復變函數與積分變換教學改革探索

張雯瑩 黃賀艷 周 延

上海應用技術大學理學院 上海 201418

一、概述

黨的二十大報告中強調“必須堅持科技是第一生產力、人才是第一資源、創新是第一動力，深入實施科教興國戰略、人才強國戰略、創新驅動發展戰略，開辟發展新領域新賽道，不斷塑造發展新動能新優勢。”[1]復變函數與積分變換，是工科數學系列的公共基礎課，既有較高的理論基礎要求，又有工程實踐強大的背景，同時是后續電氣、信號和圖像處理、流體力學、密碼學等相關多門理論課的基礎。

基于國家戰略發展新需求與我國工程教育改革方向[2]，本課程遵循學校“創新愛科技”的人才培養模式與“應用型人才核心素養總體框架”，結合近幾年理學院教改實踐的經驗和工科部分課程內容改革的要求，以應對變化、塑造未來為建設理念，形成價值引領，知識傳授，能力提升三位一體的教學培養體系。在二十大報告明確指出，“把馬克思主義思想精髓同中華優秀傳統文化精華貫通起來、同人民群眾日用而不覺的共同價值觀念融通起來”“讓馬克思主義在中國牢牢扎根”。課題組成員此前已對上海應用技術大學工科學生的復變函數與積分變換成績與后續課程的成績關聯性展開調研[3-5]，在意識到全國的線上精品教學課程與本校的課程之間的差距，針對復變課程性質以及工科專業學生特點，將案例教學法引入復變函數與積分變換的教學中，結合應用型人才培養對數學教學提出的總體要求：體現應用辦學定位、服務應用培養方案和加強應用能力培養。根據這些要求，我們確定了“以理施教、以情優教、以用為范”的復變課程教學改革的基本思路。

二、復變函數與積分變換案例教學設計目標

復變函數與積分變換內容包括：復數與復變函數、解析函數、復變函數積分、復變函數級數、留數計算及應用、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。作為后續課程的橋梁，先要降維，還要代入式地、共情式地考量與分擔學生的挑戰和困境，設身處地站在對方的維度去理解。

(一)以理施教，針對應用型本科專業學生特點，精選經典與熱點案例

加強應用元素開發，建設典型的課程實踐案例庫。與線上超星課堂平臺相結合，通過強化特定知識點的應用價值，增強學生的創新意識，解決一個個開放性問題，實質上就是一次次創新演練。

挖掘知識傳授深度，用思辨的觀點看待數學知識點的轉化與融合，有利于提高如信息與系統、傅里葉光學、光學信息處理、密碼學、概率與統計和數學物理方程等后續課程的知識儲備，同時也培養了學生運用數學理論與實踐相結合的思維慣性，以及對具體案例進行探索與研究能力。如構建傅氏變換理解具有疊加性質的系統即線性系統，啟迪利用傅里葉分析求解微分方程問題等；講解復球面與無窮大時，通過構造復平面，使研究的抽象數學符號問題轉化為可以看到的具體數學表達式，完成浮球面與復平面的“對立統一”；把實積分轉換為復積分來計算實積分的值，由“實”到“虛”本身就帶有啟發的方法，類似于一直以來數學家所用的歸納法。

挖掘豐富素材的同時，兼容德育資源與哲學內涵一體，復變函數系統與類比思想和特殊思想等教育思想緊密相連。首先，宏觀上認識高等數學和復變函數分別在實數域和復數域研究函數的性質，進而整體把控復變函數的教學內容。其次，針對高等數學中函數極限連續和可導的定義及性質，第一型和第二型曲線積分的定義和性質，泰勒級數與冪級數的相關性質等，運用類比的思想，將其平移到復變函數的極限、導數、復積分的定義和計算，復變函數的泰勒級數和冪級數的相關性質等，從而將實數域函數的結果有序地擴充到復數域，提高了學生解決問題和創新認識的意識螺旋上升。最后，復數域作為實數域的擴充，在保留實數域內高等數學的函數部分性質的基礎上，借用特殊思想，系統介紹復變函數的解析定義、性質和判別方法、羅朗級數的性質和計算、留數的定義計算方法及其應用。通過特殊到一般的數學思想方法，培養學生理解由局部到整體、由個體到集體等辯證關系。

(二)以情優教，應用模型從教學設計等多角度進行線上線下創新教育滲透

從“注意、關聯、信心和滿足”四個維度出發，設計并改進教學，增強學生學好復變函數的信心。從學生日常學習生活、教學內容、教學設計和教學過程四個方面，基本實現全員育人、全程育人和全方位育人的高校思想政治教育新格局。

圍繞時政性主題，設置“拓展創新”專項主題案例，加強學生對中國國情與科技立項的認識以及對新時代中國特色社會主義思想的政治認同。用傅里葉變換描述和證明海森堡量子不確定性原理時，介紹我國在量子通信和量子計算機上的成就：科學家潘建偉團隊成功研制“墨子號”量子科學實驗衛星、“祖沖之號”超導量子計算原型機；在學習復變函數部分，引入我國數學家張廣厚和楊樂證明的關于值分布中的貢獻“張—楊”定理。

事實上，復變函數作為實變函數的自然延伸，由于其優良的性質決定了它們對信號和圖像處理、流體力學、密碼學、人工智能等工程領域問題的重要作用。神經網絡是復多值分析領域中一個重要研究方向，主要研究對象為具有非線性動力學行為的神經元網絡模型，以及利用復多值函數逼近模型。隨著人工智能的發展，機器學習方法已成為研究熱點，其中最具代表性的方法是基于復變函數的自回歸模型，它能根據輸入值預測輸出值并進行學習和回歸預測。同時它還是解決光學成像、圖像處理等問題的有力工具[7-9]等。例如，拉普拉斯變換建立了時域與復頻域之間的聯系，在電路分析中被廣泛應用。在圖1所示的RLC串聯電路中，可以利用拉普拉斯變換計算電路中的電流i(t)。電路起始狀態為0，在t=0時刻開關S閉合。首先，我們依據基爾霍夫電壓定律可以列出圖2電路所對應的微分方程：

(1)

然后，我們對該方程左右兩邊同時取拉普拉斯變換，可得：

(2)

隨后，我們整理I(s)的表達式，可得：

(3)

等式(3)中的p1和p2是I(s)表達式中分母的兩個根。最后再對等式(3)的左右兩邊同時取拉普拉斯逆變換，就可得到電流i(t)。需要注意的是，由于p1和p2可能為實數，也可能為復數，所以要分幾種情況討論，才能給出i(t)的最終表達式。

圖1 RLC串聯電路

在教學過程中穿插在線教學，“重理論、重邏輯思維能力”轉變為“重方法、重實踐應用能力”，提高學生政治思想與覺悟，提升課堂參與度和課后的實踐應用能力。

(三)以用為范，在教學評價方面引入過程管理理念，開展成效考核

利用線上交流平臺、坐班答疑等考察在課程中的滲透度、與知識的融合度以及學生的參與度，在復變函數教學中坐實課程改革工作。利用現代科學計算手段，對案例實際問題進行模擬，設計分組任務PBL。在課程過程管理中，應用成效考核，注意培養學生的發散思維能力，激發學生學習數學的好奇心和求知欲，不斷追求新知、發現、提出、分析并創造性地解決問題。

比如考核分組任務，組隊探索目前光學領域的研究熱點之一——傅里葉單像素成像技術，就是用傅里葉分析來同時獲得高成像質量和高成像效率的成像結果，解決了傳統成像無法實現復雜環境和全天候成像以及在非可見光波段成像的難題；在圖像處理中，利用傅里葉變換得到圖像的頻域信息，在變換域上對圖像進行處理能夠有效地改進量子成像的質量，獲得滿意的成像結果。經過學生自主探索之后，在課堂教學中，我們可以進一步向同學展示當前傅里葉單像素成像技術得到的結果圖[6](如圖2所示)。圖2分別展示了全采樣下和50%采樣下傅里葉單像素成像結果，在只采樣圖像像素一半的情況下，還能夠近似完整地重建出圖像。可以測量實況和生成的圖像之間的差異使用均方誤差(MSE)作為圖像之間的差IGT和重建圖像I，定義為：

在課堂教學活動中通過引入現代科技發展中的實際案例，通過直觀、形象地展示傅里葉分析的實際應用，能夠讓學生切實感受到所學知識的重要性并吸引學生的關注，激發學生學習復變函數課程的求知欲，讓學生清楚了解深入學習復變函數是解決一些實際問題的關鍵，要學好這門課才有可能找到更多工程難題、科學難題的突破口。通過講授基于傅里葉分析的光學成像問題知識點，提升學生科學素養和科學思維方法，激發學生勇攀科學研究高峰的責任感和使命感。

(a) (b) (c) (d)(a)全采樣下的傅里葉頻譜；(b)全采樣下成像結果；(c)50%采樣下的傅里葉頻譜；(d)50%采樣下的成像結果圖2 傅里葉單像素成像結果

分析運用復變函數論應用于流體力學和航空相關場景時，介紹茹柯夫斯基在設計飛機的時候，以復變的理論解決了飛機機翼的結構問題。解決交通運輸規劃中的路線選擇問題時，復變函數能通過對交通參數(道路斷面、車輛流量或車速)的分析得到優化方案。通過這些引入復變函數在現代科技發展中的實際案例，從多維度給學生展現了一個豐富多彩的世界，培養了學生的創新精神和創新能力，為學生后續實踐及應用能力的提高等打下扎實的基礎，并使其意識到只有增強知識儲備才能迎接全球化的機遇和挑戰。