基于CPFS結構理論的“兩角差的余弦公式”教學設計

王躍男 陳建強

哈爾濱師范大學教師教育學院

1 理論基礎

1.1 CPFS結構理論

2002年南京師范大學喻平教授在綜合分析認知心理學家對知識表征的一般研究基礎上，引入了概念域、概念系、命題域、命題系四個概念，并將其復合結構稱為CPFS結構.

一個數學概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域.由數學概念與概念之間存在的特定的數學關系在個體頭腦中形成的概念網絡就是概念系.與一個命題等價的命題集的圖式叫做這個命題的命題域.在一個命題集中，任意一個命題都至少與其他某一個命題有“推出”關系，就稱這個命題集的圖式為一個命題系.

CPFS結構揭示了概念、命題之間的聯系，形成良好的CPFS結構有助于加強學生對知識的理解、知識遷移、數學能力的發展等.

1.2 CPFS結構理論下的兩角差的余弦公式

三角函數是高中數學內容的重要組成部分，且與許多知識都有著密切的關聯.由于三角函數命題系中大部分命題的推導都源于兩角差的余弦公式，因此建立良好的兩角差的余弦公式CPFS結構對學生形成三角恒等變換命題系有很大影響[1].

圖1 三角函數模塊的知識結構圖

本研究將基于CPFS結構理論進行“兩角差的余弦公式”的教學設計，幫助學生建立三角恒等變換公式的知識生長點，進而構建良好的三角函數知識結構(如圖1所示).

2 教學設計

2.1 教材分析

兩角差的余弦公式是學生在學習誘導公式與掌握單位圓工具的基礎上，利用數形結合、特殊與一般等思想方法獲得的.如圖2，三角恒等變換與誘導公式具有廣義抽象關系，對差角余弦公式進行強抽象可獲得部分誘導公式，掌握差角的余弦公式可以為后續三角恒等變換公式作鋪墊，因此兩角差的余弦公式在教材中起著承上啟下的重要作用[2].

圖2 三角恒等變換命題域、命題系

2.2 教學目標

(1)經歷兩角差的余弦公式的證明過程，知道兩角差的余弦公式的意義；能運用兩角差的余弦公式解決簡單的恒等變換問題.

(2)單位圓是研究三角函數的重要工具，借助它的直觀更好地感悟三角函數的概念與性質，培養直觀想象素養.

(3)通過對公式的具體推導與證明，培養數學運算素養和邏輯推理素養.

2.3 教學重難點

教學重點：推導兩角差的余弦公式；利用兩角差的余弦公式解決一些三角恒等變換問題.

教學難點：差角余弦公式的推導.

2.4 教學過程

2.4.1 設置情景，導入新課

問題1三角函數這一章我們學過很多重點內容，一起來復習幾個誘導公式：

①sin(π+α)=________;②cos(π-α)= ______;

學生：①-sinα； ②-cosα； ③cosα； ④sinα.

追問1：它們在形式上有哪些共同點呢？等號左側與等號右側分別是什么角的三角函數？

學生：等號左側是軸上角與任意角的和或差的三角函數；等號右側與任意角三角函數有關.

這節課先研究，對于任意角α,β，cos(α-β)=？

設計意圖：復習部分誘導公式，強調誘導公式與三角恒等變換的廣義抽象關系，為接下來建構三角恒等變換命題系作鋪墊.通過所提問題引出研究對象，激發學生興趣，明確研究和差角公式的必要性.

2.4.2 建立聯系，感知命題

問題2猜想一下，cos(α-β)可能等于？

學生：cosα-cosβ.

追問1：它是否成立？請驗證并說明你的結論.

追問2：我們是否學過cos(α-β)的特殊情況？

問題3觀察上述由強抽象得出的誘導公式，你認為cos(α-β)與這些誘導公式之間具有怎樣的關系？cos(α-β)的展開結果可能與α，β哪些三角函數有關？

學生：特殊到一般的關系.cos(α-β)的展開結果可能與sinα，sinβ，cosα，cosβ有關.

設計意圖：基于部分誘導公式與差角的余弦公式之間的抽象關系，引導學生得出cos(α-β)展開后出現的基本項.學生積累了從具體到抽象的活動經驗，運用了特殊到一般的思想方法，鍛煉了數學抽象素養.

2.4.3 深入探究，發現命題

問題4回顧一下cos(α-β)的特殊情況——誘導公式的得出，我們采取了什么方法？

學生：在單位圓中，利用圓的軸對稱性和中心對稱性得出等量關系，代入坐標.

問題5既然cos(α-β)是更一般的誘導公式，這節課我們繼續利用這個思路.首先，請大家在練習紙中作出單位圓、任意角與終邊.

學生作圖時，教師巡視并選擇幾種角的終邊處于不同象限的圖形(如圖3～6)，進行投影展示，選擇一種(如圖3)畫在黑板上.

圖3

圖4

圖5

圖6

問題6請同學們觀察，任意角α與β終邊的關系能怎樣分類？

學生：終邊可分為重合或不重合.

追問：那怎樣用數學語言描述呢？

學生：終邊不重合時，α≠2kπ+β(k∈Z)；終邊重合時,α=2kπ+β(k∈Z).

圖7

問題7如圖7，先選取第一種情況進行驗證，設x軸非負半軸、α的終邊、β的終邊與單位圓交點依次記為P1，P2，P3，你能寫出它們的坐標嗎？

學生：P1(1，0)，P2(cosα，sinα)，P3(cosβ，sinβ).

問題8觀察交點的橫縱坐標，要想獲得公式,圖中缺少了哪個重要的量？

學生：cos(α-β).

追問1：如何能出現cos(α-β)？

學生：由三角函數定義，角α-β始邊在x軸非負半軸時，終邊與單位圓交點橫坐標為cos(α-β).

追問2：如何讓角α-β的始邊落在x軸非負半軸，同時角的大小保持不變[3]?

學生：旋轉.

打開準備好的幾何畫板，展示角α-β的旋轉過程，記旋轉后的α-β終邊與單位圓交于點P4(如圖8).

設計意圖：引導學生在單位圓中構造出公式中的所需內容，為應用圓的旋轉對稱性作鋪墊.

圖8

問題9如圖8,顯然P4坐標為(cos(α-β)，sin(α-β))，至此我們終于將所需三角函數值全部找到.回想獲得誘導公式的過程，建立單位圓后，利用圓的軸對稱和中心對稱性尋找等量關系.對于更為一般的cos(α-β)公式，我們可以利用圓更為一般的對稱性是什么？

學生：圓的旋轉對稱性.

追問：根據圓的旋轉對稱性，你能發現哪些等量關系？

問題10：哪種等量關系便于代入坐標計算？怎樣計算？

學生：|P2P3|=|P1P4|，利用兩點間距離公式.

設計意圖：利用單位圓的幾何直觀形成數與形的聯系，通過幾何畫板展示數學問題的直觀模型，滲透了數形結合思想，啟發學生獲得公式的方法，發展了學生的直觀想象素養.

問題11利用等量關系|P2P3|=|P1P4|，結合兩點間距離公式，你能否完成公式的證明？

學生計算過程中，教師巡視，將學生寫的證明過程利用投影展示出來.

問題12至此我們的公式是否完整？不完整的話，缺少什么？

學生：不完整，缺少對α=2kπ+β，k∈Z情況的證明.

追問：那請大家繼續完成公式的證明.

驗證后發現：對于任意角α，β，有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.稱為差角的余弦公式，簡記為C(α-β).

設計意圖：在教師的引導下，學生以已獲得的相關的誘導公式為邏輯依據，將差角的余弦公式納入認知結構，形成新的三角恒等變換命題系.在命題獲得過程中，讓學生積累運算經驗，發展學生運算能力，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

2.4.4 命題應用，鞏固練習

練習1利用公式C(α-β)證明：

(2)cos(π-α)=-cosα.

設計意圖：層層遞進訓練，加深學生對公式的理解和應用.應用新獲得的差角的余弦公式命題，使學生逐步形成穩固的命題域和命題系.

2.4.5 課堂小結，回味公式

結合學習過程，舉例說明你學習了哪些知識，收獲哪些思想方法？說說印象最深的是什么？

設計意圖：由學生總結本節課收獲，加強學生對所學知識的印象，鞏固新獲得的命題域，建立誘導公式與三角恒等變換的命題系，培養總結反思習慣.

3 總結

數學命題的學習需要經歷命題的獲得、命題的證明、命題的應用三個心理階段.這三個階段可以使學生通過上下位學習、同位學習、并列學習，逐步形成穩固的命題域和命題系，改組、豐富和完善個體的認知結構，這也是數學命題學習的高級目標和本質.讓學生明晰差角的余弦公式與誘導公式的抽象關系，并經過等價變式獲得兩角和的余弦公式，可以使學生形成良好的三角函數命題系，幫助學生減輕學習負擔，提高數學知識應用能力.