創新解題方法 培養創新能力
——以一道比較大小的選擇壓軸題為例

操厚亮

湖北隨州二中

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出“四能”,即發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力的總目標.數學中的創新往往始于問題，發現問題是創新的基礎.數學家們常說：發現問題往往比結論更重要.因此，教師應適時、適度引導學生發現、提出一些數學問題，進而分析和解決問題，培養學生的數學學科核心素養和創新能力.

1 試題呈現

A.a

C.a

2 觀察發現問題，不斷創新解法，培養創新能力

2.1 觀察發現1

觀察四個數，不難發現0.1這個數高頻出現，可以嘗試構造函數，自變量x在包含0.1的一個區間內，如果這些函數在該區間內大小關系確定，那么在x=0.1處的函數值大小關系也確定.這體現了數學中的一種共性與個性的關系，一般與特殊的數學思想方法.

解法一：構造函數+放縮法.

故d(0.1)-b(0.1)>d(0)-b(0)=0,即d>b.

f′(x)=ex(cos2x-sin 2x)

=ex(-sin2x-sin 2x+1).

設g(x)=x-sinx,則g′(x)=1-cosx≥0,從而g(x)=x-sinx為增函數.

所以x∈[0,0.1]時，g(x)≥g(0)=0,即x≥sinx.

故f′(x)≥ex(-x2-2x+1)=ex[-(x+1)2+2],當x∈[0,0.1]時f′(x)>0,f(x)=excos2x-1為增函數,有f(x)≥excos20-1=0,從而當x∈[0,0.1]時,y=b(x)-c(x)為增函數.

故b(0.1)-c(0.1)>b(0)-c(0)=0,即b>c.

綜上，d>b>c>a.

2.2 觀察發現2

由解法一不難發現，上述構造的這些函數是常見的函數，借助圖象，觀察圖象的上下關系進而比較數值間的大小關系，優化解法一則得下面的解法二.

解法二：圖象+構造函數+放縮法.

圖1

設f(x)=sinx-(ex-1)cosx，則

f(0)=0，f′(x)=(ex-1)(sinx-cosx).

于是tanx

故a

2.3 觀察發現3

由解法二不難發現，這些構造的函數圖象比較相似，接近冪函數在區間(0，1)上的圖象，由此聯想泰勒展公式的功能，可以借助泰勒展開式來估算.

推薦理由:本書輯錄了著名經濟學家厲以寧從中國改革開放至今的40篇代表性論文，篇目由厲以寧先生親自審定。內容主要涉及中國經濟體制改革，中國在經濟發展過程中的探索與創新，中國經濟的機遇與挑戰，中國的農業、工業改革，以及與經濟發展密切相關的教育、管理等方面的見解。這些文章都是厲以寧對中國經濟發展時期的精辟論斷，是他對中國經濟自改革開放以來40年的不間斷思考與研究精華，對中國今后的經濟改革與發展具有重要的啟示意義。

評：本題還可以用[2,2]階帕德逼近來比較大小，但帕德逼近相對泰勒展開式來講是一種精度更高的分式函數逼近，此處略去.有興趣的讀者可自行研究.

2.4 觀察發現4

繼續觀察構造的這些函數的圖象，不難發現，這些函數在0處的函數值均相同，不同的是其增長速度快慢有別.那么通過增長速度的快慢比較大小是一種創新的解法，到此完美突破難點.

解法四：研究函數在x=0處的增長速度，通過增長速度快慢比大小.

設g(x)=ex-1，則b=g(0.1).

設h(x)=tanx，則c=h(0.1).

又f(0)=g(0)=h(0)=k(0),

所以d最大.

又f″(0)≤h″(0)≤g″(0)，所以a

綜上可知，d>b>c>a.

3 鞏固提高

A.a

C.c

A.a

C.c

C.x>yD.2ex>y

答案：(1)C； (2)B； (3)D.

4 結束語

眾所周知，比較大小的試題每年高考都有出現，尤其是近兩年，精度越來越高，難度越來越大，方法越來越靈活多樣.作差、作商、插值，以及簡單的構造函數利用單調性比較已經不能解決變化著的新問題.如何快速突破此類問題刻不容緩，必備基本功除了不等式的性質、基本不等式，還需要熟悉常見的不等式，如，糖水不等式、對數糖水不等式、泰勒展開式(函數不等式：切線放縮、曲線放縮等)，了解帕德逼近等知識.對本道題而言，容易想到的方法是構造函數作差求最值比較大小，體現了一般到特殊的思想方法，對用導數的方法研究最值和計算求解能力要求較高，而用泰勒展開式和帕德逼近來估算的話，思維降維了，但站位較高，這些都是高等數學里的知識.但通過函數在某點處的增長速度來比較大小確實是一種創新解法，學生易接受.

在函數與導數教學與學習的過程中，對一些難題，應微專題分析，引導學生觀察發現問題，不斷創新解題方法，進而培養學生的探究與創新精神.Z