用數(shù)學(xué)抽象解高考試題
——以2022全國新高考Ⅰ卷第7題為例

王光華 孟 泰

江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學(xué) 江蘇省泗洪縣第一高級中學(xué)

2022年高考數(shù)學(xué)全國新高考Ⅰ卷普遍認(rèn)為是最難的.而選擇題第7題又是這份試卷難題的代表.

A.a

C.c

1 題目的高等數(shù)學(xué)背景分析

其實(shí)這道題并不難，我們只要在計(jì)算器上分別算出a，b，c的值就一見分曉，大小立見.

本題也可以利用泰勒展開式估算其大小，但屬于高等數(shù)學(xué)范疇，普通高中不作要求，有的同學(xué)估計(jì)沒學(xué).因而我們必須另辟蹊徑，尋找適合高中 生的解題辦法.

2 解題的一般化思路理解

先看下面這個(gè)問題：

4×34+1是合數(shù)嗎？ 經(jīng)計(jì)算，4×34+1=325，再對325進(jìn)行分解，325=25×13，所以4×34+1是合數(shù).如果將3改為2 022，那么4×2 0224+1為合數(shù)嗎？很顯然，運(yùn)用上述方法，運(yùn)算量大，分解有難度.

因此要換一種思路，這個(gè)思路就是抽象.我們將數(shù)字3，2 022等數(shù)抽象為字母m(m>1，m∈N)，問題就抽象為“4m4+1是合數(shù)嗎”.此時(shí)我們很容易想到數(shù)學(xué)上處理代數(shù)式的“因式分解”.

事實(shí)上，4m4+1=4m4+4m2+1-4m2=(2m2+1)2-4m2=(2m2+1+2m)(2m2+1-2m).

因而4m4+1為合數(shù).此時(shí)只要令m=2 022，就知道4×2 0224+1為合數(shù).

這就是抽象的神奇之處[1]！

在這里，我們先將特殊的數(shù)式抽象為具有一般性的代數(shù)式，通過模式識別，運(yùn)用多項(xiàng)式的理論——因式分解，從而解決了這個(gè)“4×2 0224+1為合數(shù)嗎？”

現(xiàn)實(shí)世界有很多具體的、特殊的問題.我們就要把它們抽象成一般性的數(shù)學(xué)問題，然后通過模型識別，尋找解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，從而解決具體的、特殊問題[2].具體思維策略如圖1所示：

圖1 思維策略

例如：周期現(xiàn)象通過抽象，可以用三角模型解決；隨機(jī)現(xiàn)象通過抽象，可以用概率統(tǒng)計(jì)解決；大小現(xiàn)象通過抽象，可以用函數(shù)性質(zhì)解決.

3 基于數(shù)學(xué)抽象策略的問題解決

將0.1記為x(抽象)，構(gòu)造函數(shù)：

此時(shí)可以通過研究上述三個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，這是高中常用的方法.

(1)先研究a與b的大小

令u(x)=ex(1-x)2-1，求導(dǎo),可得u′(x)=ex·(x2-1).當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，u′(x)=ex(x2-1)<0，則u(x)=ex(1-x)2-1在(0,1)單調(diào)遞減.

(2)再研究a與c的大小

令m(x)=xex-[-ln(1-x)]=xex+ln(1-x)，x∈(0,1),則

其分母恒大于零，只需判斷分子符號，因此構(gòu)建函數(shù)v(x)=(1-x2)ex-1，x∈(0,1).

所以v′(x)=(1-2x-x2)ex>0 在(0,0.25) 上恒成立.

(關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)區(qū)間來卡0.1即可.)

于是v(x)在區(qū)間(0,0.25) 上單調(diào)遞增.

所以v(x)=(1-x2)ex-1>v(0)=0，

對?x∈(0,0.25)恒成立.

所以m(x)=在(0，0.25)上單調(diào)遞增,從而m(0.1)>m(0)=0,即0.1e0.1>-ln 0.9.故a>c.結(jié)合ac,可知c

4 解題過程的再優(yōu)化

數(shù)學(xué)解題追求大道至簡，能否將解題過程簡化呢？我們還可以優(yōu)化以上解題過程.

由于這兩個(gè)函數(shù)解析式的分子相同，因此只要比較分母大小.根據(jù)指數(shù)切線不等式ex≥x+1,有e-x≥-x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立，記x∈(0,1).

再考察b，c的大小關(guān)系.

對于x=0.1，則h(0.1)

a與c的大小同上，不難看到其運(yùn)算量較大，能否將a與c的大小比較進(jìn)行優(yōu)化呢？

構(gòu)造函數(shù)優(yōu)化2：利用指數(shù)切線不等式ex≥x+1，有e0.1>0.1+1=1.1.

所以a=0.1e0.1>0.1×1.1=0.11.

而c=-ln 0.9如何處理呢？

因此，c=-ln 0.9<0.11

綜上c

5 思路方法的課本尋根

我們再向教材尋根：通過所給具體數(shù)值的特征，抽象出一般性的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)比較具體數(shù)值的大小，這在教材中是常見的.例如蘇教版必修一第145頁的例2.

比較log23.4與log23.8的大小.

解：考察對數(shù)函數(shù)y=log2x.

因?yàn)?>1,所以y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù).

又因?yàn)?<3.4<3.8,所以log23.4

從教材給出的例題可以看到，根據(jù)所給數(shù)據(jù)的特征，找出他們的共性特征(同底數(shù)、同指數(shù)、同真數(shù)等)，找出他們的相異特征(底數(shù)不同、指數(shù)不同、真數(shù)不同等)，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較所給數(shù)據(jù)的大小.

那么數(shù)的大小比較問題是否一定運(yùn)用上述思維策略，即先通過數(shù)學(xué)抽象，再尋找數(shù)學(xué)模型來解決呢？

上述高考題的分析，其具體思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

綜上，思路一通過計(jì)算比較大小，雖然思路簡單，但受高考及能力限制，不是行之有效.而思路二則是通過觀察特殊數(shù)的特征抽象出一般意義的函數(shù)，利用模型函數(shù)的單調(diào)性，從而解決了數(shù)的大小比較問題.

A.c>a>bB.a>c>b

C.a>b>cD.c>b>a

思路分析:通過觀察三個(gè)數(shù)的特征，統(tǒng)一形式為

又g′(x)=-lnx<0恒成立，所以g(x)在[4，9]上單調(diào)遞減，從而g(x)

故a>c>b，答案選:A.

再例如2021年全國卷乙卷理科第12題：

A.a

C.b

思路分析:從三個(gè)數(shù)字特征來看，不妨將0.01抽象成變量x，則

a=2ln 1.01=2ln(1+0.01)→2ln(1+x)，

b=ln 1.02→ln(1+2x)，

所以由g(t)>g(1)=2ln 4-1+2ln 4=0.

因此f(x)>0，可得a>c.

于是h(x)<0，即c>b，從而a>c>b.故選：B.

基于2022年高考試題特點(diǎn)，可以看出數(shù)學(xué)抽象是高考必考查的核心素養(yǎng)，為此在平時(shí)學(xué)習(xí)中我們要：

學(xué)會用抽象的眼光觀察數(shù)學(xué)，

學(xué)會用抽象的思維思考數(shù)學(xué)，

學(xué)會用抽象的語言表達(dá)數(shù)學(xué).