正四棱錐創設，創新情境應用
——基于一道教材習題的探究

陳瑞霞

中國核工業集團公司二○二廠中學

立體幾何中的邊、角、面積或體積等要素的取值范圍或最值問題，一直是高考中立體幾何部分知識考查的一個熱點與創新點，融入立體幾何中的“動”與“靜”的對立與統一，“數”與“形”的綜合與轉化，數學知識、數學能力與核心素養等方面的考查得以全面兼顧，倍受關注．此類問題經常通過對高中數學教材中的例(習)題進行重新加工，借助問題背景包裝，空間幾何體建立，條件或結論的變換等多種方式，創新應用，看似平常，實則蘊含很多值得好好品味的東西．

圖1

1 源于教材

習題(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學(必修第二冊A版)》第八章“立體幾何初步”中復習參考題8第169頁第4題)如圖1，一塊邊長為10 cm的正方形鐵皮上有四塊陰影．將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，把容器的容積V(單位：cm3)表示為x(單位：cm)的函數．

俗話說得好：鐵打的營盤流水的兵．高考中考查不變的是數學知識、數學思想方法與數學技巧等，變化的是問題情境的呈現方式以及問題的結構形式，以及設問的視角等．這就要求我們立足并深耕高中數學教材中的知識與例(習)題，學會突破常規，陳題巧改編，“舊瓶”裝“新酒”．

2 鏈接高考

在強調高考命題改革與創新的背景下，通過對高中數學教材中的例(習)題進行改編、組合、深入、創新等手段來賦予課本例(習)題新的面貌、新的生命，已經成為高考數學命題的一種新趨勢、新風尚．

分析：該高考真題以課本例(習)題中的正四棱錐為背景，以及把該正四棱錐的體積表示為某個變量的函數，合理添加四棱錐的外接球這個創新場景，在原課本例(習)題的基礎上，增加難度與廣度，綜合考查空間幾何體之間的位置關系、體積以及導數法或均值不等式等，實現問題的變式、拓展與創新．

圖2

設PM=h，AM=a，則(h-3)2+a2=9，且l2=h2+a2∈[9，27].

故選擇答案：C．

點評：具體設參時，可以以正四棱錐的高為變量，以正四棱錐的側棱長為變量，或以正四棱錐的側長與高所對應的角為變量，都可以合理構建對應的函數關系式，進而利用導數法或均值不等式法來確定對應的最值問題，實現問題的突破與解決．

答案：C．

3 場景創新

圖3

分析：以不同的方式顯現正四棱錐，通過底面正方形邊長的設置，結合正四棱錐的高的求解來確定其參數的取值范圍，進而確定邊長AB的取值范圍；結合正四棱錐的體積的表達式的構建，利用函數的設置與導數來確定其最值，進而得以確定此時邊長AB的值．

由400-40x>0，解得x<10，所以邊長AB的取值范圍為(0，20).

設函數f(x)=100x4-10x5(0

所以當00，函數f(x)單調遞增；當8

所以當x=8時，f(x)取得極大值也為最大值，此時AB=16 (cm).

故填答案：(0，20)；16．

點評：通過不同形式的正四棱錐的構建來創設問題場景，結合正四棱錐的體積與對應變量的關系，利用導數法或均值不等式法等來確定對應的最值，以不同的方式、相同的考點巧妙設置．

圖4

例3[2023屆河北省唐山市高三(上)摸底數學試卷]如圖4，一塊邊長為8的正方形鐵片上有四塊全等的陰影部分．將空白部分剪掉，對余下陰影部分按下面工序加工成一個正四棱錐：將四塊陰影部分分別沿虛線折疊，以其中等腰直角三角形組成棱錐的底面，余下為棱錐的側面．則所得正四棱錐的外接球表面積是( ).

分析：以不同的方式顯現正四棱錐，利用正四棱錐的確定以及與之對應的外接球的聯系，進而求解對應正四棱錐的外接球的表面積，從另一個視角來探究與應用．

圖5

解析：依題意可得如圖5所示的正四棱錐P-ABCD.設點O為正方形ABCD的中心.

連接PO，則PO⊥平面ABCD.

因為OA?平面ABCD,所以PO⊥OA.

故選擇答案：C．

點評：通過不同形式的正四棱錐的構建來創設問題場景，結合正四棱錐與其外接球的結構特征來構建兩者之間的關系，為相關參數的確定與求解提供條件，從問題場景的設置與空間幾何體的聯系等視角來創新與應用．

近幾年新高考數學中立體幾何試題的命制，呈現越來越靈活多變，形式越來越新穎多樣，但萬變不離其宗，大多數高考試題都可以在教材中追根溯源，尋覓其影蹤，找到其原型．因而，在高考復習備考過程中，全面回歸教材，注意對課本中典型例(習)題的練習與變式訓練，理解其內涵，規范其步驟，把握其實質，掌握其規律，真正做到胸有成竹，“胸中有本”．Z