基于MATLAB 的倒立擺PID 控制仿真設計

李春，李自成，余丹，李虹鋼，楊馨茹，劉俊彤

（成都理工大學工程技術學院，四川 樂山 614000）

倒立擺控制是一種不穩定、多變量的、復雜的非線性系統，它的特性使它延伸出許多具有非線性、隨動和魯棒性問題。為控制理論教學提供了良好的實驗平臺，使新理論方法研究得到了發展。在航天飛行器平穩飛行，尤其機器人在平衡飛行、火箭垂直發射以及衛星的姿態等方面有著重要的應用。[1]所以，倒立擺的控制方法無論對我國還是世界都有著極其重要的實際意義和研究前景。

PID（Proportional Integral Derivative）控制，該方法具有結構簡單、魯棒性好、工作可靠等優勢，在實際生產中得到了廣泛的使用。在反饋環中，通過利用比率（I）、積分（I）和微分（D）求取該控制量來進行控制調整。它可以對當前誤差以及穩態誤差迅速準確地做出調節，還可以在動態過程不斷變化時，給定參數提前對誤差進行調節，對于倒立擺這種非線性、時變、強耦合系統的調節能夠達到一個很好的效果。[2]

1 倒立擺系統的建模

1.1 一級倒立擺的物理建模

在建立直線一級倒立擺的過程中，不考慮空氣的阻力和摩擦力時，它可以被看作是一個由小車和一個均勻的搖桿構成的運動剛體，如圖1 所示。[3]本文將此體系的各個參數設為：M 為小車的質量，m 為小車的質量，b 為小車的摩擦因數，l 為搖桿旋轉軸線至桿質心的距離，I 為擺桿慣性的設定，F 為加在小車上的力的設定，x 為小車所在位置，φ為擺桿與垂直向上方向的夾角，θ為擺桿與垂直向下方向的夾角（擺桿初始位置為豎直向下）。

1.2 一級倒立擺的運動分析及數學建模

分析圖1，小車在水平方向上的合力，得到以下方程：

圖1 一級倒立擺結構圖

假設φ＜＜1，（φ為擺桿與豎直方向上間的夾角），則可對等式（4）、（8）做近似處理，用u 表示被控制對象的輸入外力F，則可得到線性化后的一級倒立擺微分方程：

對式（10）整理后可得到傳遞函數：

圖2 擺桿受力分析圖

注：上面傳遞函數輸入為u（也就是小車的外力F），而輸出是擺桿與豎直方向角度φ。

2 利用MATLAB 對倒立擺系統的穩定性分析

給出了一個具體的倒立擺系統的參量：小車重量M=0.5 公斤，搖桿重量m=0.2 公斤，小車的摩擦力b=0.1，搖桿旋轉軸線至桿質中心的距離為0.3m，慣性I 為I=0.006kg*m2，而重力加速度的計算是g=9.8m/s2。

將上述參數代入式（11）可得該系統的傳遞函數表達式：

通過MATLAB 繪制出上述系統的傳遞函數的零極點圖如圖3，并求出其開環極點為s1=5.5651，s2=-5.6041，s3=-0.1428，觀察圖3 可知，在此基礎上，得到了在 S的右半平面上的極點，因此，在此基礎上判定系統的不穩定性，再繪制出該系統的單位階躍響應曲線如圖4，由圖4 可知，該系統不穩定。[4]

圖3 系統的零極點圖

圖4 單位階躍響應曲線

3 PID 控制原理與算法分析

通過對前面的倒立擺建模，并利用 MATLAB 軟件對其進行了穩定性的仿真，證明了線性一階倒立擺的穩定性。其中輸入為外力u，輸出為擺桿與豎直方向上的夾角。其PID 控制器系統結構框圖如圖5 所示，R（s）為系統給定輸入值，E（s）為偏差值，C(s)為輸出值，Gc（s）為控制器，采用比例、積分、微分等方法來調整系統的誤差。PID 控制的計算公式如下：

圖5 PID 控制系統結構框圖

式中，KP 為比例系數，Ti 為積分時間常數，Td 為微分時間常數，我們采用試湊法，通過調節KP、KI、KD 的值來確定參數，使系統達到穩定狀態。

4 倒立擺系統的PID 控制器在MATLAB 下的仿真

我們通過MATLAB 下的可視化仿真工具Simulink建立了線性一階倒立擺的 PID 控制模型，并對其進行了模擬，并在此基礎上對其進行了持續的取樣，研究了各種因素對其穩定性的作用，并對其進行了修正，使系統達到了一個我們需要的理想狀態。圖6 為PID控制器在Simulink 下的仿真圖。[5]

圖6 PID 控制器Simulink 仿真圖

對系統進行仿真，在PID 控制器參數設置界面如圖7，采用試湊法改變各項參數來使系統達到穩定狀態。觀察圖8，我們發現在 KP=1,KI=1,KD=1 時，系統控制曲線不收斂，所以該系統不穩定，然后我們調節KP=100,KI=1,KD=1，消除穩態誤差之后，得到調節后的仿真圖如圖9，系統在2s 后達到一個平衡狀態，但同時系統還存在著振蕩，最終調節到KP=100,KI=1,KD=20后，得到其仿真圖像如圖10，超調量得到減小，消除了系統振蕩，同時響應速度加快，調節時間得到減少，在1s 后系統就達到了穩定狀態。

圖7 PID 控制器參數設置界面

圖8 KP=1,KI=1,KD=1PID 控制器仿真圖

圖9 KP=100,KI=1,KD=1PID 控制器仿真圖

圖10 KP=100,KI=1,KD=20PID 控制器仿真圖

通過以上調節，最終我們得到了直線一級倒立擺在PID 控制器的調節之下各項參數值的變化，發現PID調節能夠迅速消除誤差，且操作簡單，對于研究倒立擺這種復雜的系統能夠有一個很好的效果。

5 結論

通過對直線一級倒立擺系統的研究，發現PID 控制對非線性的、多變量且耦合的等復雜性系統有一個很好的處理效果，在眾多控制理論中有著巨大優勢，基于 MATLAB 的 PID 控制器的模擬與實現，能夠很好且快速地解決倒立擺系統的穩定性問題，對研究工作提供了很好的幫助。