不同指令軌跡條件下滾珠絲杠進給系統運動精度特性研究＊

雷美榮 蘇 芳 王舒瑋 王晨升

（山西大同大學機電工程學院，山西 大同 037003）

滾珠絲杠進給系統因其高剛度、高精度、運動平穩和傳動效率高等優點，廣泛應用于高檔數控機床[1]。滾珠絲杠進給系統運動精度是影響多軸聯動加工機床加工精度的根本原因，開展其運動精度影響因素研究具有重要的實踐意義。

滾珠絲杠進給系統由伺服驅動系統和機械傳動系統組成，具有明顯的機電耦合特征，其運動精度是機電耦合復雜因素下共同作用的結果[2]。影響滾珠絲杠進給系統運動精度的參數可以根據來源分為三類：伺服控制參數、機械結構參數和指令軌跡參數。當前，滾珠絲杠進給系統伺服控制系統大多采用PID控制，機械系統由聯軸器連接電機輸出軸和絲杠，經絲杠螺母副將轉動轉換為線性移動，實現工作臺在絲杠行程內的往復運動。其伺服控制參數主要包括位置環增益、速度環增益等等；機械結構參數包括運動副剛度、絲杠參數、螺母位置和負載等等；指令軌跡參數主要包括速度、加速度和加加速度。當前，國內外學者已經針對滾珠絲杠進給系統控制方法、系統建模、時變特性分析、誤差建模與補償等方面開展了廣泛深入的研究。Luigi B等[3]針對滾珠絲杠進給系統，開展了零相位誤差跟蹤控制器對B樣條軌跡的精確跟蹤。結果顯示，在控制器作用下，滾珠絲杠進給系統對B樣條軌跡有很好的跟蹤性能。李劍等[4]、劉碧茜等[5]和韓碩等[6]均先后分別針對滾珠絲杠進給系統開展了不同控制方法研究。蘇芳等[7-8]針對單軸、雙軸滾珠絲杠進給系統開展了伺服控制參數、結構參數對跟蹤誤差影響規律研究，結果顯示，絲杠直徑、導程、負載和運動副剛度是影響滾珠絲桿進給系統運動精度的重要因素。智淑亞等[9]和蔡釗勇等[10]就滾珠絲杠進給系統摩擦特性開展了研究，基于不同的摩擦模型，利用系統辨識方法獲得了摩擦參數。陳勇將等[11]和蘇芳等[12]開展了滾珠絲杠進給系統動態時變特性研究，結果顯示，滾珠絲杠進給系統隨著螺母位置、結合部剛度和工作臺質量等時變參數變化而變化。Meng Y等[13]針對跟蹤誤差控制算法做了綜述研究。趙萬華等[14]給出了滾珠絲杠進給系統誤差來源、類別及評價方法，對于廣泛開展滾珠絲杠進給系統跟蹤誤差研究具有指導意義。由以上文獻可見，對于滾珠絲杠進給系統運動精度的研究大多基于伺服控制機械結構展開，而缺乏針對指令軌跡參數的單因素研究。

本文針對指令軌跡參數，采用確定伺服控制系統參數和機械結構參數的滾珠絲杠進給系統，開展運動精度影響規律研究。首先，基于Simulink構建了伺服控制系統仿真模型；然后，利用SolidWorks建立了滾珠絲杠進給系統的機械物理模型，并將該模型以Step格式導入到Simsacpe中；最后，在Simulink中聯合滾珠絲杠進給系統伺服控制模型和機械半物理仿真模型，構建系統半物理仿真系統，并基于該模型開展不同指令軌跡條件下，滾珠絲杠進給系統運動精度仿真分析研究。

1 機械系統半物理仿真模型

指令軌跡作為滾珠絲杠進給系統輸入，既是驅動，也是激勵，其參數特征，對滾珠絲杠進給系統運動精度有重要影響。為開展滾珠絲杠進給系統在不同指令軌跡條件下運動精度仿真分析研究，利用SolidWorks建立了結構如圖1所示的3D滾珠絲杠進給系統模型。主要結構件有電機、聯軸器、絲杠、螺母、工作臺和、導軌及滑塊。

圖1 幾何模型

將圖1所示模型在SolidWorks中另存為Step格式，導入到Simscape中，構建機械系統半物理仿真模型。同時，為模擬運動副柔性，將聯軸器、軸承、絲杠螺母和導軌滑塊等連接等效為彈簧阻尼單元，如圖2所示。并通過查閱產品手冊獲得具體剛度參數，如表1所示。因本文主要針對指令軌跡開展仿真研究，故視機械系統參數為定值。最終的機械系統半物理仿真模型如圖2所示。

表1 運動副剛度

圖2 機械傳動系統半物理機電耦合仿真模型

滾珠絲杠進給系統的尺寸參數和材料參數如表2所示。

表2 結構件參數

2 伺服控制系統模型

基于Simulink搭建包含驅動器、控制器的滾珠絲杠進給系統伺服控制系統仿真模型。滾珠絲杠進給系統采用永磁同步電機驅動，采用三環PID閉環矢量控制方式。

2.1 電機模型

采用矢量控制方法，通常設定id=0，則永磁同步電機定子電壓和磁鏈方程在dq坐標系中可表示為

式中：ud和uq表示d軸和q軸的定子電壓； ψd和 ψq表示d軸和q軸的定子磁鏈；Rs表示電樞繞組電阻；id和iq表示d軸和q軸的電樞電流；Lq表示電樞電感；ψf表示磁鏈； ω表示電機角速度。

則有

其中：p表示電機極對數， ωr表示電機轉子角速度。

由式（1）可推導出

永磁同步電機在旋轉dq坐標系中電磁轉矩方程可表示為

永磁同步電機轉子動力學方程可表示為

式中：Te表示電磁轉矩；Tm表 示負載扭矩；b表示阻尼系數；J表示轉動慣量。

則由式（3）～式（5）可推導出

2.2 控制系統模型

控制系統采用三環控制，其中電流環和速度環控制采用PI控制，位置環控制器采用P控制，傳遞函數可表示為

式中：Kp、Kv、Ki分別表示位置環、速度環和電流環的比例增益；G1表示位置環，G2表示速度環，G3表示電流環；Tv、Ti表示速度環和積分環的積分常數。

根據以上推導，在Simulink中搭建伺服控制系統仿真模型，并在Simlulink中和機械結構的Simscape模型子系統組成滾珠絲杠進給系統半物理機電耦合仿真模型，結構如圖3 所示。圖3中Simscape方框即圖2中的機械系統半物理仿真模型。圖3中Kt表示電機力矩常數，Ke表示電機反電動勢常數，Lm表示電機等效電感，Rm表示電機等效電阻。

圖3 伺服控制系統仿真模型

3 指令軌跡及仿真分析

指令軌跡的參數特性主要包括位移、速度、加速度和加加速度。在滾珠絲杠進給系統工作過程中，無法確保每一個特性參數都連續變化，特別是多軸聯動加工機床，刀尖點的軌跡根據運動學關系分解到進給系統，再經數控系統插補后行程實際輸入指令，面對復雜形狀的軌跡，指令軌跡參數更為復雜和多變。

3.1 指令軌跡

充分考慮指令軌跡參數變化情況，設計了包含位移突變、勻速、勻加速和變加速運動軌跡，如圖4所示。其中，軌跡1為勻速運動軌跡，初速度不為零，加速度、加加速度均為零；軌跡2為階躍位移軌跡，位移在t=1.5 s時發生跳躍，速度、加速度和加加速度都存在突變；軌跡3為勻加速、勻減速軌跡，在t=2 s位置時，加速度和加加速度有突變；軌跡4為5段S型軌跡，加加速度存在突變；軌跡5為變加速運動，速度、加速度和加加速度都為正弦，均連續、無突變。

3.2 仿真分析

基于圖3所示滾珠絲杠進給系統半物理機電耦合仿真模型，以圖4為指令軌跡，分別考察系統運動精度。分別以工作臺反饋位置信息和輸入位置信息做差得到系統跟蹤誤差，如圖3所示以perr表示。

圖4 指令軌跡

滾珠絲杠進給系統在設定的運動軌跡條件下，其跟蹤誤差如圖5所示。由圖5a可見，對于勻速運動軌跡，由于初速度設置不為零，導致滾珠絲杠系統跟蹤誤差在開始階段存在很大波動，待系統速度穩定之后，跟蹤誤差基本穩定，維持在0.4 mm左右，存在的波動誤差是由于系統振動造成，波動誤差穩定在35 μm范圍內。由圖5b可見，對于階躍軌跡，在位置突變處，存在很大 的跟蹤誤差，該跟蹤誤差跟位置突變值正相關，而且會產生很大系統震蕩，該現象對于加工十分不利。由圖5c可見，對于位移連續、速度連續的軌跡，其跟蹤誤差也是連續變化，無強烈震蕩，其跟蹤誤差穩態部分與軌跡速度正相關，軌跡3的最大跟蹤誤差達到0.85 mm，軌跡4的最大跟蹤誤差達到0.51 mm，軌跡5的最大跟蹤誤差達到0.84 mm。三種軌跡跟蹤誤差不同的主要各軌跡的速度和加速度參數不同，軌跡3的最大跟蹤誤差出現在速度最大處。同時，軌跡3、軌跡4和軌跡5的跟蹤誤差穩態成分隨速度變化而變化。另外，由圖5a可見，3種軌跡跟蹤誤差的波動部分基本位置在30 μm，由圖5c軌跡5的跟蹤誤差可見，在位移軌跡小曲率位置處存在明顯增大現象，可見與加速度關系更為密切。

圖5 跟蹤誤差

綜上所述，可見跟蹤誤差與指令軌跡參數存在密切關系，即使在系統為確定模型情況下，隨著輸入指令軌跡參數的變化，系統跟蹤誤差仍會發生變化。由分析結果可見，跟蹤誤差穩態部分主要受位置參數和速度參數影響，而跟蹤誤差波動部分主要受指令軌跡加速度參數影響。因此，在軌跡規劃的過程中，應該根據工藝要求，限制指令軌跡位置突變、最大速度和加速度等信息，以提高滾珠絲杠進給系統運動精度，進而提高多軸聯動機床加工精度。

4 結語

以滾珠絲杠進給系統為研究對象，基于Simulink和Simscape搭建了滾珠絲杠進給系統半物理機電耦合仿真模型，開展了不同指令軌跡條件下，滾珠絲杠進給系統跟蹤誤差特性研究。結果顯示，滾珠絲杠進給系統跟蹤誤差與指令軌跡位置、速度和加速度參數緊密相關。其中，跟蹤誤差穩態部分主要受位置參數和速度參數影響，特別是位置的突變和速度突變，不僅會導致跟蹤誤差的增大，而且會導致嚴重的系統震蕩，對加工極為不利；而跟蹤誤差波動部分主要受指令軌跡加速度參數影響，在實際加工過程中可通過改變加速度方式限制滾珠絲杠進給系統跟蹤誤差中的波動誤差。