基于保角變換與等效磁路法的永磁直驅發電機氣隙磁場計算

張志弘 韓勤鍇 徐學平 顏益峰 彭 超

基于保角變換與等效磁路法的永磁直驅發電機氣隙磁場計算

張志弘1韓勤鍇2徐學平3顏益峰1彭 超1

（1. 新疆金風科技股份有限公司 烏魯木齊 830026 2. 清華大學機械工程系 北京 100084 3. 北京航空航天大學前沿科學技術創新研究院 北京 100191）

該文開展了負載工況下永磁直驅發電機氣隙磁場研究。基于精確域求解和保角變換，計算考慮齒槽效應的氣隙磁場標量磁勢；采用離散線電流元，定量模擬發電機定轉子局部出現的磁飽和現象；基于考慮幾何尺寸的定轉子非線性磁阻計算方法，建立包含發電機定轉子結構以及氣隙長度的等效磁路，給出相應的迭代求解流程。以實際在役兆瓦級永磁直驅風力發電機為對象，計算考慮齒槽效應的氣隙磁場分布，分析了空載和負載工況下磁飽和效應對氣隙磁場分布曲線波形和諧波成分的影響，并與有限元計算結果對比，驗證了所提出的分析模型和求解方法的有效性。

永磁直驅發電機 氣隙磁場 等效磁路 負載工況 磁飽和 齒槽效應 非線性磁阻

0 引言

由于低速性能好、發電效率高、維護成本低、運行可靠等突出優點，兆瓦級永磁直驅風力發電機是大型陸上及海上風力發電的理想選擇[1-3]。在永磁直驅風力發電機性能分析與優化設計中，準確高效地獲得氣隙磁場分布是重要前提。

盡管有限元法普適性強、計算精度高，但建模和計算時間較長[4]；而計算量小、速度快且物理概念清晰的解析法仍然受到學者的廣泛關注。由于定子開槽導致氣隙磁通密度發生畸變，諧波成分增加，所以基于解析法準確計算氣隙磁通密度變得困難。通過經驗系數的修正，采用傳統磁路法可獲得考慮齒槽效應的氣隙磁通密度最大值[5]。因定子槽形、定轉子軛部尺寸和形狀等參數的影響，修正系數難以準確得到，致使考慮齒槽效應的傳統磁路法計算精度不高[6]。子域法[7-9]將電機域劃分為氣隙、永磁體和齒槽三個子域，通過交界條件建立各個子域的拉普拉斯方程或泊松方程的聯系，進而采用解析法求解。基于保角變換，將齒槽等不規則域變換為規則求解域，利用子域法的解析結果可獲得氣隙磁場分布[10-11]。與傳統磁路法相比，基于保角變換的解析法計算精度較高。但上述方法均難以考慮因鐵磁材料非線性引起的磁飽和效應，因而具有局限性[6]。

磁飽和導致定子齒端部的相對磁導率降低。F.R.Alam和K. Abbaszadeh[12-13]提出一種改進的保角變換，通過增加定子齒槽開口寬度模擬磁飽和效應。因經驗飽和因子的引入，使得該方法的精度不易保證。基于磁路基爾霍夫定律的等效磁路法[14]，是一種用于電機定量分析的方法，可考慮磁飽和效應。但是與有限元法相比，其網格劃分較粗略，雖然計算效率較高，但精度較差。經過S.D.Sudhoff等[15]的不斷改進，等效磁路法的計算精度已有很大提升，且可計及電機精細幾何尺寸、三維空間磁場等復雜因素的影響。目前，等效磁路法已廣泛用于多種形式的永磁電機穩態和瞬態磁場分析中，取得很好的效果。很多學者結合保角變換和等效磁路法，研究了考慮飽和與否對表面永磁電機氣隙磁場分布的影響[6,16-21]。但這些研究主要針對空載工況，針對負載工況的研究則較少[22]。與空載相比，負載工況下的氣隙磁場變化更為明顯，諧波成分更為復雜，磁飽和效應更為顯著。

因此，本文開展負載工況下永磁直驅發電機氣隙磁場研究。基于精確域求解和保角變換，計算考慮齒槽效應的氣隙磁場標量磁勢；采用離散線電流元，定量模擬發電機定轉子局部出現的磁飽和現象；基于考慮幾何尺寸的定轉子非線性磁阻計算方法，建立包含發電機定轉子結構以及氣隙長度的等效磁路，給出相應的迭代求解框架。以實際在役兆瓦級永磁直驅風力發電機為對象，計算考慮齒槽效應的氣隙磁場分布，并與有限元計算結果對比，驗證所提出的分析模型和求解方法。在此基礎上，分析了空載和負載工況下磁飽和效應對氣隙磁場分布曲線波形和諧波成分的影響。

1 氣隙磁場計算模型

1.1 保角變換

典型兆瓦級永磁直驅風力發電機結構如圖1所示，為外轉子結構。徑向磁化的永磁體，粘貼于轉子內徑。磁極對數為，齒槽數為s。2倍磁極對數與齒槽數的最大公約數為g=gcd(2,s)。考慮結構周期性并忽略局部細節尺寸（如定/轉子磁軛的散熱結構），建立永磁發電機對稱分析模型，如圖2所示。其中所考慮的永磁體個數為2g，齒槽數為s/g。

圖1 兆瓦級永磁直驅風力發電機結構

圖2 永磁發電機氣隙磁場分析

暫不計入永磁體和負載繞組對標量磁勢的影響。為了提高計算效率，僅分析定子齒鄰近半個齒槽與氣隙的簡化結構，如圖2b所示。其余氣隙和齒槽區域的解，通過“鏡像對稱”的方式獲得。對于圖2b所示的氣隙結構，在物理坐標系（）下，需要6個頂點來定義。各個頂點的坐標(x,y)為

式中，od、id分別為定子外徑和內徑；tfw、sw分別為定子齒寬度和齒槽寬度；pm為永磁體厚度；為氣隙長度，如圖2a所示。

基于保角變換，可將原物理平面上復雜幾何域映射成像平面上的單位矩形平面、半無限平面等。多數情況下，難以獲得保角變換的解析解，需借助數值方法。本文利用Matlab中的Schwarz–Christoffel保角變換工具包[11]，將包含齒槽的氣隙區域變換為規則的矩形區域，如圖2c所示。矩形的上下兩邊（1-4和2-3）分別為轉子和定子鐵心（磁導率可近似為無窮大），而1-2和3-4則為氣隙邊界。若該矩形區域存在一個離散電流元，坐標為(v,v)。任意一點(,)的標量磁勢可表示為

1.2 離散線電流元

對于徑向磁化的永磁體，其磁場可通過磁體兩側的電流片模擬。電流片可用mms個線電流元離散。在這種情況下，單個電流元的幅值為

式中，Θpm為永磁體的磁動勢；Hc為永磁體的矯頑力。將所分析的永磁體分別采用離散電流元進行等效，離散線電流元模擬永磁體、繞組以及定轉子飽和效應如圖3所示。類似地，采用離散線電流元模擬負載繞組的作用，表示為Iwi（i=1,2,, Qs/Ng）。

1.3 等效磁路

圖4 永磁直驅發電機等效磁路模型

式中，fe為電機軸向長度。對于第1個定子齒，注意到邊界條件為第s/g+1個齒的右半部分的磁勢大小相等，但與第1個齒的左半部分的磁勢符號相反，則有

用于模擬磁阻非線性的線電流與穿過鐵心磁阻的磁動勢相同，可從等效磁路模型中獲得。在已知磁通量的前提下，定子齒線電流可以計算為

式中，Ti為定子齒的非線性磁阻，如圖4所示。根據磁阻的定義，本研究所關注的定子磁阻可表示為

其中

式中，為定子鐵心磁導率，與磁感應強度ΦTi /Sav有關；幾何參數如圖5中所示。

定子鐵心的線電流可表示為

其中非線性定子軛部磁阻為

式中，sy和s分別為定子軛部高度和齒槽節圓跨度。顯然，定子軛部磁阻與磁感應強度也是非線性關系。類似地，轉子軛部的線電流為

式中，ryi為轉子軛部的非線性磁阻，其表達式為

式中，ry和p分別為轉子軛部高度和節圓跨度。

式中，pm為弧形永磁體的跨度；o,pm、i,pm分別為永磁鐵的內徑和外徑；pmi為流經永磁體的磁通量，有

因此，在新的迭代計算步中，需將永磁體模擬線電流更新為

1.4 求解流程

基于保角變換與等效磁路法的永磁直驅發電機氣隙磁場計算流程如圖6所示，步驟如下。

圖6 永磁直驅發電機氣隙磁場求解流程

（1）在給定的初始條件下（包括結構參數、永磁體參數、鐵心磁化曲線等），開展Schwarz-Christoffel保角變換，將包含齒槽的氣隙區域變換至規則的矩形區域。

（2）采用離散線電流元模擬永磁體和負載繞組作用，包括mms、wi，以及定子齒端部、定子鐵心和轉子鐵心的磁飽和效應，包括ti、syi、ryi。

（3）計算規則矩形區域內的標量磁勢，包括A、pmi、ryi等；構建等效磁路模型，計算磁通量源（Ti、syi、ryj等），確定轉/定子非線性磁阻（Ti、syi、ryi），得到更新后的用于模擬飽和效應的離散線電流元（ti、syi、ryi），以及用于修正永磁體磁動勢的線電流Δpmi。

若更新后的離散線電流元與前次結果相比，相對變化量大于給定的閾值（比如1×10-4），重復步驟（3）；否則，停止迭代，輸出氣隙磁場分布結果。需要說明的是，空載時離散線電流元的初值可設置為零，即ti=syi=ryi= 0；負載時，由于磁飽和效應較為突出，可將空載時的離散線電流值作為初值進行迭代，以提高收斂速度。

2 模型驗證

2.1 發電機參數

以金風1.5MW永磁直驅發電機為研究對象。極對數=44，齒槽數s=576，主要結構尺寸可參考文獻[4]。永磁體的矯頑力c=1 018kA/m，相對反沖磁導率為1.031 8。通常僅可獲得定/轉子硅鋼片相對磁導率隨磁感應強度變化的離散點。為了便于分析計算，需對其進行擬合。根據C. Heida和P. Regtien[23]的研究，可選擇擬合函數為

式中，為磁感應強度；為擬合系數。依據相對磁導率數據，采用式（19）進行擬合，得到硅鋼片的相對磁導率結果如圖7所示。擬合系數的具體值見表1，擬合置信度為95%。

表1 硅鋼片相對磁導率擬合系數結果

Tab.1 Fitting coefficient results of relative permeability of silicon steel sheet

2.2 與有限元結果對比

構建永磁直驅發電機的電磁有限元模型，如圖8所示。以1/2氣隙長度處為例，空載條件下本文結果與有限元結果的對比如圖9所示。以空載時氣隙最大磁感應強度為尺度，對圖中結果做了無量綱化處理。由于2倍磁極對數與齒槽數的最大公約數為g=8，計算時截取72槽與11塊永磁體所對應的扇區（45°）進行計算。從波形上看，本文結果與有限元結果基本保持一致。最大磁感應強度出現在永磁體（非齒槽開口處）。由于齒槽的存在，使得氣隙磁感應強度出現波動。從幅值上看，本文所得到的最大氣隙磁感應強度值稍低于有限元結果。上述對比驗證了本文模型的正確性。

圖8 有限元模型

圖9 空載條件下本文結果與有限元結果的對比（1/2氣隙長度處）

3 分析與討論

3.1 空載工況

考慮定/轉子鐵心磁飽和效應、永磁體磁導率大于1等因素，重新計算了空載下氣隙磁感應強度結果，如圖10所示。圖中結果也做了無量綱化處理，尺度為空載氣隙最大磁感應強度。考慮飽和效應與否，二者差別很小（不超過0.5%），表明空載條件下定/轉子鐵心的磁飽和效應較弱，可忽略不計。氣隙磁感應強度的諧波次數和幅值如圖11所示。可以看出，基波頻率及其奇數倍頻（c, 3c, 7c, 9c）的幅值較為明顯。此外，齒槽頻率與基波頻率的組合成分也可觀察到，即s±c。

圖10 空載條件下考慮飽和和不考慮飽和時氣隙磁感應強度分布

圖11 空載氣隙磁感應強度諧波幅值

3.2 負載工況

對于本研究的永磁直驅發電機，共有兩套三相繞組。第1套，標記為1U1, 1V1, 1W1，相位差為120°；第2套，標記為2U1, 2V1, 2W1，相位差120°。兩套繞組的相位差為27.5°，聯結方式為2Y。已知額定電流的有效值為642A，并聯支路數為8。每個齒槽含有上、下兩層繞組，匝數為10。根據繞組聯結方式，可確定特定時刻（例如=0），上下兩層繞組的電流值分布，如圖12所示。以電流最大值（642A×1.414×8/10=1134.7A）為尺度，對圖12中結果進行了無量綱處理。

圖12 特定時刻上下兩層繞組的電流值分布

負載工況下考慮磁飽和與否氣隙磁感應強度分布結果如圖13所示。圖中結果也做了無量綱化處理，尺度為空載氣隙最大磁感應強度。與空載時的結果相比，氣隙磁感應強度的變化幅值明顯增大，最大相對磁感應強度已超過1.4。磁飽和效應的影響也顯著增強，考慮飽和后氣隙磁感應強度與不考慮飽和時的結果相差可達15%以上。由于負載繞組的引入，使得氣隙磁場的變化變得劇烈，在定子齒端部、定子鐵心和轉子鐵心出現了不同程度的磁飽和現象。負載氣隙磁感應強度的諧波次數和幅值如圖14所示。諧波次數與空載時的情況基本一致，包括基波頻率及其奇數倍頻，以及齒槽頻率與基波頻率的組合成分。幅值要高于空載時的結果，尤其負載時基波頻率c的幅值已接近0.6。此外，在基波頻率附近，考慮繞組負載后，出現了幅值相對較低的諧波階次，如圖14所示。

圖13 負載條件下考慮飽和和不考慮飽和時氣隙磁感應強度分布

圖14 負載氣隙磁感應強度諧波幅值

4 結論

基于保角變換和等效磁路模型，開展了空載和負載工況下永磁直驅發電機氣隙磁場研究。以實際在役兆瓦級永磁直驅發電機為對象，獲得了考慮齒槽效應的氣隙磁場分布，并與有限元計算結果對比，驗證了所提出分析模型和求解方法的有效性。主要結論如下：

1）空載時考慮飽和效應與否氣隙磁感應強度基本不變，表明空載條件下定/轉子鐵心的磁飽和效應較弱，可忽略不計。諧波成分包括基波頻率及其奇數倍頻、齒槽頻率與基波頻率的組合成分。

2）負載時考慮飽和后氣隙磁感應強度與不考慮飽和時的結果相差可達15%以上，表明磁飽和效應的影響顯著增強。與空載時的結果相比，氣隙磁感應強度的變化幅值明顯增大。諧波成分與空載時的情況基本一致，但幅值要高于空載時的結果，尤其是基波頻率的幅值增長最為明顯。

本文所提出的分析模型和求解方法，為兆瓦級永磁直驅風力發電機磁固耦合分析和性能優化設計提供重要的前提條件。

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Air Gap Magnetic Field Calculation of Permanent Magnet Direct Drive Generator Based on Conformal Mapping and Magnetic Equivalent Circuit Method

Zhang Zhihong1Han Qinkai2Xu Xueping3Yan Yifeng1Peng Chao1

(1. Xinjiang Goldwind Science Technology Co. Ltd Urumqi 830026 China 2. Department of Mechanical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China 3. Research Institute for Frontier Science & Technology Beihang University Beijing 100191 China)

Owing to its outstanding advantages such as good low-speed performance, high power generation efficiency, low maintenance cost and reliable operation, megawatt permanent magnet direct drive wind turbine is an ideal choice for large-scale onshore and offshore wind power generation. In the performance analysis and optimal design of permanent magnet direct drive wind turbines, accurate and efficient air gap magnetic field distribution is an important premise.

In this paper, the air gap magnetic field of permanent magnet direct drive generator under load condition is studied. Based on the exact domain solution and conformal mapping, the scalar magnetic potential of the air gap magnetic field considering the cogging effect is calculated. Discrete line current element is used to quantitatively simulate the local magnetic saturation of generator stator and rotor. Based on the calculation method of the nonlinear reluctance of the stator and rotor considering the geometric size, the magnetic equivalent circuit model including the structure of the stator and rotor and the length of the air gap is established, and the corresponding iterative solution process is presented. Taking the actual megawatt permanent magnet direct drive generator in service as an example, the air gap magnetic field distribution considering the cogging effect is calculated, and the influence of magnetic saturation effect on the air gap magnetic field distribution curve waveform and harmonic components under no-load and load conditions is analyzed. The proposed analysis model and solution method are verified by comparing with the finite element results.

Under the no-load condition, the air gap magnetic field intensity is basically unchanged whether the saturation effect is considered or not. The harmonic component includes the fundamental frequency and its odd frequency multiples, and the combination of the tooth slot frequency and the fundamental frequency. Under the load condition, the relative difference between the magnetic field intensity with and without saturation effects can exceed 15%, indicating that the influence of magnetic saturation effect is significantly enhanced and cannot be ignored in the load condition. Compared with the result in the no-load condition, the variation amplitude of the air gap magnetic field intensity increases obviously. The harmonic component is basically the same as that in no-load condition, but the amplitude is higher than that in no-load condition, especially for the increase of the amplitude of fundamental wave frequency.

The analysis model and solution method proposed in this paper provide important preconditions for the magneto-solid coupling analysis and performance optimization design of megawatt permanent magnet direct drive wind turbines.

Permanent magnet direct drive generator, air gap magnetic field, magnetic equivalent circuit, load condition, magnetic saturation, cogging effect, nonlinear reluctance

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210769

TM351

國家自然科學基金資助項目（11872222）。

2021-05-27

2021-10-22

張志弘 男，1982年生，工程師，研究方向為永磁直驅風電機組動力學、發電機磁固耦合分析。E-mail：zhangzhihong@goldwind.com.cn

韓勤鍇 男，1982年生，博士，副教授，研究方向為旋轉機械動力學、永磁直驅電機磁固耦合分析。E-mail：hanqinkai@mail.tsinghua.edu.cn（通信作者）

（編輯 赫蕾）