三疑三思三次函數*

賀 旭

浙江省寧波市北侖明港高級中學

1 問題提出

浙江省2021年高中數學教學活動評審比賽的一個環節是說題，題目分為A，B組，給選手的準備時間是40分鐘，現場說題15分鐘.筆者選取A組一道題進行探究.

已知三次函數f(x)=x3-x,設P0(x0,y0)為函數y=f(x)曲線上異于對稱中心的任一點，在點P0處的切線l0交曲線點于點P1，在P1點處的切線l1交曲線于點P2，求三角形P0P1P2的面積S△P0P1P2.

圖1

解：對三次函數f(x)=x3-x求導，得f′(x)=3x2-1.

聯立

同理求點P2的坐標.

S△P0P1P2的求法有兩種：割和補.

圖2

所以S△P0P1P2

法2(補法)：如圖2，補出矩形ABCD.

所以S△P0P1P2

=S矩形ABP2C-S△AP0P1-S△BP0P2-S△CP1P2

2 三疑

說題比賽時，選手們主要有3個疑問：①無法求出交點P1，P2；②無法求出三角形面積；③沒有將這道題進行推廣.

2.1 求交點

對于疑問①，可以直接利用拆項進行因式分解從而求出點P1的橫坐標；也可以觀察圖形，發現直線P0P1與曲線只有兩個交點，而方程聯立得到的是三次方程，因此必有一個重根，易知重根是x=x0，這樣就可以求得另一個根x=-2x0.求點P2時，可以根據點P1的橫坐標直接進行迭代，也可以類比點P1的坐標求法，一模一樣求一遍.

2.2 求面積

三角形面積的求法常用的有三種：直接法、割法、補法.對這道題而言，運算量最小的是割法，直接法最繁瑣，不推薦，補法普適性強，易于推廣.現對三角形的面積用補形法進行深入探究.

圖3

如圖3，已知三角形的三個頂點O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)，求三角形OAB的面積S△OAB.

S△OAB

=S矩形OEDC-S△DAB-S△CAO-S△EBO

圖4

如圖4，已知△ABC,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，求三角形ABC的面積S△ABC.

任意三角形通過平移都能經過原點，變成圖3，這里將圖4的A點平移到原點，則

這樣就推導出平面內任意三角形的面積公式.

2.3 再推廣

已知三次函數f(x)=ax3+bx+c，設P0(x0,y0)為曲線y=f(x)上異于對稱中心的任一點，在P0處的切線l0交曲線于點P1，在P1處的切線l1交曲線于點P2，求三角形P0P1P2的面積S△P0P1P2.

解：對三次函數f(x)=ax3+bx+c求導，得f′(x)=3ax2+b.

a(x+2x0)(x-x0)2=0.

所以x1=x0,x2=-2x0，即P1(-2x0,f(-2x0)).用迭代法直接寫出P2(4x0,f(4x0)).所以

因此，我們可以發現三角形的面積只與三次函數的三次項系數有關.

3 三思

3.1 且算且思

綜合性強的數學題常常難以一眼望穿，需要且算且思，摸著石頭過河，邊算邊想邊觀察，答案可能在不經意間露出端倪，再通過細細揣摩完善解題過程.本文中在求點P1的橫坐標時，有如霧中的感覺，在經歷了一系列復雜的運算后，求得x=-2x0，通過迭代的思想就能猜出想點P2的橫坐標為x=4x0.踏破鐵鞋無覓處，輕松得到點P1，P2的坐標.

3.2 多思少算

三思而后行，做事前多思考，謀定而后動能避免很多麻煩，少走許多冤枉路.高中階段求面積的方法很多，就公式法來說有三種：

3.3 算后反思

一道題解完后并不代表著結束，而是要反問自己“還有其他方法嗎？”“能不能推廣到一般情況？”“這道題考查的本質是什么？”通過反思，優化解法，深度理解題意，提升自身素養.對于文中的面積問題，思考如何求平面內任意三角形的面積；將題目中的特殊三次函數換成一般三次函數，又會有什么結論.在不斷反問與反思中，探索發現，真可謂：涉淺水者見蝦，其頗深者察魚鱉，其尤甚者觀蛟龍[1].