基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計
——以指數(shù)函數(shù)概念為例

●高照穎 趙寶江

近幾年高考中對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查層出不窮，以解決實際生活問題為主，而高中教師對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模還停留在應(yīng)試教育階段，用“唯分論”去評價學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，能做對題才是重點，沒有意識到數(shù)學(xué)價值，那么如何設(shè)計有效地融入數(shù)學(xué)建模、真正用數(shù)學(xué)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值魅力的教學(xué)過程至關(guān)重要，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考能力，實際問題數(shù)學(xué)化，更好地掌握理解新知，將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際生活中，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的眼睛。

一、基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計策略

1.實際問題驅(qū)動，創(chuàng)設(shè)合理情境。問題是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的脈搏，好的問題使得建模教學(xué)活動更具活力，學(xué)生參與建模的積極性更強，以問題為主線啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生對實際問題的直觀感知、思考分析、巧妙解決與感悟反思，層層遞進“螺旋上升”式的建模思維培養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計以實際例子進行引入，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題背景，激發(fā)學(xué)生對新知的渴求，讓學(xué)生全身心地投入到數(shù)學(xué)建模應(yīng)用環(huán)境中，要求教師在情境設(shè)置中選取應(yīng)用性及趣味性強的建模問題，進一步讓學(xué)生體會建模快樂與魅力。

2.滲透建模思想，呈現(xiàn)完整建模過程。建模教學(xué)中要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型對于高中生來說是個比較難駕馭的課題，課堂處理方法相對靈活，因此教師在教學(xué)中要善于營造數(shù)學(xué)建模環(huán)境，呈現(xiàn)完整建模過程，通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實際現(xiàn)象所作的一個近似刻畫，進而促進學(xué)生深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模過程大致有以下幾個流程：提出問題—思考問題—闡明符號—假設(shè)模型—建立模型—求解模型—驗證與改進等,教師在教學(xué)設(shè)計過程中應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，滲透建模思想，呈現(xiàn)完整的數(shù)學(xué)建模過程[2]。

3.創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計流程，深化建模意識。教學(xué)設(shè)計分為六步走：創(chuàng)、析、建、練、用、悟?！皠?chuàng)”是針對給出的實際問題，創(chuàng)設(shè)情境，初步感知，激發(fā)學(xué)生的求知欲；“析”是分析問題，分析實際問題中數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系，嘗試運用圖像、表格等表示出來利于分析理解；“建”是建立模型，將抽象的數(shù)學(xué)問題符號化、精細(xì)化并求解模型；“練”是練習(xí)鞏固，通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題，真正理解并熟練應(yīng)用模型；“用”是學(xué)以致用，能夠運用已學(xué)模型解決其他情境中的問題，舉一反三，熟練應(yīng)用；“悟”是感悟理解，是基于建模素養(yǎng)下的課堂教學(xué)收獲與反思，感悟數(shù)學(xué)建模的思想方法解決實際問題，深化建模意識應(yīng)用于實際生活。

二、基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計案例

選自人教A版新教材，以指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計為例，根據(jù)教學(xué)設(shè)計五步走，滲透培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

《指數(shù)函數(shù)概念》（一）

步驟一：“創(chuàng)”創(chuàng)設(shè)問題情境

教師：通過問題敘述，引出本節(jié)課所學(xué)新知情境問題1：同學(xué)們，你們領(lǐng)略過祖國的哪些大好河山？是北方的萬里長城？還是南方的西湖美景？隨著人民日益增長的美好生活使得旅游成了人們娛樂放松的方式之一。那么老師要考考大家，現(xiàn)在有A景區(qū)和B景區(qū)，在2011年起A地區(qū)針對人群數(shù)提高門票，而B地區(qū)免費觀光游玩。如表1所示，2011年—2015年，不同年份人數(shù)增加情況。

表1 不同年份與A、B景區(qū)旅游人次統(tǒng)計表

比較A地區(qū)和B地區(qū)人次的變化，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？

情境問題2：同學(xué)們，有一種放射性元素叫碳14，生物體死亡后其含量會按比率衰減（稱為衰減率），大概每過5730年就衰減為原來含量的1/2。如若按照上述規(guī)律，試問其剩余量與死亡年數(shù)的關(guān)系是什么？

學(xué)生：分析給出的兩個實例，小組討論，初步感知

設(shè)計意圖：通過旅游人數(shù)變化規(guī)律和生物體碳14變化規(guī)律這兩個實例，讓學(xué)生在實際生活中自主發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生真正用數(shù)學(xué)的意念，初步感知建模實際問題。

步驟二：“析”分析問題

教師：提示學(xué)生對于情境問題1，可采用畫出圖像，觀察會出現(xiàn)什么規(guī)律？情境1中根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，用matlab軟件分別畫出A地區(qū)和B地區(qū)旅游人數(shù)變化示意圖（圖略）。

學(xué)生：通過觀察圖像，可以看出：A地區(qū)人次變化近似直線上升，B地區(qū)人次是非線性變化，年增加量越來越大。

教師：該怎么用數(shù)學(xué)語言表達B地區(qū)人數(shù)變化規(guī)律呢？我們可以知道用減法可得B地區(qū)人數(shù)的年增加量，用除法可得B地區(qū)人數(shù)的年增長率。

學(xué)生：嘗試用2002年人數(shù)除以2001年的人數(shù)，再用2003年人數(shù)除以2002，以此類推可以得到

驚喜發(fā)現(xiàn)B地區(qū)景區(qū)人數(shù)增長率近似為一個常數(shù)。

設(shè)計意圖：教師啟發(fā)誘導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生投入B地區(qū)人次變化的分析思考，讓學(xué)生在做中學(xué)，自主探究，建構(gòu)主義強調(diào)應(yīng)用已學(xué)的知識建構(gòu)未知的知識領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識。

步驟三：“建”建立模型與求解

教師：增長率為常數(shù)（大于0且不等于1）的變化方式，叫做指數(shù)增長．B景區(qū)人數(shù)變化情況如何用數(shù)學(xué)式子表示呢？嘗試列出表格尋找數(shù)據(jù)間的邏輯關(guān)系。

學(xué)生：通過小組探究列出表格

表2 年份與旅游人數(shù)關(guān)系

設(shè)X年后的游客人數(shù)為2001年的y倍，那么可得數(shù)學(xué)表達式

y=1.11x（x∈（0，+∞））①，其中指數(shù)X是自變量

教師：學(xué)生們通過一步步探究得出B地區(qū)人數(shù)變化的函數(shù)模型，這就是簡單的數(shù)學(xué)建模過程。

設(shè)計意圖：循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生對實際問題建立數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生對實際問題的分析，學(xué)生從對模型的感性認(rèn)識上升至理性思考，進一步打消學(xué)生對分析實際問題的畏難心理，對數(shù)學(xué)建模有初次的感知和信心。

步驟四：“練”練習(xí)鞏固

教師：針對情境問題1，同學(xué)們已經(jīng)嘗試通過函數(shù)模型①近似表示出B地區(qū)旅游人次變化情況，已經(jīng)初步感知如何運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題，在此基礎(chǔ)上，下面就請同學(xué)們自主探究完成情境問題2，可采用假設(shè)法并列出表格，觀察數(shù)據(jù)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？嘗試并建立相應(yīng)函數(shù)模型近似表示之間的關(guān)系。

同學(xué)：通過列表找出邏輯關(guān)系：

表3 死亡時間與體內(nèi)碳14含量的關(guān)系

符號：x表示死亡年數(shù)，y表示剩余碳14，可得y=（1-p)x，則

教師總結(jié)：更一般的，用字母來替換兩個函數(shù)式的底數(shù)，那么函數(shù)可表示為y=ax，其中a＞0，且a≠1，x為自變量。通過同學(xué)們經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程找到問題1和問題2的函數(shù)模型，引出本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的什么是指數(shù)函數(shù)：一般地，形如函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)叫指數(shù)函數(shù)，其中是X自變量，定義域為R。

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生完成問題1的數(shù)學(xué)建模，學(xué)生對指數(shù)模型還停留在初步感知，學(xué)生通過自主練習(xí)完成問題2的建?；顒?，建構(gòu)知識，使指數(shù)函數(shù)概念這節(jié)課更具有啟發(fā)性和成長性，學(xué)生在練習(xí)中提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，感受成功的喜悅。

步驟五：“用”學(xué)以致用

作業(yè)布置：必做題：115頁練習(xí)3，求1個月（30天）后，海藻是原來的多少倍？

選做題：115頁閱讀與思考，通過上網(wǎng)查詢，能否給出一個倍增的指數(shù)函數(shù)模型實例。

設(shè)計意圖：通過作業(yè)布置，必做題是對指數(shù)函數(shù)模型的鞏固應(yīng)用，選做題通過查閱資料放射性物質(zhì)的衰減，尋找倍增的指數(shù)函數(shù)模型實例，是對指數(shù)函數(shù)模型的變式應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識和喜愛，從而循序漸進的提升建模素養(yǎng)。

步驟六：“悟”感悟理解

教師引導(dǎo)下學(xué)生總結(jié)：本節(jié)課通過對景區(qū)B和放射性元素碳14兩個實際問題的解決，經(jīng)歷從實際函數(shù)問題出發(fā)轉(zhuǎn)化化歸為數(shù)學(xué)問題，其次通過建模輔助工具信息技術(shù)畫出指數(shù)函數(shù)圖像，再次通過演繹推理、數(shù)據(jù)計算擬合出符合實際情境的函數(shù)模型并對函數(shù)模型進行求解，最后回歸于實際的指數(shù)函數(shù)問題中。教學(xué)中由“特殊—一般”得出指數(shù)函數(shù)概念，其中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模在解決實際問題的廣泛應(yīng)用。

設(shè)計意圖：“悟”感悟理解，這一環(huán)節(jié)相當(dāng)于對指數(shù)函數(shù)概念的堂課小結(jié)與回顧，不僅僅要求學(xué)生通過本堂課回顧學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，還歸納總結(jié)在指數(shù)函數(shù)教學(xué)過程中滲透建模思想，體現(xiàn)完整建模過程，真正會用數(shù)學(xué)建模思想，從而在函數(shù)課堂及今后學(xué)習(xí)中潛移默化地提升學(xué)生建模素養(yǎng)，深化學(xué)生用數(shù)學(xué)建模方法解實際生活問題的意識。

三、教學(xué)設(shè)計反思

相比于傳統(tǒng)指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計，本教學(xué)設(shè)計創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計流程并融入數(shù)學(xué)建模思想，引導(dǎo)學(xué)生通過兩個實際數(shù)學(xué)問題，找到用于近似模擬B地區(qū)人數(shù)變化規(guī)律和死亡生物體內(nèi)碳14變化規(guī)律的指數(shù)函數(shù)模型，通過教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，拋棄了教師的滿堂灌與專制，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)多角度、多趣味、多形式，實現(xiàn)了有效的指數(shù)函數(shù)模型教學(xué)。通過教學(xué)五步走“創(chuàng)—析—建—練—用—悟”，進一步創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建模環(huán)境，加強師生的數(shù)學(xué)建模意識。不僅在課堂教學(xué)設(shè)計中滲透數(shù)學(xué)建模思想，而且在課后鼓勵學(xué)生們利用課余時間進行數(shù)學(xué)建模活動完成選做題，進一步理解指數(shù)函數(shù)模型且激發(fā)學(xué)生建模信心，在日常教學(xué)過程中潛移默化提升學(xué)生建模素養(yǎng)。