基于自適應LQR的智能汽車橫縱向控制

李致遠，李曉蕊

（長安大學 汽車學院，陜西 西安 710064）

無人駕駛車輛在未來交通中有著舉足輕重的地位，它集環境感知、決策規劃、運動控制于一體[1-2]。目前，國內外汽車大廠投入了大量的人力和物力對自動駕駛技術的研發，從而提升在該領域的競爭力[2]。作為自動駕駛核心技術之一的橫縱向運動控制，它接收軌跡規劃信息、自車位置信息，輸出對應的控制命令，使車輛按照所期望的軌跡行駛[3]。橫向控制在整個控制模塊是至關重要的，其控制的好壞直接影響車輛的目標路徑的跟蹤能力和整車的穩定性、舒適性等其他關鍵指標[4-7]。針對自動駕駛換道問題本文設計了一種目標函數權重可以調整的自適應前饋控制的線性二次型調節器（Linear Quadratic Regulator, LQR）橫向控制器，并結合縱向控制實現車輛跟蹤期望軌跡。首先，通過油門剎車表的制作搭建了縱向雙比例-積分-微分（Proportion Integration Differentia- tion,PID）控制器，然后，基于路徑跟蹤誤差的車輛二自由度動力學模型設計了LQR橫向控制器[8]。隨后，考慮路徑跟蹤偏差與路徑曲率關系進行LQR控制器的改進，并考慮智能汽車轉向不足的問題，以此提高車輛的路徑跟蹤能力、穩定性和舒適性[9-11]。最后，通過仿真試驗對比分析，驗證其有效性。

1 基于跟蹤誤差動力學模型

如圖1所示，將車輛簡化為“二輪”模型。假設，前后二輪完全相同，側向、橫擺兩個方向的運動自由度被考慮到該模型中。

圖1 基于跟蹤誤差的“二輪”模型

分析圖1中車輛在側向、橫擺兩個方向進行受力分析，并假設車速為固定值且車輪轉角較小，可得

式中，m為車輛整車質量；ay為汽車側向加速度；Ff、Fr分別為前、后軸側向力；Iz為繞z軸轉動量；ω˙為橫擺角速度；lf、lr為汽車前、后軸到質心的距離。

假設同軸兩側車輪完全相同，前輪、后輪的側偏剛度為kf和kr，前輪轉角為δf，則

式中，Vx為縱向車速；Vy為橫向車速。

距離偏差與航向偏差出現在車輛對參考路徑進行跟蹤時。如圖1所示，ey為車輛質心到目標軌跡的最短距離。對于航向偏差eψ，可以得到

式中，ψ為航向角；ψdes為參考航向角。

假設目標軌跡半徑為R，則車輛在該軌跡上行駛的加速度為

車輛的實際加速度為

則可以得到

將式（3）和式（4）代入式（5）和式（9）中，可得

將式（10）和式（11）寫為狀態空間方程，則有

式中，

2 縱向雙PID控制器設計

電動汽車有著節能環保的優點，被廣泛應用于自動駕駛車輛。而且，電動機有著比燃油機更寬的工作高效區間；工作效率高達90%；百公里加速強等特點。所以，本文選取的車輛模型為CarSim中的電動汽車。

當踩下油門時，會引起電動機功率改變，從而電動機的轉速/扭矩會發生改變，電動機轉速的改變會影響車輛車速的變化；扭矩的改變會影響車輛加速度的變化，最終實現車輛加速。當踩下剎車時，會引起制動壓力的增大，從而制動盤摩擦增大。最終，實現車輛的減速。

2.1 油門剎車表的制作

使用MATLAB/Simulink和CarSim聯合仿真，給定車輛模型以初速度0 km/h行駛，在不同的節氣門開度下，得到不同的加速度a和速度v曲線，最后，合并不同節氣門開度下的v、a曲線并擬合，得到如圖2所示的三維曲面。

圖2 節氣門開度，加速度，速度三維曲面圖

同樣，給定該車輛模型以初速度180 km/h行駛，在不同的制動壓力下得到不同的加速度a和速度v曲線，并進行擬合，得到如圖3所示的三維曲面圖。

圖3 制動壓力，加速度，速度三維曲面圖

合并圖2，圖3中節氣門開度，制動壓力，加速度，速度數據得到如表1所示的油門剎車表。

表1 油門剎車標定表部分數據

如表1所示，該表的第一行表示車輛加速度（m/s2），其范圍為-8 m/s2～5 m/s2；第一列表示車輛行駛速度（m/s），其范圍為0 m/s～50 m/s。不同的速度或者加速度就能得到一個對應的節氣門開度或者制動壓力。

圖4 縱向雙PID運動控制器建模

該縱向雙PID運動控制器考慮車輛速度、規劃速度、縱向位移誤差。然后輸出車輛加速度。如圖4所示。

3 前饋反饋的LQR橫向運動控制器設計

該控制器利用現代控制方法適用于狀態空間模型，車輛動力學模型剛好可以寫成狀態空間的形式。其控制性能指標方程如下：

式中，Q,R代表控制器的加權矩陣。

式（13）的極小值就是LQR控制器所要達到的目標。即

對式（14）求導從而獲得極值，可得

式中，

P(t)是式（17）黎卡提方程的解。

LQR控制器的最終控制規律為

式中，K=[k1,k2,k3,k4]。

3.1 前饋反饋LQR控制器設計

將式（18）代入式（12）可以得到X

通過式（19）可以看出，無論K取何值.X和X不可能同時為0。引入前饋控制δq使得橫向誤差為0，δq為前饋控制對應的前輪轉角。則控制律為

將式（20）代入式（12），則有

該帶前饋反饋的LQR控制器最終會導致.X為零；X不為零。則可得

問題轉化為選取合適的δq使式（22）盡可能為零。即

式中，ρ為路徑曲率。

車輛在跟蹤此換道軌跡時道路曲率通常遠遠小于1；航向偏差eψ也遠遠小于1；橫向車速Vy遠遠小于1。就可以近似得到航向偏差eψ約等于0。

4 自適應LQR控制器

加權矩陣Q和R是LQR控制器的核心。大部分研究中其值為固定值，現將加權矩陣Q和R設計為根據橫向偏差ey、路徑曲率K實時變換的矩陣。

文中加權矩陣Q和R描述為

矩陣Q中，q1為距離偏差權重系數；q2為距離偏差變化率權重系數；q3為航向偏差權重系數以及q4為航向偏差變化率權重系數。這四個權重系數的大小代表所對應控制目標的控制強度。通常車輛在目標路徑上行駛時的半徑較大，航向偏差可以近似看為0，所以文中設定q2,q3,q4為常數，僅針對q1,r1設計計算規則。

誤差的權重參數越大，跟蹤精度越高；轉角的權重參數越大，轉角變化越小，駕駛的穩定性與舒適性更好。在路徑曲率較小的條件下，車輛行駛平穩，應增大轉角權重，以保障跟蹤精度為主。在路徑曲率較大的條件下，車輛短時間的位置變動較大，應減小轉角權重，使控制器對轉角變化更敏感，減小對前輪轉角的限制，保證車輛的跟蹤精度與行駛穩定性。

參數q1,r1的計算規則可以描述為

式中，key,kR為增益系數；eyth,krth為誤差閾值；q0,r0為對應權重初始值。

4.1 考慮自動駕駛車輛轉向不足的問題

當車輛跟蹤目標路徑時，車輛的轉彎半徑總有向外側擴大的趨勢，所以，橫向誤差ey與前輪轉角δf息息相關。本文中橫向誤差通過PID控制器之后與前輪轉角δf相減之后作為汽車的前輪轉角，從而解決了汽車轉向不足的問題。

5 仿真實驗

為了證明本文自適應LQR控制器的可靠性，建立了如圖5所示的五次多項式換道模型，在相同的條件下分別對帶前饋的LQR控制器；帶前饋的自適應LQR控制器；考慮車輛轉向不足的帶前饋的LQR控制器進行仿真比較。測試工況選擇換道工況；測試車輛選擇Carsim中的C-Class，Hatchback。該測試車輛相關數據如表2所示。

表2 車輛主要參數

5.1 建立五次多項式換道工況

在五次多項式換道工況進行仿真測試時，初始車速設定為36 km/h；換道時間為5 s。換道軌跡如圖5所示，構建五次多項式曲線，可以解析物體的位移、速度、加速度三種狀態值，五次多項式如下：

x(t)、y(t)代表車輛縱橫向位移，是關于時間t的函數，對其一階二階求導便得到速度、加速度狀態曲線如下：

圖5 五次多項式換道示意圖

5.2 LQR權重參數自適應調節效果實驗

圖6為在3種控制器作用下，車輛跟蹤效果圖。可以看出，三種控制器都能跟蹤參考路徑，并且保證跟蹤誤差在可以接受的范圍內。考慮車輛不足轉向的自適應LQR前饋控制器對于目標路徑的跟蹤效果最好。

圖6 參考路徑跟蹤結果

圖7 跟蹤誤差結果

圖7(a)和圖7(b)精確描述了車輛實際路徑與參考路徑的橫向偏差與航向偏差。考慮車輛不足轉向的自適應LQR前饋控制器跟蹤效果最好，最大橫向偏差在0.26 m以內，最大航向偏差在0.041 rad以內；前饋LQR控制器跟蹤精度最差，最大橫向偏差達到0.063 m，最大航向偏差在0.023 rad左右；帶前饋控制的自適應LQR控制器最大側向偏差為0.045 m，最大航向偏差達到0.038 rad。

圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)為車輛在三種控制器下前輪轉角、橫擺角、橫擺角速度對比圖。可以看出車輛在三種控制器的作用下都能把前輪轉角控制在小轉角約束內；橫擺角和橫擺角速度都在車輛設計的約束范圍內。

通過表3可以看出，考慮車輛不足轉向的自適應LQR前饋控制器的路徑跟蹤精度最高、控制效果最好。

圖8 前輪轉角、橫擺角、橫擺角速度圖

表3 橫向偏差、航向偏差、橫擺角、前輪轉角數據

6 結論

本文采用縱向雙PID控制器、橫向LQR控制器為主體部分，并考慮前饋反饋、車輛不足轉向，提高車輛跟蹤精度和行駛穩定性，同時根據橫向偏差、參考路徑曲率對LQR的權重參數進行實時調節，改進了LQR控制器。最后，通MATLAB/CarSim聯合仿真對考慮車輛不足轉向前饋自適應LQR控制器進行了試驗，通過對比分析，證明了本文設計的自適應LQR控制器具有良好的控制性能。