電磁互易定理一般形式

劉國強 劉 婧

電磁互易定理一般形式

劉國強1,2劉 婧1,2

（1. 中國科學院電工研究所 北京 100190 2. 中國科學院大學電子電氣與通信工程學院 北京 100049）

現有互易定理對電磁場相互作用關系的描述是彼此獨立的，該文利用四元數理論推導出了電磁互易定理的能動量時空統一形式，該形式中的實標部、虛標部、實矢部和虛矢部分別對應經典電磁互易定理即洛倫茲互易定理、Feld-Tai互易定理和新發現的兩組動量互易定理。

互易定理 洛倫茲互易定理 Feld-Tai互易定理 動量互易定理

0 引言

自1896年洛倫茲提出洛倫茲互易定理[1]以來，一些新的電磁互易定理陸續被發現，包括頻率域和時間域的互易定理。單就時諧場頻率域互易定理而言，主要有Feld-Tai互易定理[2-3]、動量互易定理[4-6]和另一組動量互易定理[6]。通過分析洛倫茲互易定理、動量互易定理等可知，互易積分方程中的體積分項通常被寫成兩部分，一部分表示場源的“反應”關系，另一部分是某種“流密度”物理量（如能流密度、動量流密度等）的散度形式。通過高斯散度定理，散度的體積分項可化成面積分項。當兩種源處于同一體積內或同一體積外，這個面積分項就可以消去，使得公式非常簡潔，便于應用。目前，各個電磁場互易定理被認為是彼此獨立的方程，本文旨在通過一種理論框架將上述各定理統一起來。

在《電磁通論》中，麥克斯韋使用了四元數，并將之用于電磁場方程。后來四元數理論成為矢量運算和矢量分析的前身。現在用四元數處理電磁場問題已不多見，盡管如此，根據狹義相對論，電磁場和源均是時空中的四物理量，四元數電磁場方程的實標部、虛標部、實矢部和虛矢部四個分量分別對應高斯電通定律、高斯磁通定律、安培定律與法拉第電磁感應定律。可以推測，利用四元數電磁場方程可以獲得電磁互易定理方程，這個方程應該可以囊括現有的各種互易方程。

本文從四元數理論出發，推導了四電磁互易定理的一般形式，從中取出實標部、虛標部、實矢部和虛矢部各分量，分別對應了洛倫茲互易定理、Feld-Tai互易定理、兩組動量互易定理。

1 四元數預備知識

1.1 四元數運算

式中，任意兩個虛數單位相乘，滿足

1.2 四元數電磁場

四電磁源的體密度為

真空四電磁場為

式中，為磁場強度；為電場強度。

四梯度算子為

對于時變電磁場，為

對于時諧電磁場，為

真空中四電磁場方程為

2 四元數電磁場互易定理

式（13）和式（14）兩式相減，有

將式（15）的左端兩項分別展開，有

式（16）和式（17）相減，并應用附錄恒等式

則有

由于

因此有

聯合式（15）和式（21），有

將式（22）的右端項改寫為

由式（9），則有

式（24）就是真空中四電磁互易定理的一般形式。為了看清楚它的“真面目”，將式（22）的右端項展開，于是式（22）化為

將四電磁場、四電磁源代入式（25），進一步展開式中各項，有

將式（26）～式（30）代入式（25），按實標部、虛標部、實矢部和虛矢部整理，則有

式（35）～式（38）中四個公式分別對應Feld-Tai互易定理、洛倫茲互易定理、動量互易定理和另一組動量互易定理。若對式（35）～式（38）各項作體積分，并利用高斯散度定理，各等式左端項化為面積分。可以證明，當兩組源在同一體積內或同一體積外，面積分為零，公式非常簡潔易用。

互易定理是工程電磁的理論分析和實際應用的有用工具[8]。例如，它可以用于惠更斯原理的導出[9]；為論證波導元件和天線的互易性提供了基礎；常用于確定波導和空腔諧振器中波型間的正交性；也可作為電容層析成像[10]、熱聲成像[11]、磁聲電成像[13]、磁聲成像等多種圖像重建方法的理論支撐。

3 結論

本文利用四元數理論，導出了電磁互易定理的能動量統一形式，反映了電磁場各個互易定理之間的時空統一聯系。

附 錄

證明：

矢量恒等式

式（A2）和式（A3）兩式相加有

另有

于是有

由式（A4）和式（A5），可得式（A1）。

[1] Lorentz H A . The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light[J]. AmsterdammerAkademie der Wetenschappen, 1896, 4: 176.

[2] Feld Y N. On the quadratic lemma in electrodynamics[J]. Soviet Physics-Doklady, 1992, 37: 235-236.

[3] Tai C T. Complementary reciprocity theorems in electromagnetic theory[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1992, 40(6): 675-681.

[4] Lindell I V, Sihvola A H. Rumsey's reaction concept generalized[J]. Progress in Electromagnetics Research Letters, 2020, 89: 1-6.

[5] Liu Guoqiang, Li Yuanyuan, Liu Jing. A mutual momentum theorem for electromagnetic field[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2020, 19(12): 2159-2161.

[6] 劉國強, 劉婧, 李元園. 電磁場廣義互易定理[M]. 北京: 科學出版社, 2020.

[7] 許方官. 四元數物理學. 北京: 北京大學出版社. 2012.

[8] 符果行. 工程電磁理論方法. 北京: 人民郵電出版社, 1991.

[9] 劉國強，劉婧. 利用電磁場動量互易定理導出惠更斯原理[J]. 物理學報, 2022, 71(14): 140301.

Liu Guoqiang, Liu Jing. Huygens’ principle derived by using momentum reciprocity theorem of electromagnetic field[J]. Acta Physica Sinica, 2022, 71(14): 140301.

[10] Zhao Qing, Li Jie, Liu Shi, et al. The sensitivity optimization guided imaging method for electrical capacitance tomography[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2021, 70: 1-15.

[11] 郭亮, 王祥業, 姜文聰. 基于生成對抗網絡的注入電流式熱聲成像逆問題研究[J]. 電工技術學報, 2021, 36(增刊1): 22-30.

Guo Liang, Wang Xiangye, Jiang Wencong. The study on the inverse problem of applied current thermo-acoustic imaging based on generative adversarial network[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(S1): 22-30.

[12] 李彩蓮, 李元園, 劉國強. 基于磁聲電技術的肺部組織成像仿真研究[J]. 電工技術學報, 2021, 36(4): 732-737.

Li Cailian, Li Yuanyuan, Liu Guoqiang. Simulation of lung tissue imaging based on magneto-acousto-electrical technology[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(4): 732-737.

[13] 馬任, 周曉青, 張順起, 等. 磁聲成像系統矩陣特征值差異性仿真研究[J]. 電工技術學報, 2021, 36(4): 724-731.

Ma Ren, Zhou Xiaoqing, Zhang Shunqi, et al. Simulation study on the eigenvalue difference of the system matrix in magneto-acoustic tomography[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(4): 724-731.

A General Form of the Electromagnetic Reciprocity Theorems

Liu Guoqiang1,2Liu Jing1,2

（1. Institute of Electrical Engineering Chinese Academy of Sciences Beijing 100190 China 2. School of Electronic, Electrical and Communication Engineering University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100049 China）

The existing reciprocity theorems describe the electromagnetic field interaction relationships independently of each other.In this paper, a general form of electromagnetic reciprocity theorem is derived by using quaternion theoretical framework. The real scalar part, imaginary scalar part, real and imaginary sagittal part of this form correspond to the classical electromagnetic reciprocity theorem, i.e. the Lorentz reciprocity theorems, the Feld-Tai reciprocity theorem and two newly discovered momentum reciprocity theorems respectively.

Reciprocity theorems, the Lorentz reciprocity theorem, the Feld-Tai reciprocity theorem, momentum reciprocity theorems

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211590

TM93

劉國強 男，1971年生，研究員，博士生導師，研究方向為電磁場理論與多物理場耦合成像。E-mail：gqliu@mail.iee.ac.cn（通信作者）

劉 婧 女，1990年生，副研究員，研究方向為電磁檢測與成像。E-mail：liujing@mail.iee.ac.cn

國家自然科學基金重點項目（51937010）和國家自然科學基金項目（51907191）資助。.

2021-09-29

2021-11-25

（編輯 郭麗軍）