冪指對大小比較四妙招

邱紅英 吳海軍

江蘇省鎮江市丹徒高級中學

1 妙招一：引入媒介，巧取中間值

A.a

C.b

故選：A.

2 妙招二： 構造函數，單調性比大小

A.a

C.c

解析：設f(x)=ln(1+x)-x(x>-1).

當x∈(-1,0)時，f′(x)>0；

當x∈(0,+∞)時，f′(x)<0.

所以，函數f(x)=ln(1+x)-x在(-1,0)上單調遞增，在(0,+∞)上單調遞減.

設g(x)=xex+ln(1-x)(0

令h(x)=ex(x2-1)+1，0

所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln 0.9.

所以a>c.

故選：C.

A.a

C.b

解析：由a=2ln 1.01=ln 1.0201，b=ln 1.02，可得a>b.

于是g(t)=2ln(t2+3)-t+1-2ln 4，則

g(t)>g(1)=2ln 4-1+1-2ln 4=0.

故f(x)>0，可得a>c.

故選：B.

方法提煉：本組題目難度較大，關鍵在于將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小.這樣的問題，憑借近似估值計算往往是無法解決的.

3 妙招三：數形結合，交點定大小

例4a，b，c依次表示函數f(x)=2x+x-2，g(x)=3x+x-2，h(x)=lnx+x-2的零點，則a，b，c的大小順序為( ).

A.c

C.a

解法2：幾何法.因為a，b，c分別是函數f(x)=2x+x-2，g(x)=3x+x-2，h(x)=lnx+x-2的零點.所以a，b，c分別是函數f1(x)=2x，g1(x)=3x，h1(x)=lnx與m(x)=-x+2圖象交點的橫坐標.由圖1可得b

圖1

方法提煉：指數、對數型超越函數零點大小的比較，利用轉化與化歸、函數與方程、數形結合思想，將零點問題轉化為函數圖象的交點問題，通過作圖進行大小比較.這種幾何法的解題速度比較快.

4 妙招四：應考絕招，代值求大小

例5已知a=log0.20.02,b=log660,c=ln 6，則下列選項正確的是( ).

A.b

C.c

解法1：由a=log0.20.02=1-log0.210=1+log510，b=log660=1+log610>1+log66=2，及log510>log610,得a>b>2.又c=ln 6

解法2：：代值近似計算.

方法提煉：我們在題目中常見含有ln 2,ln 3,ln 5等值的大小比較問題，有時還是單選壓軸題，如果能記住常見的這些對數值，就可以獨辟蹊徑，很快得出結論.

常用必備對數值有：

ln 2≈0.70，ln 3≈1.10，ln π≈1.14，ln 5≈1.60，ln 6≈1.80，ln 7≈1.95.

5 方法總結

由以上各例可知，指、對、冪大小比較的常用方法有：

(1)底數相同，指數不同時，如ax1和ax2，利用指數函數y=ax的單調性比較大小.

(3)底數相同，真數不同時，如logax1和logax2，利用對數函數y=logax的單調性比較大小.

(4)底數、指數、真數都不同時，尋找中間變量0，1或者其他能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.

(5)轉化為兩函數圖象交點的橫坐標.

(6)估算法.

常用對數值有：

ln 2≈0.70；

ln 3≈1.10；

ln π≈1.14；

ln 6=ln 2+ln 3≈1.80；

希望大家在實際應用時靈活應變，選擇最佳途徑以達到事半功倍的效果.Z