關(guān)于非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)簡化模型的超額函數(shù)為正數(shù)的討論

陳 佳

西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部 陜西西安 710000

1 概述

隨著時代的進步，汽車的保有量在逐年上升。城市交通需求與交通供給矛盾也日益突出。針對該種現(xiàn)象，人們考慮將城市交通規(guī)劃理論方法與數(shù)學(xué)理論方法結(jié)合，并對其進行深入的研究與分析，以幫助我們有效地緩解日益嚴峻的供給矛盾。其中，道路改擴建被視為一種改善城市交通需求的有效途徑，其主要是通過改變路網(wǎng)容量分散擁擠路段交通流，從而有效地緩解路段擁堵問題。但是像我國城市這種類似道路改擴建期間所導(dǎo)致的交通擁堵問題已經(jīng)日益突出[3，5]。此外在數(shù)學(xué)上，我們把交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計和分析技術(shù)等問題稱作帶均衡約束條件的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題[2]。1993年，Dupuis和Nagurney[12]利用最小范數(shù)概念建立了一類“動態(tài)投影系統(tǒng)”，并研究了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1995年，F(xiàn)riesz等[11]指出路段容量的改變影響交通網(wǎng)絡(luò)非均衡特性，同時指出路段容量的變化受出行者獲取信息的完整程度的影響，認為交通擁堵是影響出行花費的一類重要因素。同年在動態(tài)投影系統(tǒng)基礎(chǔ)上提出：(1)路徑流非負。(2)可感知預(yù)期費用非負的結(jié)論。1996年，Terry L.Friesz等[11]根據(jù)非均衡交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計概念建立了模型，并預(yù)測鑒于模型計算的復(fù)雜性則很難給出直接的精確求解過程。

本文針對該現(xiàn)象建立了非均衡動態(tài)交通數(shù)學(xué)模型，并對其約束條件簡化的條件進行分析，結(jié)合實際背景從數(shù)學(xué)角度驗證了該模型中超額需求函數(shù)為正的必要結(jié)論。

2 預(yù)備知識

2.1 符號說明

2.2 相關(guān)定義

引入投影算子PrΩ{·}，其中Ω是個緊集。定義投影算子PrΩ{·}滿足：

則有：

平均最小出行花費隨時間變化率為：

=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]

=κOD[{uOD(t)+αETDOD[u(t),h(t)]}+-uOD(t)]

其中以道路上的車流量來衡量的超額出行需求函數(shù)ETDOD[u(t)，h(t)]可以表示為：

uOD(t)為單位平均最小出行花費，α為不同的單位屬性間的等效轉(zhuǎn)換參數(shù)。

同理：

=ηp[PrΩ{hp(t)-βETCp[u(t)，h(t)]}-hp(t)]

=ηp[{hp(t)-βETCp[u(t),h(t)]}+-hp(t)]

ETC[·]表示超額出行花費函數(shù)，則路徑p(p∈POD)上的超額出行花費函數(shù)可以表示為：

ETCp[uOD(t)，h(t)]≡cp[h(t)]-uOD(t)

(3.2)

參數(shù)β為不同單位的等效轉(zhuǎn)換參數(shù)。ETCOD[u(t)，h(t)，y(t)]是以道路上的車流量來衡量的超額出行花費，hp(t)表示路徑p上的車流量。

在交通工程的研究中，非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型一般還存在預(yù)算約束的限制，并且道路交通流量受路網(wǎng)容量增加量的影響，綜合各類影響因素可得出非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型的約束條件。

3 非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

3.1 非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型的建立

3.1.1 目標函數(shù)的建立

非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型以消費者剩余最大建立目標函數(shù)。根據(jù)1938年Hotelling提供的方法將馬歇爾廣義平衡理論拓展，以積分形式可把消費者剩余表示為[5，8]：

其中：“∮”表示依賴于路徑的線性積分；wOD表示積分變量。

假設(shè)在固定時間[0，T]內(nèi)，用戶的凈收益可以達到最大。并以出行車流量發(fā)生擁堵時所生成的出行成本為依據(jù)建立目標函數(shù)，利用折扣率r對目標函數(shù)Z[·]隨時間推移的情況進行調(diào)整，則有:

3.1.2 約束條件的建立

綜上可得非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)的抽象模型：

3.2.1 目標函數(shù)化簡

其中:

G[ETDOD(u(t)，h(t))]=[{u(t)+α·ETDOD[u(t)，h(t)]}+-u(t)]

3.2.2 約束條件化簡

考慮路網(wǎng)容量因素對非均衡動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型造成的影響，約束條件中的

(2)

ETCp[uOD(t)，h(t)，y(t)]≡cp[h(t)，y(t)]-uOD(t)

(3)

同理可得：

(5)

4 命題的提出與論證

命題3.1：若將投影算子PrΩ{·}作用于uij(t)+αETDij[u(t)，h(t)]，則有：PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}={uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]成立。

證明：根據(jù)式(4)可得,當uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]>0時，結(jié)論顯然成立。現(xiàn)只需證明若uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]≤0時，結(jié)論0不成立或不符合實際情況即可，這里我們采用反證法證明命題。

現(xiàn)假設(shè){uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=0成立有意義，則：

du=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]dt

=κOD[{uOD+αETDOD[u(t)，h(t)]}+-uOD(t)]dt

u(t)=e-κ·t

(6)

由式(6)看出，平均最小出行花費u(t)隨著時間的增大，其出行花費減小。顯然其不符實際情況，因此以實際背景建立的該模型假設(shè)不正確。命題為真，即

PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}=

{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=

uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]

命題3.2：若將投影算子PrΩ{·}作用于h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]，則有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]成立。

證明：根據(jù)式(5)可得，當h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]>0時，結(jié)論顯然成立。現(xiàn)只需證明若h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]≤0時，結(jié)論0不成立或不符合實際情況即可，這里我們同樣采用反證法證明命題。

現(xiàn)假設(shè){h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=0成立有意義，則：

dh=η[PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}-h(t)]dt

=η[{h(t)-β·ETCp[h(t),y(t)]}+-h(t)]dt

=-ηu(t)

h(t)=e-η·t

(7)

由式(7)看出，規(guī)定路徑的車流量u(t)隨著時間的增大，逐漸減小，最后趨于平衡。顯然其不符實際先增后緩再平穩(wěn)的基本情況，而該模型是以實際背景建立的，因此假設(shè)不合理。即命題為真，故有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]

5 結(jié)論

在非均衡交通數(shù)學(xué)模型簡化過程中，結(jié)合實際通過證明得出超額需求花費與超額出行需求在投影算子作用下我們考慮正值即可。這為模型后期的進一步研究提供了幾個有利的價值：幫助我們進一步簡化了模型，為后期的模型數(shù)值離散化研究打下基礎(chǔ)。另外，使模型在算法實現(xiàn)上僅考慮為正的情況，為算法實現(xiàn)提供了便捷性，為后期半光滑牛頓算法的應(yīng)用以及算法仿真實驗的可行性提供了有力依據(jù)。隨著時代進步，交通網(wǎng)絡(luò)模型的研究會繼續(xù)進行下去，本文只是初步驗證了幾個簡單的簡化條件。后期對模型的進一步算法研究以及仿真模擬，有興趣的讀者可以繼續(xù)研究。