Jupyter交互式平臺在結構化學教學中的應用
——以“單電子原子薛定諤方程”為例

張浩，闞子規，林子涵，錢雨晨，司承運，錢海

中國藥科大學理學院，南京 211198

結構化學是從微觀角度認識化學規律的學科，其以電子因素和空間因素兩條主線闡明原子、分子和晶體的結構、性能和應用，基本原理和方法廣泛應用于化學、材料、醫藥等科學領域[1]。以量子力學、群論和晶體學等相關數學物理理論為基礎的知識體系能夠很好地引導學生突破經驗表象逐步認識化學本質，培養化學科學思維[2]，但也對教師和學生的數理基礎、邏輯思維及空間想象力提出了較高的要求。這其中量子力學基礎部分尤為突出，例如單電子原子薛定諤方程求解過程涉及到大量數學演算和推導過程，另外由解析解獲得量子數、能量、角度分布、概率密度等函數圖像也極為抽象，難以理解。傳統教學多以數學演算板書推導和波函數圖像PPT演示相結合的形式，教學過程中學生往往被動接受理論知識，參與度低、互動性差、缺乏趣味性，產生畏難情緒。

隨著互聯網及計算機信息技術的發展，在課堂上使用慕課、微課、翻轉課堂等教學互動平臺變得越來越容易。南開大學孫宏偉教授建設結構化學課程網站[2]，課程資源素材豐富且共享自由下載。這些互動平臺不僅提供了強大的圖形化、可視化工具調試不同參數下的結果，還能夠進行科學計算和解析復雜的函數問題，使得學生不再單一枯燥地面對靜態的書本知識。我們嘗試在結構化學教學中引入一款基于Web瀏覽器的開源交互式在線應用Jupyter[3]，它簡單易學，允許用戶把所有的說明性文字、數學公式、代碼和可視化內容結合在一個可輕松共享的IPython Notebook文檔(ipynb)里，不僅在數據分析、機器學習等領域得到廣泛應用，而且在教育教學實踐中顯示了良好效果[4–7]。

1 Jupyter的使用優點

Jupyter非常重要的概念是其單元格(Cell)模式，其中Markdown單元格用于記錄敘述性文檔可以展示相關理論概念等(見圖1)，Code單元格能進行編碼并同步顯示結果實現科學計算及可視化模擬等功能。每個單元格能夠獨立運行使得調試變得容易，局部錯誤不會影響整個文檔；也允許從其他ipynb中直接組合并且以模塊化形式更新。Jupyter及其應用插件是免費共享普及的，使得其制作的ipynb文檔資源豐富，為不同層次的課程提供借鑒和參考。此外，Jupyter平臺有多樣化的版本，主要包括輕量化的Jupyter Notebook、功能多樣的工作臺式Jupyter Lab以及網絡化部署Jupyter Hub等，教師根據教學需要選擇適用的版本。結構化學的教學內容包含了大量理論介紹、數學公式推導、結構模擬、函數圖像等，Jupyter能輕松地將這些內容整合到同一ipynb文件中。類似于使用PPT教學，國外很多教師制作ipynb用于化學教學活動[5–7]。

圖1 包含Markdown單元格和Code單元格的Jupyter頁面截圖

2 教學實踐

我們將以“單電子原子薛定諤方程及其解”為例從理論知識演示、波函數推導、電子云分布可視化三個方面充分展示Jupyter交互式平臺在結構化學教學實踐中的應用及優勢。

2.1 理論知識演示

核外只有一個電子的原子稱為單電子原子，如H原子和He+，Li2+等類氫原子，其結構簡單，薛定諤方程可以嚴格求解，但求解過程也非常復雜，包括笛卡爾坐標到球極坐標變換、變數分離、偏微分方程求解、量子力學基本假設條件判斷、波函數歸一化、復數解實數解變換等。當然該部分教學重點是波函數解析解的物理意義及其描述狀態的性質，大多數專業的課程要求并不需要嚴格推導求解過程而是主要介紹其解析思路，例如Laplace算符球極坐標表示，R方程和Θ方程求解過程都是推薦學生閱讀相關量子力學專著[1]。然而量子力學中許多新概念、新方法、新原理是和經典物理學完全不同的，教學內容的簡化雖然使學生專注于波函數性質的理解，但也讓學生一知半解，對很多推導過程感到困惑[8]。

針對這一系列問題，我們可以利用Jupyter Lab中的ipydrawio插件繪制流程圖將教學知識點簡明扼要地呈現出來(見圖2)。專業化流程圖設計應用drawio具有豐富的圖形構件，能夠清晰地展現單電子原子薛定諤方程的求解過程，幫助學生理清思路進而高效地講授該內容(見補充材料S1)。Jupyter的單元格中支持Markdown標記語言編輯敘述性文檔，且其語法簡單易學，不需要對格式進行編輯即可輸出美觀大方的文檔用于理論概念的闡述。傳統結構化學課程中數學公式繁多，PPT編輯工作量巨大；Jupyter支持LaTex數學符號輸入，非常便于教學過程中相關數學物理理論的介紹與推演。Jupyter還能通過RISE插件以PPT形式進行課堂演示講授，圖2為RISE呈現的類PPT效果截屏。當然相對于PPT豐富的模板和所見即所得的操作，Jupyter的顯示效果還相對單一，特別對一些圖片、視頻及動畫演示的處理還不夠好。筆者通常是將現有的PPT批量地轉為png位圖Base64編碼嵌入到Markdown單元格中，是一種不錯的替代方式。相信在不久的將來Jupyter自由共享的特性能夠推出功能更加強大的類PPT插件用于課程教學講演。

圖2 單電子原子薛定諤方程求解思路的類PPT頁面截圖

2.2 波函數推導

“大部分物理學和全部化學的定律之數學基礎，我們已完全了解，而唯一的困難僅僅是正確應用這些定律時所導出的方程，解起來太困難。”這是著名量子力學奠基者P. A. M. Dirac的句子。有趣的是計算化學家J. A. Pople在獲得諾貝爾化學獎時也同樣提到這段話[9]。由此可見數學公式推導及運算在量子力學中的重要性及困難程度，而這正是很多學生在學習結構化學過程中的“攔路虎”。

Jupyter脫胎于IPython Notebook，它能夠使用Python語言編程處理數學運算并能夠同步地將處理結果用MathJax渲染顯示(見圖3)。我們可以借助Python中的科學計算程序庫SymPy、SciPy等進行量子力學相關的公式推導和科學運算[10]。例如，常微分方程(ODE)的Φ方程的解析相對于R方程和Θ方程較為簡單，但是其求解過程也能很好體現波函數單值性、歸一化、態疊加原理等量子力學假設的應用，有助于建立波函數解析的基本思路。傳統上Φ方程的推導大都是根據常系數二階齊次線性方程的通解獲得其復數特解，再根據歐拉公式和態疊加原理進行線性組合獲得實數解。對于我校這類醫藥類相關專業的學生來說復變函數內容還是相對不熟悉，無論是歸一化積分運算還是邊界條件判斷都不太好理解[11]。其實Φ方程復數解的物理意義并不明確因而其推導意義也不大，借助SymPy強大運算能力調用dsolve()函數便可解析常微分方程，并直接獲得實數域通解為三角函數形式(見圖3)。學生早在中學時期就已經掌握三角函數的運算，大大降低了知識點的學習難度。當然我們也可以根據歐拉公式的變形較為簡單地推導獲得復數解，也進一步深化態疊加原理及實數解復數解關系的認識。

圖3 Jupyter中Φ方程推導的實例截圖

更重要的是Jupyter實現的函數化編程思維和數學推演過程是一致的。Code單元格作為科學計算的編程載體(見圖3中In[])能夠同步顯示計算結果(見圖3中Out[])，與作為理論概念介紹載體的Markdown單元格相得益彰，能夠形成很好的交互式學習體驗。通過簡單培訓，學生在Jupyter中既可以同步地學習理論內容和科學計算編碼，還能自主添加Markdown注釋，運行和修改編碼形成自己的ipynb文件。實際教學過程中我們發現很多學生對科學計算編程過程展現了極大的興趣，不但自己逐漸學會了SymPy符號計算編碼，還能夠幫助教師簡化編碼改進計算過程。這一過程的實現需要學生對相關知識內容深入理解才能夠實現，學生獲得了很棒的成就感。筆者也從中收獲頗多，真正地形成“教學相長，師生共進”的教學氛圍。

2.3 波函數和電子云可視化

波函數不但決定電子在空間的概率密度分布，而且還規定了它所描述狀態下微觀體系的各種性質。在結構化學教學中，波函數的性質既是教學的一個重點，也是教學的難點。波函數圖形可以方便直觀地展示波函數性質，進而幫助學生理解微觀粒子運動規律[12]。目前大多數結構化學課程中多是通過專業科學軟件如MATLAB、3DMax、GaussView等實現的，這些軟件多是商業軟件非自由共享而且學習困難操作復雜；相關波函數預先封裝僅由學生簡單機械傳參調用，因而交互性能較差。

Python的SymPy及SciPy庫中內嵌很多數學物理常用函數，比如單電子原子波函數Psi_nlm、徑向波函數R_nl、球諧波函數Ynm，連帶勒讓德多項式assoc_legendre等等。我們可以非常方便的調用，如圖4所示一行代碼就能夠列示出任何高階量子態(n = 6，l = 5，m = 4)的各種波函數。調用內嵌函數時傳遞參數與結構化學的規定有不少差異，使用中應該認真閱讀相應的應用程序編程接口(Application Programming Interface，API)文檔。實際教學過程中教師也可以引導學生閱讀程序庫原碼，既加深了相關波函數性質的理解，還能培養學生的科學編程能力。波函數圖像雖然也能通過SymPy中的繪圖函數plot繪制，但是渲染顯示效果較為粗糙故并不推薦使用，重要地是其交互效果不佳，只能做簡單應用。

圖4 調用SymPy庫中的內嵌波函數實例

Python能夠成為當前最流行的編程語言很大一部分原因就在于其在數據分析和可視化中的強大應用。借助于“Python數據分析四板斧”Matplotlib、NumPy、SciPy、Pandas程序庫，我們能實現單電子原子電子云空間分布的可視化，還能夠從不同角度直觀地揭示各種電子云空間幾率分布的規律，并且編碼可視化非常便于學生通過修改代碼參數交互式分析函數圖像。如圖5所示，通過for循環結構列示出各種量子態下的徑向概率分布曲線對比圖，學生很容易得出原子軌道隨著主量子數增加離核越遠，圖中有(n ? l)個極大值峰和(n ? l ? 1)個節面，主峰位置隨著l增加而向核移近等結論。另外，現有教材通常僅提供了s、p、d、f軌道角度幾率分布圖，由電子能級填充規律可知第一個填充g軌道的元素原子序數應該為 121，因此目前發現的元素沒有占用 g軌道的，其波函數圖像很難找到。如圖6所示僅僅修改角量子數(l = 4)便可預測出g軌道角度幾率分布圖，較容易地總結出g軌道具有節面數等于角量子數l、共9個簡并軌道可容納18電子等特征，有效地擴展學生的知識邊界。對于原子軌道空間分布來說，傳統教材使用較為單一的二維截面等值線圖來表示，而Jupyter可以選用渲染效果更加炫麗的熱力圖來增加課程的趣味性，讓學生搭配色彩多樣的colormap可以自主地體會到科學之美(見圖7)。而且可視化的編碼實現方式多樣，限于篇幅的原因，筆者在補充材料中貼出相應的代碼。借助于Python強大的數據可視化功能，Jupyter能夠靈活地輸出各種各樣的波函數、電子云密度概率分布圖，還能鼓勵學生自主地運用Python數據分析手段獲取單電子原子電子軌道的結構特征，而不是傳統課程中“講授為主”的教學手段，有效地增強課程互動性提高教學效果。

圖5 單電子原子徑向幾率分布圖

圖6 g軌道角度幾率分布圖

圖7 電子云空間分布熱力圖

3 教學反思

是化學課還是編程課？運用Jupyter交互式平臺首先要解決好這一問題。如同PPT一樣Jupyter應當永遠作為傳遞信息流的基本工具。結構化學主要從原子、分子和晶體等微觀結構領域揭示物質結構和性質之間的關系，其概念復雜抽象而且一般學校很難開展微觀實驗進行驗證，這些知識理論難以有效傳達給學生才是我們應用Jupyter這一新興平臺的根本原因。通常結構化學教學內容在本科生和研究生階段均有涉及，我們在教學過程中應該有針對性地講授編碼過程。Jupyter單元格模式能夠讓教師方便地編輯修改內容而不影響整個文檔。對于本科生課程教學，教師可以屏蔽代碼只保留傳參接口便于學生修改數值創建所需要的圖形形成交互體驗；而對于研究生課程則可以鼓勵他們創建不同的編碼和計算過程，編輯自己的ipynb文檔并將其應用于自身的研究工作中。很可喜的是看到學生通過本課程的學習能夠用Matplotlib或Seaborn替代Origin、Graphpad等軟件處理實驗數據，繪制論文圖表。

結構化學已經很難了，竟然還要編程？這是課程開始時不少學生發出的感嘆。其實本校本科生在大一時學習過Python程序設計，Jupyter的應用已經有了前期基礎，課程中教師簡單介紹所應用程序庫的使用即可，而且相關程序庫API非常詳細且方便查閱，表1中列示Jupyter教學平臺中常用的Python程序庫及API文檔網址。作為醫藥背景的高校學生將程序設計應用于專業課程學習的范例還不多，很難應用編程去解決實際問題。而應用Jupyter交互式平臺進行結構化學教學很好地改善了這一困局，能夠讓學生深刻體會程序語言在化學學習及相關科學研究中的應用，深化所學，做到學以致用。在大數據和人工智能飛速發展的今天，大學生也應該了解并掌握編程知識。事實上就學生反饋而言，這樣的教學形式能夠很好地激發學習積極性，培養學生的多學科綜合應用能力，帶來“真香”體驗。當然，在現今教育改革中教學課時被進一步壓縮背景下，結構化學課程中引入Jupyter交互平臺一定程度上帶來教學時間緊張的問題。教師可以提前錄制課程先導視頻并上傳教學資料到在線學習網站，通過“線上線下結合”的方式減少學生對于Jupyter平臺的使用障礙。此外教師還可借助主題研討課、開放實驗等教學形式深化Jupyter交互平臺的學習與應用，有效地解決這一問題。

4 結語

將Jupyter交互平臺應用于結構化學教學中本質上是利用Python編程解決數學推導、抽象概念可視化等結構化學教學中的痛點。當今化學等相關學科的發展早已擺脫了早期定性“練金術”思維，而是強調數理理論引入讓化學有章可循、有理可依，這也是結構化學學科發展的背景。我們可以將Jupyter看成“PPT+科學計算+數據可視化”三合一的綜合平臺，運用其能夠鞏固基本理論和原理并精細地分析典型結構，有效地闡述結構化學中結構決定性質、性質反映結構的基本特點。正如二三十年前PPT替代黑板成為主要教學平臺，結構化學教學應該主動擁抱新興技術手段，有理由相信Jupyter交互平臺能夠在結構化學及相關教學活動中發揮巨大作用。

補充材料：可通過鏈接http://www.dxhx.pku.edu.cn免費下載。