著眼于問題的本質，通過分步實施使問題更加簡單、具體.

例3已知a，b是實數，1和-1是函數f(x)=x3+ax3+bx的兩個極值點.設函數g(x)的導函數g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點.

分析：由已知容易求得a=0,b=-3,因此f(x)=x3-3x.

由g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2·(x+2)=0，解得x1=x2=1,x3=-2.接下來求g(x)的極值點時需要對x進行分類討論，即x<-2,-21.當-21時，g′(x)>0,而x<-2時，g′(x)<0，故可以分成兩類進行討論.

在解決一些綜合性問題，尤其是一題多問的題目時，往往需要綜合考慮各種限定條件，從而通過分類討論一一求解.為了讓學生形成分類討論意識，使思維更加縝密，教師在日常教學中可以選擇典型性的例習題引導學生發散性地思考問題，從而優化學生數學思維.

3 數形結合法

數形結合在數學中的地位是毋庸置疑的，將文字轉化為圖形或圖象可使問題更加直觀，使解題更加高效.

圖1

本題所考查的內容為函數圖象的交點問題，解題時若不能結合圖象進行分析，將舉步維艱.將已知轉化為圖象，結合圖象進行分析，解題也就變得水到渠成了.

在解此類題目時，學生首先應有數形結合意識并可以根據已知準確地繪制圖象，故學生的作圖能力是解決數形結合問題的關鍵.為提升學生作圖能力應重視日常訓練，讓學生熟練掌握各種圖象或圖形，進而可以高效地將文字語言轉化為圖形語言.高考數形結合題目大多為函數問題，因此在復習函數時，應著重訓練學生根據已知條件將函數表達式轉化為函數圖象，進而使學生在解決此類問題時可以得心應手.

4 添加輔助線法

添加輔助線是解答幾何問題的常用方法，輔助線往往可以成為已知通往未知的橋梁，通過合理的添加不僅可以讓已知條件更加清晰，而且可有效降低求解難度，提高解題效率.

圖2

例5已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3 cm,AA1=2 cm，則四棱錐A-BB1D1D的體積為.

本題雖然考查學生對錐體體積的認識，但解題的關鍵為添加輔助線，在高考幾何題目求解時添加輔助線為常用策略.恰當地添加輔助線往往可以將題目中隱含的信息顯現出來，進而幫助學生順利求解.因此，添加輔助線可謂是幾何證明的重點，學生要充分結合已知條件和圖形特點，通過觀察、分析合理添加，以此作為題目的突破口，提高解題效率和準確率.

5 漸進法

高考題有一定的難度，尤其后面的綜合題目，其不像選擇、填空題那樣，可以一目了然地知道題目所要考查的考點，在求解時需要逐層分析，不斷推進，故解決此類問題時不能一蹴而就.學生首先要樹立解題的信心，通過多角度分析將問題進行分解拆分，轉化為可以觸手可及的小問題，從而在解決簡單問題后，通過聯想、轉化找到解決綜合題目的突破口，進而順利求解.然而通過對高考試卷的分析，發現在解決綜合題目時，大多數學生容易出現思維障礙，主要原因有兩個：其一是知識不夠系統化，不能找到知識點間的聯系，進而影響了遷移；其二是學生常產生此類題目較難的心理暗示，分析問題時急于求成，故限制了思維的發展，從而影響了解題準確率.

圖3

(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

本題為一個逐層深入的漸進題，首先將BF2的方程與橢圓方程聯立進而得到點A與點C的坐標，進而根據F1C⊥AB得到橢圓的離心率e.

此類問題為高考的常見題型，前面的小問題較為基礎，因此學生在解題時要保證基礎題的準確率，進而保障后面問題的順利求解.為了更好地解決此類問題，需要按章節、模塊進行教學，從而使學生宏觀地把握相關知識點，進而由淺入深地聯想逐層擊破難點，提升學生綜合知識的應用能力.

總之，好的策略需要好的實踐，在教學中要引導學生從題目出發，根據實際考查內容合理地選擇策略，通過不斷嘗試和拓展，提升解題能力.同時也要注意，各個解題策略并非孤立存在，將其有機結合往往會獲得更多驚喜.Z