高考理科數學試題綜合難度的演進趨勢

曹翛騖 郭三剛

陜西理工大學

1 引言

高考數學試題具有選拔人才的功能，但由于考試時長的限制，所以試題內容既要全面，又要有重點和難點，這就需要命題人合理把控試題難度.試題難度通常用全體考生的考試及格率來度量，這種度量方法著眼于考試結果，沒有考慮影響試題難度的客觀因素，不便于考試前試題難度的把控，因此有必要構建一種客觀的試題難度系數衡量標準和檢測辦法.

鮑建生[1]提出了數學課程綜合難度模型，其認為影響數學課程綜合難度的主要因素有探究、背景、運算、推理和知識含量5個方面，且不同因素又劃分為不同的等級水平，并給予等級變量的自然賦值，然后加權平均得到習題的綜合難度系數，并將此方法用于比較中英兩國初中數學課程綜合難度.武小鵬等[2]在鮑建生的綜合難度模型中增添了參數和思維方向兩個因素，以此研究了中韓兩國高考數學試題的難度，結果是：我國高考數學試題綜合難度偏高.而影響數學試題難度的因素很多，各因素的影響力也不同，在各影響因素作用大小準確給定的前提下，能部分提高定量化測量試題難度的準確性.20世紀70年代匹茲堡大學的Saaty教授(Thomas L.Saaty，Saaty，1926-2017)提出了層次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)[3].

層次分析法是一種較好的權重確定方法，可以把復雜問題中的各因素劃分成相關聯的有序層次，進而決策[4].

武小鵬等[5]采用層次分析法對自己改進后的綜合難度系數模型中的不同因素及其不同水平賦權，進一步提高了綜合難度模型的可用性.

本文中將武小鵬等改進后的綜合難度系數模型做了一些調整，利用層次分析法得到了各影響因素及其不同水平的權重系數，并以2013—2020年全國Ⅱ卷、2021—2022年全國乙卷的高考理科數學試卷為研究樣本，分析了上述連續10年試題綜合難度的演進趨勢.

2 綜合難度系數模型建立與求解

武小鵬等[5]改進后的綜合難度系數模型中因素有背景、參數、運算、推理、知識含量、思維方向和認知等7個.本文中沒有將參數作為一個因素處理，因為運算是利用已知量(數值或符號的表達式)經過一系列數學操作獲得新的量的過程，參數或者是問題本身的若干變量，或者為求解問題而引入的若干變量，因而參數屬于運算的成分，可以不作為影響試題難度的因素單獨考慮.為了能夠突出因素不同水平的差異性，增加或減少了因素的水平數，調整了同一因素不同水平的賦值.具體地，本文建立的綜合難度系數模型采用了情境、運算、推理、知識含量、思維方向和認知等六個難度因素，并調整了運算和認知兩個因素各自的難度水平，在情境、推理、知識含量、思維方向等四個因素的難度水平采用武小鵬等[5]的劃分，并賦值了各影響因素的不同水平，見表1.

皇甫倩等[6]認為數學技能是影響定量化試題難度的一個因素，根據問題對技能的要求和運算的復雜性將數學技能中的簡單符號運算與復雜數值運算歸為一個水平.本文中據此將運算劃分為簡單運算、較復雜運算和復雜運算等三個水平，其中，簡單運算指簡單數值運算，較復雜運算包括復雜數值運算(如，指對數等數值運算)和簡單符號運算(如，3步以內的含字母運算)，復雜運算指復雜符號運算(如，復雜的含字母運算和復雜的推理證明).

顧泠沅[7]提出的數學認知因素分析框架為：水平1，計算——操作性記憶水平(如，簡單的計算，作圖和求值)；水平2，概念——概念性記憶水平(如，數學定義和性質等的記憶)；水平3，領會——說明性理解水平(指能夠靈活使用數學方法，理解題干信息并掌握推理思路)；水平4，分析——探究性理解水平(指綜合運用知識，并能從多視角分析問題，創造性地解決非常規問題).本文中借鑒該數學認知水平框架，將認知劃分為記憶、領會和探究等三個水平，因為水平1和水平2同屬記憶水平.其中，記憶指“計算——操作性記憶水平”和“概念——概念性記憶水平”，領會指“領會——說明性理解水平”，探究指“分析——探究性理解水平”.

一套試題綜合難度系數的計算如下：

(1)先計算各因素的難度系數di，采用鮑建生[1]在綜合難度模型中計算各因素的難度系數的公式：

其中，di(i=1,2,……,6)分別對應背景、運算、推理、知識含量、思維方向和認知等六維影響因素的難度系數，wij指第i個因素的第j個水平的權重系數，nij是所有題目中第i個因素所處第j個水平的題目個數，k指各個因素的水平個數，n為試題題目的總數.

(2)再計算一套試題的綜合難度系數D，綜合難度系數是各因素難度系數的加權平均值，即

其中，wi指第i個影響因素的權重系數.

因素的難度系數di和試題綜合難度系數D數值越大，意味著相應難度越大.

為計算試卷的綜合難度，本文中利用層次分析法獲取因素及其水平的權重系數.根據3位學科教學(數學)的碩士生導師和7位高中數學教師對表1綜合難度系數模型中因素和水平同層次間要素的相對重要性作出的評判結果，構造出因素和水平間的判斷矩陣，并求解它們的最大特征根及相應的特征向量，經一致性檢驗，發現上述判斷矩陣均具有一致性[4].

由此得出了各因素的權重系數wi和各因素水平的權重系數wij：w1=0.04，w2=0.08，w3=0.08，w4=0.12，w5=0.34，w6=0.34；w11=0.11，w12=0.26，w13=0.63，w21=0.09，w22=0.22，w23=0.69，w31=0.14，w32=0.86，w41=0.10，w42=0.21，w43=0.69，w51=0.20，w52=0.80，w61=0.10，w62=0.21，w63=0.69.

如下示例說明如何統計1道試題在各因素上的水平分布.

例(2022年全國乙卷理科第14題)過四點(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為____________.

分析：該題考查圓的一般方程和性質，是一道無背景試題，只需設出圓的一般方程，任選三個點代入，得到方程組解之即可，主要考查學生的數學運算素養.故該題在各因素分別處于無背景、簡單符號運算、簡單推理 、2個知識點、順向思維和記憶水平.

3 近10年高考理科數學試題的綜合難度

3.1 影響因素的分布情況

通過統計，繪制出2013-2020年高考理科數學全國Ⅱ卷和2021-2022年高考理科數學全國乙卷分別在六個影響因素上的水平分布，見圖1～6.

圖1 情境分布

圖2 運算分布

圖3 推理分布

圖4 知識含量分布

圖5 思維方向分布

圖6 認知分布

圖1～6可以直觀反映出六維因素的各水平分布情況.就背景而言，分布在無背景的題目始終居多，但從2015年起，生活背景和科學背景的題目逐漸增多；運算分布上，較復雜運算最多，復雜運算次之，簡單運算最少；就推理而言，多以考查簡單推理為主，分布基本穩定；知識含量上，2個知識點的考查最多，1個知識點和多個知識點的考查分布相當；思維方向上，絕大部分題是以順向思維解題的，逆向思維的運用很少；對于認知，領會水平的題目最多，記憶和探究水平的題目分布較少.

3.2 影響因素難度系數的變化趨勢

根據統計和計算結果，繪制10年樣本試題在六維因素難度系數上的變化折線圖，如圖7.

圖7 各因素難度系數變化趨勢

從圖7看來，各套試題中運算和推理的難度系數最大，即側重于考查運算求解能力和邏輯思維能力；情境的難度系數遠遠小于其他，但總的趨勢是處于上升的；思維方向的難度系數大致在增長；知識含量的難度系數在0.24～0.31不斷波動變化；認知的難度系數的極差為0.3，變化最為穩定.

3.3 綜合難度系數的演進趨勢

經計算得出各套卷的綜合難度系數，并繪制10套試卷綜合難度系數的變化趨勢折線圖，見圖8.

圖8 綜合難度系數演進趨勢

由圖8可知，2013-2020年高考理科數學全國Ⅱ卷和2021-2022高考理科數學全國乙卷的綜合難度先降后升.其中，2013-2014年試卷的綜合難度基本持平，2014-2017在逐漸下降， 2017-2022年期間的試卷綜合難度整體呈現出上升趨勢，2017年高考理科數學全國Ⅱ卷的綜合難度最小， 2022年高考理科數學全國乙卷的綜合難度最大.

4 結論

本文中通過建立綜合難度系數模型，并用層次分析法求解，研究了連續10年試卷(2013-2020年高考理科數學全國Ⅱ卷和2021-2022高考理科數學全國乙卷)綜合難度的演進趨勢，下面是結論與建議.

高考理科數學全國Ⅱ卷于2021年變更為全國乙卷，變更后，全國乙卷的綜合難度均在歷年全國Ⅱ卷之上，特別是今年(2022年)的綜合難度是10年間最大的.但變化前后均側重于考查學生的數學運算和邏輯推理素養，所以在日常教育教學中，需要格外注重這兩個素養的培養.就情境而言，歷年始終以無背景題目居多，近年來情境題目逐漸增加，有利于培養和提高學生對生活、社會和科學的信息識別與加工能力，以及數學建模素養和數學抽象素養；在運算上，以考查較復雜運算為主，對考生的運算能力有一定的要求，要加強學生運算求解能力的培養；對于推理，推理步驟反映了學生解題思維的復雜程度，而歷年考查簡單推理的題目居多，表現出高考數學試題注重基礎性，但不能忽略對邏輯推理素養的培養；就思維方向而言，雖然以順向思維解題為主，但逆向思維有利于發展學生的創新能力，因此同樣不可忽視；從知識含量和認知角度看，主要考查2個知識點的綜合運用，1個和多個知識點的考查也有一定分布，處于領會水平的題目最多，記憶和探究水平的題目較少，但都有一定的設置.由此得出，高考數學在面向大部分考生群體的同時，又具有選拔人才的作用 ，充分體現了高考數學試題“低起點、多層次、高落差”的難度調控，整體兼顧了基礎性、應用性、綜合性和創新性[8].