巧構函數 妙判大小
——2021年高考數學乙卷理科第12題的評析

崔 娟 李象林 張春寧

山東省淄博實驗中學

代數式的大小比較問題，合理融合并交匯了函數的圖象與性質、不等式的基本性質等內容，充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的指導思想，是近年高考數學命題中的一大基本考點，常考常新，形式多樣，變化多端.下面結合2021年高考數學乙卷理科第12題這道代數式的大小比較判斷來分析.

1 真題呈現

A.a

C.b

2 試題分析

該高考試題一改常態，無法直接結合題目中對應的代數式來明確構造對應的函數，需結合相應的代數運算與恒等變形，借助所構造函數的圖象與性質及一些基本比較方法來分析與處理.

通過分析，尋找1.01，1.02，1.04之間的規律，可以轉化為1+0.01，1+0.02，1+0.04，建立參數1+x，1+2x，1+4x，通過作差比較法，合理構造復合型函數，利用求導判斷函數的單調性來分析與處理.

該題創新新穎，難度較大.從部分考生的反映來看，錯誤率非常高.大部分考生無法判斷，任意作出一個選擇.下面就該代數式的大小比較加以合理精彩解析，展開一幅美麗的畫卷.

3 真題破解

方法1：構造函數法.

則有a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02=b，即a>b.

所以f(x)>0，即a>c.

所以h(x)<0，即c>b.

綜上分析，可得a>c>b.

故選擇答案：B.

點評：要判別三個代數式之間的大小關系，要進行三次比較，在比較a與b的大小關系中，可以利用對數函數的基本性質來判斷；而比較a與c，b與c的大小關系中，分別通過不同函數的構造，利用換元方法，并結合求導處理，利用導函數在給定區間上的正負取值判斷單調性，進而確定給定區間上的函數的正負取值，得以判斷對應的代數式大小關系.無法直接利用不等式的性質來比較大小時，經常借助函數的構造來巧妙處理.

方法2：構造函數法的改進版.

那么，函數f(x)在區間[0，2)上單調遞增，則有f(0.01)>f(0)=0.

則有a>c，可以排除選項C.

綜上分析，可知b

故選擇答案：B.

點評：利用對數函數的基本性質來判斷a與b的大小關系后，可以根據選項的排除與分析，只要再比較a與c的大小關系即可得以正確判斷.在判斷a與c的大小關系時，通過構造函數，利用導函數在給定區間上的正負取值判斷單調性，結合單調性的應用，得以判斷a與c所對應的代數式大小關系.合理借助選項之間的關系，邊判別邊優化，節約時間，提升解題效率.

方法3：導數對應的增長速度判別法.

顯然有f(0)=g(0)=h(0)=0，且a=f(0.01)，b=g(0.01)，c=h(0.01).

所以g′(x)

g(0.01)

所以b

故選擇答案：B.

點評：利用三個代數式之間的關系構造與之對應的函數，通過求導，進而判斷在對應的區間上導函數之間的大小關系，結合導函數的幾何意義所對應的函數的增長速度，得以判斷對應的代數式大小關系.利用導數對應的增長速度判別法來處理，關鍵是要熟悉導數的幾何意義，技巧性強，能力要求高.

方法4：泰勒公式法.

解析：根據泰勒公式，得

由以上a，b，c的展開式可知b

故選擇答案：B.

點評：泰勒公式是高等數學中的相關內容，屬于高中數學的知識拓展與課外提升部分，也是高中數學競賽常備知識點.借助泰勒公式的展開，并結合三個代數式在泰勒公式條件下的進一步轉化，可以很好比較大小.泰勒公式法只是作為參加數學競賽的部分考生的一種快速判斷方法，一般學生有一個大體的了解即可.

4 教學啟示

4.1 鞏固“三基”訓練，掌握通技通法

涉及代數式的大小比較問題，主要考查基本初等函數的變形與運算，以及對應函數的圖象與性質，經常以冪函數、指數函數或對數函數為主，或單獨一個函數，或多個函數的差(或商).經常利用構造函數法、比較法(作差或作商)、特殊值等常規通技通法來分析與處理.

4.2 重視“函數”構建并形成方法體系

在代數式的大小比較問題中，經常結合代數式的特征以及代數式的作差(作商)運算等，合理構建冪函數、指數函數或對數函數等基本初等函數.在合理構建函數的基礎上，或直接利用函數的圖象與性質法來處理，形象直觀判定；或通過函數求導，利用函數的單調性等性質來處理.其中要重視運算轉化，導數工具性應用等.

4.3 體驗過程感悟，培養核心素養

涉及代數式的大小比較問題，能很好承載數學知識、數學思想方法和數學能力等，其比較過程就是一個數學知識、思想方法和能力的交匯與融合的過程，借助這個過程很好滲透特殊值法、特殊判定法、特殊圖象法等方法的應用，以及數學抽象、邏輯推理、數學運算等相關的數學核心素養的培養.Z