接入弱電網的同型機直驅風電場單機等值建模

李龍源 付瑞清 呂曉琴 王曉茹 段虎昌

接入弱電網的同型機直驅風電場單機等值建模

李龍源 付瑞清 呂曉琴 王曉茹 段虎昌

（西南交通大學電氣工程學院 成都 611756）

目前直驅風電場并弱電網穩定性研究中，風電場普遍采用單機等值，然而對于單機等值的前提條件缺少相關理論支撐。該文基于解析分析提出直驅風電場單機等值的前提條件；給出直驅風電場滿足單機等值的判據；基于風電場各風機參數、出力和集電線路接線完全相同的基礎假設，建立直驅風電場狀態空間模型；應用矩陣相似變換理論解析分析其狀態矩陣的特征根和特征向量；根據判據對單機等值進行論證。進一步地，在比基礎假設更加寬泛的條件下，基于蒙特卡洛法仿真研究了同型機直驅風電場單機等值建模的有效性。為單機等值建模的應用提供了一定的理論支撐。

同型機直驅風電場 弱電網 單機等值建模 前提條件 判據

0 引言

光伏、風電等新能源多經過電力電子變換器接入電網，在接入弱電網時可能會出現寬頻范圍內不穩定的振蕩。因此，在以新能源為主的新型電力系統中，確保新能源并弱電網的穩定運行具有重要意義[1]。

直驅風機采用電壓源變換器（Voltage Source Converter, VSC）接入電網，在并弱電網時出現寬頻帶振蕩的主要原因是其逆變器控制與弱電網的交互作用，根據時間尺度可分為慢交互穩定性問題（10Hz左右）和快交互穩定性問題（100Hz左右及以上）[2]。本文主要研究慢交互穩定性問題。研究表明，直驅風機的鎖相環（Phase Locked Loop, PLL）、直流電壓控制（DC Voltage Control, DVC）、交流電壓控制（AC Voltage Control, AVC）與其相關性較大，而電流控制、甚至于開關控制則由于時間尺度小而基本與之無關[2-3]。當前針對直驅風機并弱電網的穩定性分析工作開展較多，并得到了許多有價值的結論[4-13]。

在研究大規模直驅風電場并弱電網系統的穩定性問題時，建立所有機組的模型會帶來工作量大、計算維數災等問題，需要對其進行等值。現有針對風電場并網系統問題的研究大多以單機無窮大系統為背景，多機系統通常僅考慮相同控制參數、同種類型風電機組的情況[14]。在研究中，通常假設風電場為理想系統，即各機組的參數、出力等均完全相同，且經對稱的集電線路接入電網，進而基于此假設將風電場等效為單機模型[5,14]。

在假設風電場為理想系統的前提條件下，文獻[15-16]將風機與電網接口處的電流放大倍，得到等效風電場模型，相當于直接修改了系統的狀態矩陣；文獻[17]則將風機出線阻抗乘以，得到系統的等效模型。上述研究均將風電場等效為2個子系統，并沒有論證單機等值是否可行。基于參數聚合的單機等值方法簡單明了、易于操作，在風電場等值研究中應用廣泛，以前多用于動態仿真研究[18-20]，近年來也有學者將其應用于次同步振蕩分析[21-22]，但當前該方法的準確性多基于算例進行說明，缺少理論論證。

另外，實際風電場并不是一個理想系統，大部分風電場中僅風機參數相同（即同型機），各機出力和接入的集電線路均不同。此時風電場是否還能進行單機等值仍需要進一步研究。文獻[23]考慮了風電場內的集電線路，但假設各機出力完全相同。

本文的研究思路為，先分析總結直驅風電場能否采用單機等值的判據，根據此判據來論證特殊和一般直驅風電場單機等值的準確性。在風電場為理想系統的前提條件下，采用理論推導的方式進行分析：首先，根據現有研究中對單機等值建模的假設條件，建立相應詳細風電場并網模型，分別從系統的振蕩特性和等值模型特征根兩方面入手，判斷此時單機等值是否滿足判據。進一步將基礎假設條件放松，采用蒙特卡洛仿真的形式對更加寬泛的前提條件下的同型機直驅風電場進行研究，判斷單機等值是否依然滿足要求。

1 直驅風電場單機等值的判據分析

在應用于小擾動穩定分析時，等值模型準確性的判斷標準為等值模型能否保留詳細模型的弱阻尼（或負阻尼）特征根（下文稱為關鍵特征根）。除此之外，根據直驅風機并弱電網的振蕩特性和風電場等值建模的目的，直驅風電場能否采用單機等值建模還需考慮另外兩個要求：①系統必須至多只有一對關鍵特征根；②電網側必須參與系統關鍵特征根。要求①與直驅風機并弱電網系統的振蕩特性有關。現有研究表明，在單臺直驅風機并網系統中，關鍵特征根的數量與電網強度有關：當電網足夠弱時，系統有1對關鍵特征根；而當電網比較弱但沒有足夠弱時，系統所有特征根都較強，關鍵特征根數量為0[4-5,7]。因此，為了確保單機等值模型不會漏掉弱阻尼（或負阻尼）特征根，要求風電場并弱電網系統的關鍵特征根不能大于1對；為了兼顧電網沒有足夠弱的情況，允許系統的關鍵特征根數量為0。要求②與風電場等值建模的目的有關。一般而言，建立等值模型的目的是分析風電場與電網之間的相互作用[5,14]，從而將風電場內部的相互作用忽略。因此，如果電網不參與某一振蕩模式，那么在等值模型中保留該模式則沒有意義。

綜上分析，本文提出接入弱電網的直驅風電場是否滿足單機等值的三條判據如下：①系統至多只有一對關鍵特征根；②電網側狀態變量有參與該振蕩模式；③單機等值模型和詳細模型的關鍵特征根相等（若系統無弱阻尼或負阻尼特征根，則要求最弱的特征根相等）。當前在直驅風電場并弱電網系統的穩定性研究中，大部分學者均直接采用單機等值模型，而未加以判別單機等值是否可用。

本文先通過分析詳細風電場的振蕩特性，判斷是否滿足前兩條判據；再進一步對比等值模型和詳細模型的關鍵特征根來判斷是否滿足第三條判據。

2 直驅風電場并網模型

2.1 直驅風機模型

由于直驅風機的次同步振蕩主要與網側變流器及其控制相關，因此本文采用的直驅風機模型忽略其機側部分并將其等值為功率源，僅考慮網側變流器及其控制部分，并根據大部分研究與風機實際情況[4-7]將其建模為如圖1所示的兩電平VSC。建立風機的線性化模型，包括PLL（2階）、DVC（2階）、AVC（1階）、電流控制（4階）。

圖1 直驅風機模型

已有文獻推導出直驅風機小信號模型[6-7]，本文不再贅述，此處只給出其狀態空間形式的模型，即

2.2 直驅風電場并網系統模型

在現有研究中常用單機等值模型對風電場進行建模，常將風電場假設為理想情況，即各風機的參數和出力完全相同，且集電線路接線對稱[5,14]。本節基于該基礎假設建立相應詳細風電場并網模型。

假設風電場有臺機經公共母線接入電網，如圖2所示。其中各機接線對稱，即t1=t2=…=tn=t，機端母線上的接地電容t1=t2=…=tn=t；為了在建模時讓各支路的電流互相獨立[24]，電容t和g均為一極小值。

圖2 系統接線圖

針對如圖2所示的風電場，建立系統的狀態空間模型為

其中

3 系統振蕩特性分析

本節將研究直驅風電場在基礎假設的前提條件下接入弱電網時的振蕩特性，分析其是否滿足單機等值的前兩個判據。

3.1 振蕩模式和模態

對式（2）中狀態矩陣sys進行相似變換，得

其中

將矩陣systf按式（3）進行分塊，顯然左上角的前-1個方陣與右下角的方陣互相獨立。

設矩陣systf的特征根和右特征向量分別為和，也都分為個子塊，形式為

則系統的狀態矩陣sys的特征根和右特征向量分別為和，即

物理上會將一對共軛復根稱為一個振蕩模式，將其相應的右特征向量稱為振蕩模態，系統的右特征向量反映了在狀態變量上觀察相應振蕩模式的相對幅值和相位，其模值越大，則可觀性越強[24]。

從特征根來看（見式（5）），系統有-1組重特征根1,1和1組非重特征根,n，分別對應于式（3）中矩陣systf的個子塊。

從振蕩模態來看，系統的1組非重特征根對應的右特征向量（式（7）的最后一列）有如下特點：①前行相同，均為cΦ,n，這表明各機側狀態變量的模態相同；②第+1行不為0，表明該模式在風機側和電網側均可觀。類比于軸系扭振，本文將該模式稱為共模。

系統的-1組重特征根對應的右特征向量（式（7）的前-1列）有如下特點：①-1組特征向量之間線性無關[25]，各特征向量之間的線性組合依然為其特征向量；②第+1行為0，且前行之和為0，表明該模式在電網側不可觀，表現為各機之間互相振蕩。類比于軸系扭振，本文將該模式稱為異模。特別地，當=2時，特征向量如式（8），兩機的異模模態恰好相位相反。

3.2 響應特性

本節主要研究何種擾動能激發系統的共模和異模。

考慮輸入變量后，系統狀態方程變為

可求得其狀態變量在復頻域下的解如式（10），第1項為異模的響應，第2、3項為共模的響應。

式中

式中，為與同階單位陣。

3.3 共模和異模的比較

根據式（3）可知，矩陣systf可以分為個獨立的子塊，因此該系統可以等效為個互相獨立的子系統。

針對前-1個相同的子塊MM，觀察其構成可以發現，其等效系統如圖3所示，為原系統（見圖2）中各機對稱的部分。

圖3 前n-1個相同子塊的等效系統

針對第個子塊，令=1，將其取出，記為

將其進行相似變換，得

顯然，矩陣systf,n和systf,eq相似，二者有相同的特征根。

以systf,eq為狀態矩陣的系統如圖4a所示，相應地等效參數為

前文所述，母線對地電容為一極小值，是為了使所有連接母線的線路狀態變量之間互相獨立而引入，對系統的特征根基本沒影響。因此，系統進一步等效成如圖4b的形式。需要注意的是，只有接入無窮大電網時，第個子塊的等效系統才成立，否則電網的各設備也需要進行等效。

綜上所述，當各機接入無窮大電網時，系統可以等效為個單機系統：其中1個為單機接入阻抗為t+g的無窮大電網，該系統特征根對應1組共模；剩余-1個為單機接入阻抗為t的無窮大電網，該系統特征根對應-1組異模。

進而有如下結論：保持阻抗t+g不變而單獨改變t或g的值，系統的共模不變。在保持阻抗t+g不變的前提下，隨著公共線路的阻抗g減小，系統異模逐漸靠近共模；當各機完全解耦（即g=0）時，系統異模與共模重合；當各機完全耦合（即t=0）時，系統異模與各機自身模式重合。

大量研究表明，在基于鎖相環控制的電力電子設備并網的穩定問題中，電網越強穩定性越高[1-2,26]。本文所研究的直驅風機并網系統在參數正常的情況下也得到這樣的結論。根據前文所得到的子系統可知，共模對應的電網阻抗t+g永遠大于異模對應的電網阻抗t，故而共模的穩定性永遠比異模的穩定性更差，即在復平面上最弱的共模永遠比最弱的異模更靠右。因此，在研究中只需關注共模即可，特別是共模中最弱的那個模式，只要共模穩定，系統必然穩定。

綜上所述，系統最弱的模式一定是共模，關鍵特征根至多只有1對，即最弱的共模模式；電網側只對共模有較大參與度，且任意側的擾動都會激發共模。可以看出，在基礎假設的前提條件下，接入弱電網的直驅風電場滿足單機等值的前兩個判據，在等值時只需保證共模相同即可。

4 直驅風電場單機等值準確性證明

本節將研究直驅風電場在基礎假設的前提條件下，是否滿足單機等值的第③個判據，即關鍵特征根是否相等。

對風電場進行單機等值后，風電場接線圖如圖5所示。

圖5 單機等值后的風電場接線圖

基于聚合的方式[18-22]得到等值風電場的各參數是一種常用方法，穩態參數和動態參數分別為

式中，p1和i1為直流電壓控制的PI參數；p2和i2為交流電壓控制的PI參數；dc為直流電容；p3、i3、p4、i4分別為d軸和q軸電流控制的PI參數；f為濾波電感；pP和iP為鎖相環的PI參數；dc0為直流電容電壓；t、t分別為有功功率和無功功率；t、t分別為線路電感和母線對地電容；下標eq表示等值機。

將等值機參數代入其狀態空間方程，得到其狀態空間模型為

式中，ΔWeq、ΔV、ΔWeq分別為等值機的狀態變量、由機端電壓組成的輸入變量、由輸出電流組成的輸出變量；矩陣WWeq、WVeq、Weq分別為狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣。

令

則式（17）中的狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣可分別寫為

針對圖5所示的單機等值的風電場，其系統的狀態空間模型為

其中

根據前文，風機與機端母線電壓之間的互矩陣在等值前后的關系為

因此，單機等值系統的狀態矩陣可寫為

矩陣sys,de的特征根即為詳細風電場并網系統的共模。

根據矩陣sys,eq和sys,de的形式，可知

其中

式中，為實變換矩陣；為單位陣，階數與sys,de中相同下標的子塊相同。

由式（23）可知，矩陣sys,de和sys,eq相似，故二者有相同的特征根[25]。

因此，等值模型的特征根與詳細模型的共模完全相同，等值模型可以準確表征詳細風電場的振蕩特性。此時，在基礎假設的前提條件下，直驅風電場滿足單機等值的第三個判據。

5 算例

5.1 系統振蕩特性分析

系統包括三臺直驅風機，采用如圖2所示的接線形式，主要電路參數見附錄。

采用特征根分析法對該系統進行分析，系統在次同步范圍內的特征根如圖6所示。需注意的是，圖6中圓點處為兩個相同的根，在圖上重疊在一起。分析可知，共模均為非重特征根，即1,2和7,8；異模均為兩重特征根，即3,4,5,6和9,10,11,12。

圖6 系統振蕩模式

分別給出共模1,2和異模3,4,5,6的振蕩模態圖如圖7所示，每個箭頭為該狀態變量對相應振蕩模式的右特征向量，根據前文所述，右特征向量幅值越大則可觀性越大。在異模的振蕩模態中可以看出，電網側狀態變量的右特征向量均為0，即電網側狀態變量對異模完全不可觀；而非0的右特征向量均屬于風機側狀態變量，故風機側狀態變量對異模有較大可觀性。因此，只有風機會參與異模的振蕩。而在共模的振蕩模態中可以看出，風機側和電網側狀態變量的右特征向量均不為0，二者均對共模可觀，風機和電網均會參與共模的振蕩。

圖7 系統共模和異模的振蕩模態

保持g+3t不變，逐漸減小g，得到系統特征根的變化軌跡如圖8所示，系統的共模保持不變，異模則逐漸向共模靠攏，直到g=0時二者重合（圖8中最后一組特征根）。可以看出，共模中最弱的模式1,2就是系統最弱的模式。

從算例中可以看出，系統只有一對關鍵特征根，即共模1,2，而且電網側對其有較高參與度，滿足了單機等值的前兩個判據，可以進行單機等值。

圖8 隨Lg變小特征根軌跡

5.2 等值模型準確性驗證

采用和5.1節相同的三機系統，分別得到詳細模型和等值模型，二者的振蕩模式如圖9所示。與圖6對照可知，等值模型的特征根與詳細模型的共模完全重合，能準確反映系統的最弱振蕩模式。滿足了單機等值的第三個判據。

圖9 振蕩模式比較

除了基于小信號模型的驗證之外，本節同樣在在PSCAD上基于電磁暫態的時域仿真進行了驗證。通過設置擾動以激發出系統振蕩模式，然后觀察等值前后的時域仿真曲線是否具有較高的吻合度，以此來判斷等值效果。

仿真采用與圖9相同的三機系統，以電網電壓跌落的小擾動形式來激發系統振蕩模式[21-22]，具體為：在0.1s時電網母線電壓由690V跌落5%，持續0.02s后恢復。仿真曲線如圖10所示，無論從風電場功率還是風機直流電壓，均可以看出等值模型與詳細模型均比較接近，等值模型能反映系統的振蕩模式。

圖10 時域仿真曲線比較

6 一般同型機風電場的單機等值

大部分實際風電場中的風機僅參數相同（即同型機），出力和接入的集電線路均不同，為非理想系統，難以通過解析的方法進行分析。因此，本節利用蒙特卡洛仿真的方法來研究更加寬泛條件下的一般同型機直驅風電場，重點分析在各風機參數相同、出力和集電線路接線均不同的前提條件下，直驅風電場是否滿足單機等值的三個判據。

6.1 系統振蕩特性分析

根據前文對理想系統振蕩特性的分析可知，機系統存在1組共模和-1組異模，電網只參與系統共模模式。本節即研究系統是否與理想系統有類似的振蕩性質，以確定其是否滿足單機等值的前兩個判據。

6.1.1 振蕩模式分析

本節以一個實際風電場為對象進行研究，其中含=66臺機，有6條集電線路將各機匯流，然后風電場接入一個弱電網。風電場內集電系統參數采用實際參數，而風機的參數和出力均隨機生成，包括各機的出力、DVC的帶寬和阻尼、PLL的帶寬和阻尼、AVC的PI控制參數，各參數的上、下限見表1。共生成=2 000組樣本，每個樣本中，各機的參數相同，但出力不同。

表1 各風機參數上下限

Tab.1 Upper and lower limits of PMSG parameters

計算各樣本的特征根。對每個樣本的特征根進行聚類分析，發現每個樣本都會分成兩個只有1對特征根的群和兩個有65對特征根的群，分別對應了共模和異模。而且在每個樣本中，最弱特征根總是為共模。一個典型的特征根分布如圖11所示，可以看出，系統包含1組共模和65組異模，且關鍵特征根為共模中最弱的模式，與前文中理想系統的分析一致。此時，風電場滿足單機等值的第一個判據。

圖11 一種典型的特征根分布

6.1.2 電網參與程度分析

基于參與因子，定義風電場或電網對特征根的相對參與度，分別為風電場或電網內所有狀態變量對特征根的參與因子之和在全部狀態變量的參與因子之和中的占比[27]，即

計算電網和風電場分別對共模和異模的參與度，對6.1.1節所有樣本進行統計分析，風電場和電網相對參與的平均值見表2。可以看出，電網只對共模有較高參與度，而幾乎不參與異模。此時，風電場滿足單機等值的第二個判據。

表2 風電場和電網相對參與的平均值

Tab.2 Average values of relative participations of wind farm and grid

上述仿真設置中系統運行在很弱的工況下，使得大部分樣本為小擾動失穩狀態，因此，本文也研究了直驅風電場并弱電網系統在穩定運行時的振蕩特性。同樣采用蒙特卡洛仿真的方法進行研究，抽樣、計算和分析與前文類似，不同之處在于各樣本均處于穩定運行狀態。分析結果表明，系統包含1組共模和65組異模，電網只對共模有較高參與度。結論與前述分析一致。

綜上所述，更加寬泛條件下的一般同型機風電場中，其接入弱電網時的振蕩特性與理想系統相似：系統擁有1組共模和-1組異模，系統最弱的振蕩模式是共模中最弱的模式；關鍵特征根至多只有1對，即最弱的共模模式；電網側只對共模有較大參與度，幾乎完全不參與異模，即電網對關鍵特征根有較大參與度。

可以看出，一般的同型機直驅風電場也滿足單機等值的前兩個判據，在等值時只需保證關鍵特征根相同即可。

6.2 單機等值準確性分析

6.2.1 基于蒙特卡洛方法的分析

等值準確性的判斷標準為等值前后系統關鍵特征根能否保持一致。單機等值模型中風機的動態參數如式（15）所示，等值機的出力為各機之和，等值集電網絡采用恒電壓差的方法進行等值，具體可見文獻[20]。

本節依然采用蒙特卡洛方法進行研究，針對6.1.1節中抽樣的=2 000組樣本，分別進行單機等值，然后分別計算詳細模型和等值模型的特征根，并比較關鍵特征根的誤差。其中一組典型的樣本的振蕩模式如圖12所示，可以看出，等值模型與詳細模型的共模基本重合。

圖12 振蕩模式比較

統計所有樣本的關鍵特征根誤差，其分布直方圖如圖13所示。可以看出，實部的誤差主要在-1～0.5之間，虛部的誤差主要在-0.5～1之間，誤差均很小，基于參數聚合的單機等值模型可以用來表征詳細模型。

圖13 單機等值模型的關鍵特征根誤差分布直方圖

等值模型與詳細模型的關鍵特征根之間的實部、虛部、頻率、阻尼、幅值和臨界特征根的誤差統計信息見表3。可以發現，幾個指標的誤差比較小，在可接受范圍內。

表3 關鍵特征根誤差比較

Tab.3 Comparison of critical eigenvalues error

綜上所述，盡管等值模型和詳細模型的關鍵特征根不相等，但二者之間誤差很小，可以接受。因此，單機等值盡管不嚴格滿足第三條判據，但依然有效。

6.2.2 基于電磁暫態時域仿真的分析

除了基于小信號模型的驗證之外，本節同樣在在PSCAD上基于電磁暫態的時域仿真進行了驗證。由于規模限制，難以仿真66機系統，此處采用一個不對稱的三機系統進行驗證，各機之間只有參數相同，系統主要電路參數見附錄。依然采用電網電壓跌落的小擾動形式來激發系統振蕩模式，形式為：在0.1s時電網母線電壓由690V跌落5%，持續0.02s后恢復。仿真曲線如圖14所示，無論從風電場功率還是風機直流電壓，均可以看出等值模型與詳細模型均相差不大，等值模型可以反映系統的振蕩模式。

圖14 時域仿真曲線比較

7 結論

本文分別基于解析分析和蒙特卡洛仿真，研究了接入弱電網的同型機直驅風電場單機等值建模的前提條件和準確性，得到如下結論：

1）分析提出了直驅風電場滿足單機等值建模的判據，即系統至多只有一對弱阻尼（或負阻尼）特征根，且單機等值模型和詳細模型的該特征根相等，電網側狀態變量有參與該振蕩模式。

2）通過對狀態空間方程中狀態矩陣的解析分析表明：系統最弱的振蕩模式是共模中最弱的模式；電網側和風機側均會參與共模振蕩模式，兩側的擾動都會將其激發；異模振蕩模式只有風機側參與，只會被風機側擾動激發。

3）直驅風電場單機等值成立的前提是各風機參數、出力和集電線路接線完全相同。此時，系統只有一對弱阻尼（或負阻尼）特征根，且在單機等值模型和詳細模型中相等，電網側有較大參與度。因此，單機等值模型可以完全準確地描述風電場的振蕩特性。

4）基于蒙特卡洛仿真，進一步研究了當風電場各風機參數相同、但出力和集電線路接線不同時直驅風電場單機等值的有效性。結果表明，此時系統只有一對弱阻尼（或負阻尼）特征根，電網側有較大參與度。雖然單機等值模型和詳細模型的該特征根不相等，但是特征根很接近。因此，單機等值方法仍然具有較高的準確性。

附 錄

1.狀態矩陣sys

式（2）中矩陣sys的各子塊為

其中各元素定義如下。

矩陣WW為9階方陣，其非零元素為

矩陣WV為9×2階矩陣，其非零元素為

矩陣VW為2×9階矩陣，其非零元素為

其他矩陣為

2.算例中主要電路參數

第5節三機系統電路參數如下。

詳細模型：g=2.25mH，t1=t2=t3=0.075 77mH，t1=t2=t3=1.5MW，無窮大電網電壓690V。

等值模型：g=2.25mH，t,eq=0.025 26mH，t,eq=4.5MW，無窮大電網電壓690V。

第6節三機系統電路參數如下。

詳細模型：g=2.25mH，t1=0.075 77mH，t2=0.074 26mH，t3=0.072 74mH，t1=1.5MW，t2=1.25MW，t3=1.75MW，無窮大電網電壓690V。

等值模型：g=2.25mH，t,eq=0.024 72mH，t,eq=4.5MW，無窮大電網電壓690V。

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Single Machine Equivalent Modeling of Weak Grid Connected Wind Farm with Same Type PMSGs

Li Longyuan Fu Ruiqing Lü Xiaoqin Wang Xiaoru Duan Huchang

（School of Electrical Engineering Southwest Jiaotong University Chengdu 611756 China）

In the current studies on stability of weak grid connected permanent magnet synchronous generator(PMSGs) wind farm, single machine equivalence is generally used for wind farm, and it is usually assumed that the wind farm is an ideal system, that is, the parameters, outputs and collector lines of all PMSGs are identical. However, there is still a lack of related theoretical support for the prerequisites of single machine equivalent modeling for PMSGs wind farm. In addition, in the actual wind farm, only the parameters of PMSGs are identical (that is, the same type), the outputs and collector lines of PMSGs are different, which is a nonideal system. Whether the single machine equivalent modeling is effective remains to be studied. In response to the problems, this paper presents the criterions for the PMSGs wind farm to meet the single machine equivalence and proposes the prerequisites of single machine equivalent modeling. It provides a certain theoretical support for the application of single machine equivalence.

Firstly, three criterions are proposed to determine whether the PMSGs wind farm can be equivalent to a single machine model. There is at most one pair of critical eigenvalues in the system (i.e. weak damping or negative damping eigenvalues). The grid side state variables must participate in this oscillation mode. The critical eigenvalues of single machine equivalent model and detailed model are equal.

Secondly, the oscillation characteristics and single machine equivalent modeling of the ideal system are studied analytically and theoretically. The state space model of weak grid connected PMSGs wind farm is established. The eigenvalues and eigenvectors of the state matrix are analytically analyzed using the matrix similarity transformation theory. It shows that there are one set of in-phase modes and-1 sets of anti-phase modes in an ideal system withPMSGs. The in-phase modes can be excited by both machine and grid sides, while the anti-phase modes can be only excited by machine sides. The weakest oscillation mode must be the in-phase mode under normal conditions. The single machine equivalent model of PMSGs wind farm is obtained based on the aggregation method. The theoretically analysis results show that the eigenvalues of equivalent model are equal to the in-phase mode of detailed model. Therefore, the single machine equivalence of PMSGs wind farm meets the three criterions. The single machine equivalent model can accurately represent the oscillation characteristics of detailed wind farms.

Furthermore, in nonideal system, the Monte Carlo method is used to analyze the oscillation characteristics and single machine equivalent modeling. A total of 2000 groups of samples are generated randomly, where only the parameters of PMSGs are identical in every sample. The cluster analysis of eigenvalues calculated in each sample shows that the distribution of eigenvalues is similar to that in ideal system. There is at most one pair of critical eigenvalues, which meets the first criterion. The relative participation on in-phase modes and anti-phase modes shows that, the grid side only has a high participation on in-phase modes, while nearly no participation on anti-phase modes, which satisfies the second criterion. The comparison of critical eigenvalues between single machine equivalent model and detailed model shows that the errors are very small. Although they do not strictly meet the third criterion, the two critical eigenvalues are approximately equal. Therefore, the single machine equivalence is still effective.

The time-domain simulation results show that the responses of single machine equivalent model are close to that of detailed model. The single machine equivalent model can reflect the oscillation mode, and has high accuracy.

The following conclusions can be drawn: 1) The three criterions are proposed to determine whether the PMSGs wind farm can be equivalent to a single machine model. 2) The prerequisites of single machine equivalent modeling for PMSGs wind farm are the parameters, outputs and collector lines of all PMSGs are identical, which are theoretically proved. 3) The single machine equivalence is still effective, where only the parameters of PMSGs are identical, and the outputs and collector lines are different.

Wind farm with same type permanent magnet synchronous generator(PMSGs), weak grid, single machine equivalent modeling, prerequisites, criterions

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211555

TM712

四川省科技計劃應用基礎研究重點項目資助（2020YJ0252）。

2021-09-29

2021-12-09

李龍源 男，1993年生，博士研究生，研究方向為含新能源的電力系統穩定性分析、風電建模。E-mail：lilongyuan2012@163.com

王曉茹 女，1962年生，博士，教授，博士生導師, 研究方向為電力系統穩定性分析與控制。E-mail：xrwang@home.swjtu.edu.cn（通信作者）

（編輯 赫蕾）