基礎隔震結構的運動方程與阻尼矩陣在動力響應分析中的適用性研究

李世淵，譚 平,2,3，馬海濤,2,3

(1.廣州大學 土木工程學院，廣州 511442；2.廣州大學 工程抗震減震與結構安全重點實驗室，廣州 510405；3.廣州大學 廣東省地震工程與應用技術重點實驗室，廣州 510405)

運動方程和阻尼模型是結構動力分析算法的基礎，其合理性和適用性對計算精度有關鍵性影響，因此值得予以高度重視。基礎隔震結構由上部結構和含有隔震支座的隔震層組成，由于其隔震層的剛度一般遠低于上部結構，隔震支座會發生可觀的變形，引起上部結構較大幅度的剛體運動；另一方面，隔震支座一般都具有較高的阻尼，因此其使用可達到消耗能量、降低振動響應的目的。鑒于基礎隔震結構的特殊性，常規結構動力分析方法對其是否仍然適用以及這些方法的計算精度是值得研究的問題。

結構抗震時域動力分析常用的運動方程有兩種形式，其中的一種基于地震動加速度輸入以結構相對位移為未知量，另一種基于地震動位移輸入以結構絕對位移為未知量，與這兩種運動方程對應的兩種分析模型分別被稱為加速度輸入模型和位移輸入模型[1-2]。加速度輸入模型是考慮一致地震動作用時最常用的模型，被廣泛地用于結構分析計算和設計；事實上，真實地震動是隨著空間不斷變化的，這一特性將會導致結構各支承點激勵出現顯著差異，由其對大跨結構的動力響應具有明顯影響，此時一致加速度模型不在適用，而應采取適用于多點輸入的計算模型或方法[3-4]。位移輸入模型較易于用于考慮多點激勵情況，因此成為計算結構非一致地震動作用下動力響應的常用模型[5-7]；值得指出的是，位移輸入模型不僅適用于非一致地震動作用下動力響應，同時也適用于一致地震動作用下動力響應。田玉基等[1]采用位移輸入模型和加速度輸入模型進行了單自由度無阻尼體系的時域分析，研究了時間步長對計算精度的影響，得到同一時間步長情況下位移輸入模型計算精度較高的結論。柳國環等對位移輸入模型和一致加速度模型進行了分析比較，認為兩者本質上存在差別，因此會導致計算結果的不同。國巍等[8]研究了考慮多點激勵的隔震結構分析模型，探討了加速度模型和位移模型中的阻尼定義以及計算誤差和適用性等問題，提出了通過計入阻尼項構造的修正位移模型和修正加速度模型，并建議對于實際結構模型可能產生的誤差做進一步研究。何衛平等[9]針對水工大壩結構研究了位移輸入模型在地震響應分析中的適用性問題，分析了位移與加速度輸入模型間的差異，提出采用位移輸入模型時必須判斷其給出結果的誤差水平，避免計算精度不滿足要求的情況。

常規結構的阻尼模型已有大量的研究，針對不同情況提出了各種模型；例如，對于非比例阻尼結構，可在分別生成各部分的阻尼矩陣之后進行組裝形成結構的總體阻尼矩陣[10]。而針對隔震結構阻尼矩陣的相關研究則還非常有限，目前一般采用的是適用于普通非比例阻尼結構的方法，亦即按常規方法生成上部結構的阻尼矩陣，然后直接將其與隔震系統的阻尼矩陣疊加形成總體阻尼矩陣[11]。國巍等在考慮多點激勵的隔震結構分析模型的研究中提出位移模型和加速度模型的阻尼特性不一致的問題。周國良等[12]討論了一致激勵與多點激勵情況下基底大質量法和支座強迫位移法的適用性問題，分析了應用Rayleigh阻尼模型計算阻尼力的差別，并提出了修正算法。

值得注意是，常用的地震響應分析模型中，位移輸入模型所采用的運動方程建立在結構阻尼作用比較小的假設條件基礎之上，是通過忽略與結構阻尼和地震動速度相關的等效荷載而得到的。盡管對于低阻尼常規結構，位移輸入模型通常可以給出滿足精度要求的分析結果，但對于隔震結構，高阻尼隔震支座的應用使得假設條件不再成立，而且隨著支座阻尼的提高，被忽略的部分等效荷載所產生的誤差將會增大，不可避免地影響計算精度。Wilson[13]認為與地震動速度相關的等效荷載因為相關聯的阻尼矩陣無法確定，所以也有必要將其忽略，進而得到位移輸入模型。相比之下，加速度輸入模型則沒有此類限制條件，理論上其計算精度與結構的阻尼特性無關。

目前隔震結構的分析一般采用將上部結構與隔震系統的阻尼矩陣直接疊加生成總體阻尼矩陣的方法，而且通常對上部結構采用Rayleigh阻尼模型，例如文獻[11]。但這樣做會產生一個后果：上部結構在隨隔震支座發生剛體位移時將會產生阻尼力，而這顯然與實際情況是不符的。

基于以上討論，本文將針對隔震結構研究阻尼模型和地震動輸入模型對動力分析計算精度的影響規律，提出相應的解決方法。本文從常規結構的運動方程出發，采用不同形式絕對或相對位移變量，推導對應的隔震結構運動方程，再基于隔震結構的變形特性和上部結構中阻尼力分布應滿足的條件，提出隔震結構阻尼矩陣的通用表達式。采用隔震結構簡化模型，給出動力分析所涉及的全部結構矩陣的解析表達式，并以此為基礎進行算例驗證，詳細分析阻尼模型和地震動輸入模型對隔震結構計算結果精度的影響，最后給出結論和建議。

1 隔震結構理論模型

1.1 一般結構運動方程

多自由度結構在(一致)地震作用下的運動方程可表示為以下形式

(1)

式中：M、C和K表示結構總體質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ur(t)表示結構相對基礎運動的位移向量；ug(t)表示基礎位移；E為地震動影響向量E=[1,1,…1]T；標識符上的一點和兩點表示對時間的一階和二階導數。

采用(1)式給出的運動方程以及適當的初始條件，我們可以根據地震動加速度時程確定結構的相對位移，進一步確定結構動力響應。對應的計算模型常被稱為加速度輸入模型。用ut(t)表示結構的總體位移向量，則對應的相對位移向量ur(t)可表示為

ur(t)=ut(t)-Eug(t)

(2)

將式(2)代入式(1)，整理后可得

(3)

方程右端的兩項依次表示對應于地震動速度和位移的等效荷載。值得指出的是，式(3)與式(1)給出的運動方程盡管形式不同和需要采用不同的地震動時程作為輸入，但理論上完全一致。當輸入的地震動數據一致并且結構初始條件相同時，兩種形式的運動方程的解應完全一致；若不計數值誤差，兩個解應嚴格滿足式(2)。

對于常規結構，結構阻尼作用相對較小，式(3)給出的運動方程右端與地震動速度相關的等效荷載通常可以忽略不計，此時運動方程可改寫為

(4)

以此為基礎，可以得到相應的位移輸入模型，并根據適當的初始條件和地震動位移時程確定結構的絕對位移。

盡管位移輸入模型在結構地震響應計算中已經獲得了成功應用，但對于隔震結構，可否在運動方程中忽略與地震動速度相關的一項是一個被輕視的問題，目前還缺乏對位移輸入模型有效性和計算精度的深入系統研究。另一方面，與地面運動速度相關的右端項和隔震結構阻尼矩陣有關，位移輸入模型的誤差問題本質上是阻尼問題。而位移-速度輸入模型有效克服了位移輸入模型存在的問題，保留了與地面運動速度相關的阻尼耦合項，但由于通常認為此項無法確定，導致位移-速度輸入模型的使用受到了限制。

由上述分析可知，隔震結構的阻尼矩陣對地震動輸入模型合理使用起著重要的作用。鑒于目前形成隔震結構阻尼矩陣的方法存在一定的缺陷，本文將首先對隔震結構阻尼矩陣進行理論推導，提出了為得到準確結果需要采用形成隔震結構阻尼矩陣的方法和理論依據，得到了關于隔震結構阻尼矩陣的通用表達式。在此基礎上，研究采用不同的地震動輸入模型對隔震結構響應的影響規律。

1.2 隔震結構運動方程

考慮一個上部結構具有n個自由度的隔震結構，并假設其相對基礎運動的位移向量ur(t)可以記為

(5)

(6)

式中：下標為ss的子矩陣維數為n×n；下標為sb的子矩陣維數為n×1(即n階列向量)；下標為bs的子矩陣維數為1×n(即n階行向量)。因為矩陣的對稱性，三個矩陣中下標為sb的子矩陣等于對應的下標為bs的子矩陣的轉置。隔震層的質量、剛度和阻尼常數可依次記為mb、kb和cb，隔震結構的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣可表示為以下形式

(7)

應該指出的是，式(6)中的上部結構質量和剛度矩陣可采取與常規結構動力分析同樣的方式確定，其中的Mss和Kss分別表示上部結構在隔震層位移固定狀態下的質量和剛度矩陣。但是，由于隔震層的存在，相對位移向量中將包含對應于上部結構隨隔震層變形時剛體位移的成分，因此式(6)中的上部結構的阻尼矩陣應與常規結構動力分析情況下的阻尼矩陣不同。我們將在下一節具體討論這一問題。

對于上部結構，引入相對隔震層的位移向量us(t)=ur(t)-ub(t)Es，其中，Es為影響向量E中與上部結構相關的前n個分量構成的列向量。此時可定義隔震結構相對隔震層的位移向量如下

(8)

于是，相對基礎運動的位移向量ur(t)可以表示為

ur(t)=Tu(t)

(9)

其中，T為下式給出的轉換矩陣

(10)

(11)

式中的M*、C*、K*和Q*分別為下式給出的矩陣或向量

M*=TTMT,C*=TTCT,

K*=TTKT,Q*=-TTME

(12)

將式(7)和(10)代入式(12)，可得

(13)

引入的子矩陣和變量分別為

(14)

1.3 隔震結構阻尼矩陣

(15)

另一方面，依據(11)式中的運動方程，子矩陣Kss和Css應為上部結構在隔震層位移固定狀態下的剛度和阻尼矩陣，也就是上部結構的常規阻尼矩陣。

(16)

至此，我們確定了上部結構對隔震結構總體阻尼矩陣的貢獻，即式(6)中的矩陣Cu，將其代入式(7)，可得隔震結構的阻尼矩陣的表示式如下

(17)

很明顯，隔震結構的阻尼矩陣由上部結構阻尼矩陣子塊Css、隔震層阻尼cb和影響向量Es完全確定。而與此對應地，我們有

(18)

(19)

顯然此式給出了合理的隔震結構的阻尼力分布。

對于上部結構阻尼矩陣可采用Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型來形成，采用Rayleigh阻尼模型時，上部結構阻尼矩陣可表示為

Css=αMss+βKss

(20)

上部結構阻尼矩陣采用Caughey阻尼模型來形成時，Css可表示為

(21)

假若直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結構對隔震結構阻尼矩陣的貢獻，也就是取Cu=αMu+βKu，隔震結構的阻尼矩陣為

(22)

式中，Css=αMss+βKss。顯然，式(22)與由式(17)給出的阻尼矩陣明顯不同，而且當上部結構隨隔震層發生剛體位移時，據此得到的隔震結構阻尼力向量為

(23)

這比式(19)中的表達式多出與上部結構的質量矩陣和質量阻尼系數相關的一項，當質量阻尼系數α≠0時，對上部結構給出了非零的結構阻尼力，明顯與實際情況不符，說明直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結構對隔震結構阻尼矩陣的貢獻是不恰當的。我們將用數值算例結果證明這一做法可能產生較大的計算誤差。

2 隔震結構分析方法

至此，我們得到了隔震結構阻尼矩陣的一般表達式。基于這一表達式給出的阻尼矩陣，可以采用不同的地震動輸入模型進行隔震結構分析。本文將考慮以下三種分析算法：

算法 1：采用加速度輸入模型，利用式(1)中的運動方程以及初始條件，根據地震動加速度求解位移向量ur(t)，或者基于(11)式求解位移向量u(t)；

算法 2：采用位移輸入模型，利用式(4)中的運動方程以及初始條件，根據地震動位移求解位移向量ut(t)；

算法 3：采用位移-速度輸入模型，利用式(3)中的運動方程以及初始條件，根據地震動位移和速度求解位移向量ut(t)；

算法1和算法2實際上是結構地震響應計算中常采用的方法。由于隔震支座一般具有較高的阻尼，而位移輸入模型在運動方程中忽略了與地面運動速度相關的右端項，因此算法2用于隔震結構分析存在潛在的計算精度問題，還需考察研究。相比之下，位移-速度輸入模型保留與地面運動速度相關的右端項，與加速度輸入模型在理論上一致，有效克服了位移輸入模型自身的缺陷。

3 隔震結構簡化模型

本文的討論至此未對隔震結構的具體形式加以限制，所以理論推導結果適用于一般隔震結構。為方便起見，接下來我們將考慮圖1所示的剪切型簡化模型，這樣我們可以給出涉及到的全部結構矩陣具體的解析表達式。

圖1 基礎隔震結構剪切型模型Fig.1 A shear-type modelof base-isolated structures

首先，對于上部結構的質量矩陣和剛度矩陣，可表達為

(24)

對于上部結構的阻尼矩陣，采用Rayleigh阻尼模型時，有Css=αMss+βKss。注意此時影響向量E為全部元素皆等于1的n+1維向量。由式(15)和(16)，可得阻尼矩陣子塊Csb和Cbb的表達式

Csb=-αms-βks,Cbb=αmstot+βk1

(25)

(26)

假若直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結構對隔震結構阻尼矩陣的貢獻，則阻尼矩陣子塊Csb和Cbb的表達式為

(27)

對比式(25)，可以發現上式中缺少了與上部結構質量相關的部分。

至此，我們得到了采用隔震結構剪切型簡化模型進行動力分析所需要的基本矩陣的解析表達式。將以上表達式代入式(14)，可得到式(11)中運動方程的系數矩陣，進一步可驗證它們與文獻[14]采用的表達式完全一致。

4 算例分析與結果討論

為研究不同分析模型的計算精度，本節給出了兩個隔震結構的動力時域分析典型算例，算例抗震設防烈度均為8度，II類場地，設計地震分組為第二組，場地特征周期為0.4 s，設計基本加速度為0.2g。通過數值結果的總結和對比，著重研究隔震結構阻尼矩陣的形成方式和地震動輸入模型對計算精度的影響：

(1) 隔震結構阻尼矩陣的形成方式：用Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型表示上部結構的阻尼特性，采用Rayleigh阻尼模型時，分別應用1.3節討論的兩種方法計算上部結構對隔震結構阻尼矩陣的貢獻，亦即直接計算或根據本文提出的方法進行計算；

(2) 地震動輸入模型：采用第2章列出的三種地震動輸入模型，亦即常規的加速度輸入模型和位移輸入模型，以及位移-速度輸入模型。

為進行隔震結構的動力時域響應分析，從加利福尼亞大學伯克利分校太平洋地震工程研究中心(PEER)的數據庫中選取了四條地震波，相關信息如表1所示。具體的位移、速度和加速度時程皆可從PEER的網站(https:∥peer.berkeley.edu/)下載獲得。在計算過程中，將4條波的地震動加速度幅值調至設計地震動加速度規定值(0.2g)，對應的速度和位移時程亦可通過加速度調幅比例進行調整。圖2給出了4條波反應譜與規范反應譜對比情況。

表1 地震波記錄信息Tab.1 Ground motion records information

圖2 地震動反應譜與規范反應譜對比Fig.2 Comparison of the code design spectrum and the spectrum of the 4 natural ground motions

動力時域分析將采用Newmark-β逐步積分法，積分步長取為地震波記錄的時間步長。對于剪切型隔震結構模型，上部結構的層間位移決定著變形和內力的大小，而隔震支座變形也是分析設計中主要關注的響應量。因此，在算例結果中僅考慮上部結構層間位移和隔震層相對位移。

4.1 單層隔震結構模型算例

首先考慮一個將上部結構簡化為單自由度子系統的雙自由度基礎隔震結構模型，上部結構與隔震層的質量、剛度和阻尼參數如表2所示[15]。上部結構的臨界阻尼比為0.05，而隔震層等效阻尼比ξb=0.3。

表2 單層隔震結構模型質量與剛度數據Tab.2 Mass and stiffness data for the one-story base-isolated model

首先考慮El Centro波，分別采用三種算法進行時域響應分析。圖3給出了上層結構層間位移和隔震層相對位移時程結果，從中可以看出，加速度輸入模型和位移-速度輸入模型給出的相對位移時程曲線高度吻合，而位移輸入模型結果則有很大的偏差。再考慮另外三條地震波，分別采用三種算法進行時域響應分析，得到的時程結果同樣具有以上特征。為節省篇幅未給出對應的位移時程曲線，但在表3給出了不同算法給出的最大相對位移結果，以及用加速度模型的結果作為參考解時的相對偏差。可以發現，對于全部四條地震波，加速度輸入模型和位移-速度輸入模型的結果均高度一致，相對偏差不超過0.1%；但位移輸入模型全都高估隔震層位移、低估上部結構的層間位移。很明顯，因為位移輸入模型的運動方程沒有考慮與地震動速度相關的等效荷載項，結果導致較大的誤差。

容易理解，位移輸入模型給出的結果的誤差與地震激勵有關，因此響應結果的相對偏差可能在一個較大范圍內變化。對于采用的四條地震波，隔震層最大相對位移結果的偏差范圍為3.5%～31.0%，而最大層間位移結果的偏差范圍為14.2%～49.5%。特別值得注意的是，對于Northridge波，盡管隔震層相對位移偏差僅為3.5%，上層結構層間位移相對偏差達到了近50%。對隔震層位移時程結果進行分析后發現，雖然位移輸入模型給出的最大值相對偏差不大，具體時程還是有顯著的差別，所以造成上部結構最大層間位移結果有很大偏差。表3中最后一列中的數據說明，上部結構層間相對位移和隔震層相對位移的結果偏差不成比例，因此僅僅通過比較隔震層相對位移最大值是否接近來判斷隔震結構分析結果的精度是不夠的。

4.2 五層隔震結構算例

考慮文獻[11]中的五層隔震結構模型，上部結構的臨界阻尼比設為0.05，隔震層的等效阻尼比ξb=0.21，其上部結構和隔震層的質量與剛度分布如表4所示。

(a) 上部結構

表3 單層隔震結構最大相對位移結果Tab.3 Maximum relative displacement results of one-story base-isolated model

表4 五層隔震結構質量與剛度數據Tab.4 Mass and stiffnessdata for the five-story base-isolated model

我們將采用Rayleigh阻尼構造上部結構阻尼矩陣。計算得到整體結構的前兩階固有頻率分別為ω1=3.71 rad/s和ω2=15.46 rad/s，命對應的模態阻尼比為0.05，可計算得到質量和剛度阻尼系數為α=0.299 0，β=0.005 2。

分別采用三種算法和El Centro波進行隔震結構的時域響應分析。表5給出了不同分析模型給出的最大相對位移和偏差。可見位移-速度輸入模型與加速度輸入模型的結果高度一致，而位移輸入模型高估隔震層位移、低估上部結構的層間位移，最大相對偏差達到近20%，再次說明位移輸入模型不適用于隔震結構。

表5 五層隔震結構最大相對位移結果 (ξb=0.21)Tab.5 Maximum relative displacement results of the five-story base-isolated model (ξb=0.21)

為了考察隔震結構阻尼矩陣采用不當對分析結果的影響，我們采用直接考慮上部結構對隔震結構阻尼矩陣貢獻的算法重復進行分析，并將結果總結于表6。表中數據顯示，加速度輸入和位移-速度輸入模型給出的結果接近，隔震層位移和上部結構層間位移結果都明顯偏低，上部結構最大偏差達到了5.56%，隔震層最大相對偏差達到了8.39%。由此可見，對于隔震結構，直接考慮上部結構對隔震結構阻尼矩陣貢獻的方法會低估結構的變形。

表6 直接計算上部結構阻尼貢獻時五層隔震結構最大相對位移結果(ξb=0.21)Tab.6 Maximum relative displacement results of the five-story base-isolated model when the damping of superstructure is used directly (ξb=0.21)

為了考察不同隔震層阻尼比情況下不同計算模型的精度，可將隔震層的等效阻尼比范圍取為0～0.3[16]。

首先考慮在不同阻尼模型下對隔震結構動力響應的影響，為了比較不同阻尼矩陣下的隔震結構響應差異，分析時均采用一致加速度輸入模型，并將結果總結于圖4中。從圖4中可以發現，在不同隔震層等效阻尼比情況下，直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結構阻尼貢獻時，隔震結構的相對位移明顯偏低，均低估了隔震結構的響應，其中，底層層間位移最大相對偏差為5.38%～12.47%，頂層層間位移最大相對偏差為2.83%～15.77%，隔震層相對位移最大相對偏差為5.14%～13.95%；另一方面，隨著隔震層等效阻尼比的增大，直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結構阻尼貢獻時的計算相對偏差隨之減小。這是因為，直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結構阻尼貢獻時的阻尼矩陣與本文所提阻尼矩陣的不同之處在于缺少了與上部結構質量相關的部分。當隔震層阻尼比較小時，此項對隔震結構的響應影響起主要作用，因此采用直接計算上部結構阻尼貢獻時阻尼模型計算的相對偏差較大，隨著隔震層等效阻尼比增大，隔震層等效阻尼系數增大，此時隔震層等效阻尼系數將對隔震結構響應的影響起主要作用，與上部結構質量相關的部分對隔震結構響應的影響減弱，相對偏差隨之減小。

另一方面，考察隔震結構在不同隔震層等效阻尼比情況下，采用第2章提到的隔震結構分析方法分析隔震結構動力響應。值得注意的是，在此部分分析中采用的阻尼矩陣均是本文所提阻尼矩陣，以避免其它不相干因素對分析結果產生影響。分別采用Rayleigh阻尼和Caughey阻尼構造上部結構阻尼矩陣，進行分析計算，并將結果總結在圖5～圖7中。可以發現，隨著阻尼比的增大，無論是采用Rayleigh阻尼還是Caughey阻尼構造上部結構阻尼矩陣，采用位移輸入模型得到的結果偏離參考解的程度都不斷加劇。當隔震層等效阻尼比達到0.3時，采用位移輸入模型仍然還是會高估隔震層位移、低估上部結構的層間位移，相對偏差可達到34.6%和-31.1%。

(a) 底層

(a) Rayleigh阻尼

應用其它三個地震波重復進行五層隔震結構模型的分析，所得到的結果反映出基本相同的規律：首先，加速度輸入和位移-速度輸入模型結果吻合良好，而位移模型的偏差較大并隨隔震層阻尼的增高而增大；其次，直接考慮上部結構對隔震結構阻尼矩陣貢獻會顯著地高估上部結構的阻尼，造成較大的計算誤差。研究中，還采用文[11]中的九層隔震結構模型進行了分析計算，結論相同。因篇幅所限，文中未給出具體數值結果。

(a) Rayleigh阻尼

(a) Rayleigh阻尼

5 結 論

本文研究了基礎隔震結構的分析方法，著重考慮了阻尼矩陣的形成和地震動輸入模型對動力響應分析算法精度的影響，主要結論如下：

(1) 為了在基礎隔震結構的動力時域分析中準確考慮高阻尼支座的影響，應采用位移-速度輸入模型替代傳統的位移輸入模型。

(2) 位移輸入模型并不適用于基礎隔震結構，尤其是在采用高阻尼隔震支座的情況下計算結果會有較大誤差。這是因為，采用位移輸入模型需忽略結構與支承點相關聯節點間的耦合阻尼對應的等效荷載，當阻尼比越大時，此項對結構響應的影響也越大，導致相對誤差越大。算例結果表明，位移輸入模型給出的結果一般會高估隔震層變形、低估上部結構響應，最大相對偏差可超過30%。

(3) 直接采用Rayleigh阻尼計算上部結構對隔震結構阻尼矩陣的貢獻時，會錯誤地引入附加結構阻尼，算例表明這樣會嚴重地低估結構響應。

(4) 文中提出了形成隔震結構阻尼矩陣的方法，可用于正確地模擬結構的阻尼性質，采用此方法可保證位移-速度輸入模型和加速度模型給出一致的計算結果，這是因為，兩種輸入模型盡管形式不同，但理論上完全一致，當輸入的地震動數據一致并且結構初始條件相同時，兩種形式的輸入模型的解應完全一致。

研究中僅考慮了一致地震動激勵情況，在數值計算中采用了剪切型模型，對于更一般的情況還需要進行相應的數值計算、展開進一步研究。