重方法，求效益：活用函數與方程思想

過家福

江蘇省南菁高級中學

作為中學數學中最基本的思想之一——函數與方程思想，在歷年高考數學題中都占有比較大的比重，各種難易程度、各類題型都可能涉及.利用函數的概念、性質、運算、圖象等來分析、轉化與解決問題就是函數思想；利用數量關系，通過方程、不等式及其二者的交匯等數學模型的構建來分析、處理與解決問題就是方程思想.利用函數與方程思想，重在提煉技巧方法，提升解題效益.

1 在不等式中的應用

不等式與函數、方程之間構建特殊的一一對應關系，利用這個特殊關系，經常可以將不等式問題轉化為相應的函數(或方程)來處理，借助函數的圖象與性質，或方程的解或零點等知識加以巧妙轉化，很好用來處理涉及代數式的大小關系、不等式恒成立以及抽象不等式等相關問題.

例1已知實數a滿足0

A.ea-1

C.ae

分析：根據題目條件，通過構建函數f(x)=ex-x-1(x>0)，利用導數研究函數的單調性，進而確定ea-1與a的大小關系；再利用指數函數的單調性進一步確定a與ae的大小關系即可.

解析：設函數f(x)=ex-x-1，x>0，求導則有f′(x)=ex-1>0，所以函數f(x)在(0，+∞)上是增函數，且f(0)=0.

于是f(x)>0，所以ex-1>x，即ea-1>a.

又指數函數y=ax(0ae，從而ea-1>a>ae.

故選擇答案：B.

點評：在解決一些相關的不等式問題中，經常借助不等式之間的結構特征等形式，利用不等式與函數或方程之間特殊的對應關系，合理構建相應的函數或方程，進而借助函數或方程的求解與應用來解決相應的不等式問題.

2 在數列中的應用

數列是一類特殊的函數模型，是涉及項數n所對應的正整數的函數模型，特別是相關數列的通項公式與前n項和公式等函數類問題，可以根據題目條件轉化為對應的函數或方程來處理，解決一些涉及最值或取值范圍的應用問題，注意其中項數n必須是正整數這一特殊限制條件.

分析：根據題目條件，結合等比數列的定義確定對應的公比，通過等比數列的前n項和公式確定Sn的表達式，利用參數n是奇數與偶數的不同情況進行分類討論，從而確定函數Sn的單調性及取值范圍，進而求解對應數列關系式的值.

點評：數列是一類定義域為正整數集或其有限子集的特殊函數，回歸本質，借助函數或方程的知識來解決數列中的相關問題，是破解數列應用問題比較常見的一種思維方式.只是解題過程中要注意數列問題中項數n的取值為正整數，涉及的函數或方程具有離散性特點.

3 在三角函數中的應用

三角函數中有關三角方程根的計算問題、含參的三角函數或三角方程的求參問題等，經常轉化為函數關系，利用相應函數的圖象與性質求解，或轉化為方程問題，利用方程有解的情況來分析與處理.

分析：根據題目條件，可以將對應的含參三角方程分離參數，結合函數的構建，利用限制條件下的二次函數的值域求解來確定實數a的取值范圍；也可以進行換元處理，化方程問題為對應的函數問題，利用方程在給定區間上有根的條件構建不等式(組)來處理.

解法1：把方程cos2x-sinx+a=0變形為a=-cos2x+sinx.

所以a的取值范圍是(-1，1].

故填答案：(-1，1].

依題意則知二次方程t2+t-1-a=0在t∈(0，1]上有實數解.

圖1

解得-1

故填答案：(-1，1].

點評：在解決一些含參的三角函數問題中，經常可以利用整體化思維或換元思維，將三角函數問題轉化為對應的二次函數或二次方程問題，巧妙利用二次函數的圖象與性質、二次方程根的分布情況等來數形結合，直觀形象地解決相應的三角函數的應用問題，實現問題的合理轉化與巧妙破解.

4 在平面向量中的應用

有關平面向量中的模或夾角的計算問題、參數的求值或取值范圍問題等，經常結合平面向量的數量積公式，或利用坐標法等，化歸轉化為對應的函數關系，借助相關函數的圖象與性質來分析與求解.

分析：根據題目條件，通過對所求平面向量的模進行平方處理，結合數量積公式加以展開，轉化為關于x的二次函數問題，利用二次函數的圖象與性質來確定相應的最值問題即可.

點評：有關平面向量模的問題，通常利用平方法處理，將平面向量問題轉化為對應的平面向量的數量積問題，從而構建函數或方程模型，利用函數與方程的思想來合理轉化與巧妙破解.在解決一些最值或取值范圍問題中經常用到此思想方法.

5 在解析幾何中的應用

涉及解析幾何中有關直線與圓錐曲線位置關系的問題，經常借助聯立方程組，轉化為對應的方程問題，利用相關的求值合理構建相應的函數等.例如，解決一些涉及長度、角度、代數式等要素的最值、取值范圍等相關問題，以及定點、定值的判斷與證明等問題時，經常離不開函數與方程思想.

故選擇答案：C.

點評：解決解析幾何中范圍問題的關鍵是通過直線、曲線等相關方程的轉化，構建對應的函數或方程關系，借助函數的基本性質、方程有解的條件等構建相關關系式，進而求解最值、取值范圍、定點、定值等相關解析幾何問題.

事實上，函數與方程思想在其他相關知識中的用處也是非常大，主要是根據題意，構造恰當的函數，利用函數基本性質或函數圖象加以解決；或建立相應的方程，利用方程的解、方程有根的條件的推理分析等.從不同層面加以化歸轉化，化難為易，化生為熟、化繁為簡，從而解決一些相關的綜合與應用問題.Z