兩種極限的換序問題

董正華

(商丘師范學院，河南 商丘 476000）

0 引言

在進行數學運算時，常涉及到兩種運算的換序問題，比如在計算時，可以在更方便的情況下轉而計算即可以交換兩個求和運算的次序。

數學分析中需要處理許多分析運算，同樣會遇到分析運算的換序問題，這里所說的分析運算指極限，積分，微分等，由他們的定義便可知它們都可以歸結為極限運算，因此兩種極限的換序問題即可擴展為函數列及級數中的換序問題，積分中的換序問題，微分中的換序問題等。下面我們就從一致收斂性,連續性和換序問題的延伸三個方面分別討論運算中的換序問題。

1 連續性

1.1 累次級限的交換定理

（3）若重極限存在且兩個累次級限都存在則三者相等

這個定理說明兩個累次級限都存在時，重極限存在是兩個累次級限相等的一個充分條件，當重極限不存在時，下面的定理在很多情形下有重要作用。

1.2 高階偏導換序定理

設 D 為（x0，y0）的某個鄰域，f在 D 內有二階偏導，令

則 fyx（x0，y0）=fxy（x0，y0） 可 由 兩 個 累 次 級 限存在且相等推得。

2 一致收斂性

2.1 函數列及級數中的換序定理

設｛fn｝是定義在上[a，b]的函數列，則諸fn（x）的連續性，可積性，可微性能否傳遞給極限函數f（x），并且f（x）的導數及積分都可以通過｛fn｝中的諸函數的導數，積分的極限來獲得？這均可歸結為累次級限交換次序問題：

（1）f（x）在 x0處連續等價于

（3）f（x）在 x0點處可導等價于其中

又由于 f′n（x）一致收斂于 σ（x），故 σ（x）連續，由定理 2

由于左邊的導數存在，故 f′（x）存在且 σ（x）=f′（x），又 fn（x）及定理5即得極限號與求導號可以交換順序。

2.2 含參變量的積分中的換序問題

此換序問題可以分為含參變量的定積分和含參變量的廣義積分兩個方面來討論。

定理 10 設 f（x，y）在矩形[a，b；c，d]上連續，則（x，y）dx 是[c，d]上的連續函數，就有y）dx，即在定理的條件下極限運算可以通過積分號。

同理可得微分運算可以通過積分號。

3 問題的延伸

3.1 無窮小數列的延遲一致性及其應用

延遲一致性是指：相應任意給定的正數ε，無窮小序列（ank）中總存在第N行，使得該行以下各行的元素出現性質|ank|<ε需要一個滯后期，數列的序號越大，等候期越長，而一直無窮小序列則不需要這個等候。

3.2 定積分中的重積分技術

解：直接計算是不可能的，解此類題有兩種典型方法，一是先求出變上限積分的導數，再用分部積分公式展開，并將導數代入；另一種是將函數代入后交換二次積分順序，即重積分技術。

3.3 實變函數中的極限換序

在實分析理論中，有較多的篇幅討論了可測函數的極限與積分的換序問題，諸如Levi定理,Fatou引理及Lebesgue控制收斂定理等連續求和理論中著名的極限定理。

4 結語

根據極限的特殊性質討論了兩種極限換序問題，此問題的討論總結歸納了進行數學運算和證明時的許多思路和方法，并通過具體例子詳細驗證了有些思路，因此此問題的討論據有較強的普遍性和應用性。

[1] 陳傳璋等.數學分析（上·下冊）（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983，7

[2] 菲赫金哥爾茨.微積分教程（第一卷第二分冊）[M].北京：人民教育出版社，1959（第二版）.

[3] 路可見，鐘壽國，劉士強.復變函數[M]，武漢大學出版社，1993，178～182.

[4] 程其襄等.實變函數與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003，12.