基于Matlab 的最少拍無紋波控制系統設計

李號，李自成，鄭堰，沈志強，楊浩，鄒夢玨

（成都理工大學工程技術學院，四川 樂山 614000）

最少拍系統設計的原理是保持采樣點的數據不變或者為零，通過使用Z 變換概念使采樣點數據保持不變或者在很小誤差之內。在許多情況下，因為控制作用的不平滑性，采樣點的系統輸出會出現紋波，這就是有波紋設計。無波紋設計是在輸入信號作用下，系統內部經過多次拍達到穩定，采樣點間無波動，并且輸入誤差為零。

通常采樣點間的紋波不能在采樣點的信號上出現，要達到采樣點之間的信號不能進行閉環控制。被控對象G(z)的全部零點要被閉環函數所包含。由于控制器D(z)在系統中對極點進行處理，之后采樣點間的紋波會消失[1-2]，其中典型輸入的z 變換公式為：

1 最少拍控制系統

一般在數字控制系統中，一個采樣周期為一拍，最小拍控制的概念是指在輸入下可以讓系統輸出在有限個周期內進行無誤差跟蹤輸入（即系統輸出穩態誤差為零）。最小拍控制系統也為時間最優控制系統，評價該系統的依據是按照系統要求達到的系統調節時間最短或越短越好[3]。下面用一個例子來介紹此系統。

（Kd=2、T1=1、T2=1，采樣周期為1s）

Gc(s)指的是被控對象。

D(z)指的是數字控制器。

H(s)指的是零階保持器。

T 指的是采樣周期。

當控制對象和零階保持器離散化了以后，就變成了廣義對象的Z傳遞函數，所以廣義對象的脈沖函數為：

1.1 最少拍控制系統產生紋波的原因

系統輸出采樣點間的紋波是因為控制量輸出波動造成的，這種波在采樣點之間又無法被發現，本質是控制變量Z 變換后產生非零極點造成。通常解釋為由數字控制器的輸出序列u(k)，在經過若干次拍后為振蕩收斂。

1.2 消除紋波的條件

紋波造成的采樣點間的誤差會增加系統整體損耗，得到的結果會與預計效果產生偏差。最小拍無紋波系統的必要條件是被控對象G0(s)給出的c(t)必須滿足與輸入相同的形式。最小拍控制系統的紋波主要產生原因是通過數字控制器的輸出后，會產生振蕩收斂，在系統中會顯示無紋波，最重要的是確保穩態控制信號為零或者保持不變。最后還要確定無紋波系統必須要滿足有紋波系統的性能要求等，綜上所述，即可消除紋波，設計出無紋波控制系統。

1.3 設計要求

1.快速性。系統在有限 拍數后產生穩態設計狀態，這時系統可以保證跟蹤輸入量所需要的周期最少。

2.穩定性。不但要保證控制系統中控制量的收斂，還要保證控制量在采樣點上的準確穩定，滿足這兩個條件，才能確保閉環系統穩定。

3.準確性。對于輸入特定的系統，系統輸出后的采樣值達到系統要求，可以精確跟蹤穩態狀態，即采樣點輸出無誤差。[4]

2 控制系統設計

因為最小拍控制系統對于輸入形式不同，數字控制器也會不同，所以我們需要對不同的信號分別進行設計考慮。

圖1 離散系統原理圖

2.1 單位階躍信號輸入時最少拍無紋波的設計

1.求出系統廣義脈沖傳遞函數為：

2.根據上式可知：G(z)存在零點z=-0.36，極點P1=0.367，P2=0.135

所以閉環脈沖函數?(z)應包含G(Z)的全部零點，所以由此可得：

因為?e(z)是根據G(z)的不穩定性以及?(z)的階次來決定的，所以：

將公式（6）、（7）中?(z)和?e(z)的值代入?e(z)=1-?(z)中可得：

所以聯立解得：b=0.269 a=0.731

3.求出系統控制器D(z)的傳遞函數為：

化簡可得：

4.根據以上得出的數據結果進行仿真。

仿真原理圖如圖2 所示。

圖2 單位階躍輸入最少拍無紋波控制系統仿真圖

仿真結果如圖3、圖4、圖5 所示。

圖3 單位階躍輸入最少拍無紋波系統輸出

圖4 階躍輸入最少拍無紋波系統控制器輸出圖

圖5 階躍輸入最少拍無紋波誤差輸出圖形

根據以上仿真圖形結果：系統控制結果較為穩定，系統可以輸出無紋波，通過結果對比發現，無紋波系統的調節時間相對無紋波增長若干拍，增長的拍數在結果中查看發現等于在單位圓內的零點數。

2.2 單位速度信號輸入時最少拍無紋波設計

1.求出該系統的廣義脈沖傳遞函數為：

2.根據上式可得：G(z)有零點z=-0.36，以及極點P1=0.367,P2=0.135。

所以閉環脈沖函數?(z)應當包含G(Z)所有的零點，由此可知：

因為?(z)的值是由?(z)的階次和G(z)的不穩定極點來決定的。又根據公式：

根據此式可得：c=0.3413,b=-0.9274,a=1.6587。

3.再求得控制器D(z)的傳遞函數為：

將此式化簡可得：

4.根據公式求出的結果進行仿真。

仿真原理圖如圖6 所示。

圖6 單位速度輸入無紋波系統仿真圖

仿真結果如圖7、圖8、圖9 所示。

圖7 單位速度輸入無紋波系統輸出圖形

圖8 單位速度輸入無紋波控制器波形圖形

圖9 單位速度輸入無紋波系統輸出和誤差圖形

根據以上仿真圖形可知：輸出波在幾拍后便開始變成無紋波。

3 結語

本文通過對最少拍控制系統的設計，對計算機控制技術以及自動控制原理等相關知識有了更加深刻的理解認識。掌握了最少拍無紋波和最少拍有紋波的區別、產生紋波的原因、如何消除最少拍中的紋波等一系列問題，了解最少拍控制器的設計方法過程，掌握使用Matlab 軟件對輸入信號控制的最少拍控制系統進行仿真[5]，形象具體地觀察到最少拍控制系統的實驗現象。最少拍控制系統本身具有很多優點，并且在計算機控制系統中得到了廣泛應用。在實際運用時則需要根據對應的情況靈活變通地使用最少拍控制系統設計方法。