以“三維五步”促進(jìn)小學(xué)計(jì)算深度學(xué)習(xí)
——基于思維可視化的計(jì)算學(xué)習(xí)模式探究

文∣張慧

劉月霞、郭華等人在《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)(理論普及本)》中提出：所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。[1]深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與學(xué)習(xí)過(guò)程，要在學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握學(xué)科核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)過(guò)程，把握學(xué)科本質(zhì)及思想方法。小學(xué)計(jì)算深度學(xué)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，教師要把握學(xué)生現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)情況，在重視學(xué)生對(duì)于算法的掌握和對(duì)算理理解的基礎(chǔ)上，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生以計(jì)數(shù)單位為主線構(gòu)建計(jì)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，引導(dǎo)學(xué)生從更深層次的角度理解和掌握計(jì)算。

一、小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

當(dāng)前小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)仍然存在重法輕理的現(xiàn)狀，教師、學(xué)生都過(guò)于重視計(jì)算的準(zhǔn)確度和速度，卻忽視對(duì)計(jì)算的深度理解，不注重計(jì)算思維能力的提升。

(一)由法到理，思維層次需提升

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，在小學(xué)計(jì)算的學(xué)習(xí)中，大部分教師重視計(jì)算方法的學(xué)習(xí)，而忽視了算理的學(xué)習(xí)，更加沒(méi)有關(guān)注到計(jì)算思維。這就導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不夠深入，對(duì)計(jì)算的理解不夠深刻，只會(huì)算卻不懂為什么這樣計(jì)算。因此在計(jì)算學(xué)習(xí)中，學(xué)生要在掌握算法的基礎(chǔ)上深入算理，提升計(jì)算思維層次。

(二)由淺入深，學(xué)習(xí)深度需加強(qiáng)

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要講求有一定的深度。目前，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師常常過(guò)于關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的淺層理解、掌握和運(yùn)用，而忽視了知識(shí)的深層次結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)。小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)中學(xué)生不僅要掌握外顯的計(jì)算本領(lǐng)，還要加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次思考、內(nèi)化，提升思維能力。

(三)由算至能，運(yùn)算能力需培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中指出，“運(yùn)算能力”是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于算理的理解，體驗(yàn)計(jì)算的合理性。在計(jì)算的學(xué)習(xí)中，教師大多重視學(xué)生的計(jì)算是否準(zhǔn)確，認(rèn)為算對(duì)了就是運(yùn)算能力的體現(xiàn)，實(shí)際上卻忽視了學(xué)生真正的運(yùn)算能力，不能夠促進(jìn)學(xué)生理解算理和算法之間的關(guān)系，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。

綜上所述，促進(jìn)小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)深度發(fā)生的教學(xué)活動(dòng)一定不能缺少學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升。在思維能力提升的過(guò)程中，教師可以借助思維可視化策略，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體的、表象的計(jì)算思維和抽象的計(jì)算思維，逐步提升學(xué)生的計(jì)算思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生計(jì)算能力的提升。

圖1

二、計(jì)算思維可視化的三個(gè)維度

從認(rèn)知過(guò)程角度出發(fā)，對(duì)于計(jì)算思維的可視化可以分為三個(gè)層次：動(dòng)作思維可視化、形象思維可視化和抽象思維可視化(如圖1)。這三個(gè)維度不僅是對(duì)學(xué)生計(jì)算思維的三種體現(xiàn)，也體現(xiàn)了思維層次的提升。在動(dòng)作思維可視化的階段中，學(xué)生計(jì)算思維的體現(xiàn)較為具體和直觀，而形象思維階段的體現(xiàn)稍有抽象，最后在抽象思維中完成計(jì)算思維的抽象過(guò)程。

(一)動(dòng)作思維可視化

動(dòng)作思維是直觀思維，是指學(xué)生通過(guò)肢體動(dòng)作、動(dòng)手操作以及畫(huà)圖等直觀手段來(lái)進(jìn)行思考。在動(dòng)作思維的過(guò)程中，學(xué)生動(dòng)手操作的活動(dòng)與思維活動(dòng)是相聯(lián)系的。

動(dòng)作思維的最初階段是借助肢體來(lái)表征計(jì)算。小學(xué)二年級(jí)的學(xué)生初步認(rèn)識(shí)乘法，學(xué)習(xí)“5的乘法口訣”，教師經(jīng)常借助的表象是手指，這是最自然、最容易想到的5的原型。

動(dòng)作思維還體現(xiàn)在操作幾何直觀來(lái)表征計(jì)算。學(xué)生在計(jì)算學(xué)習(xí)中經(jīng)歷的動(dòng)手操作主要集中于操作實(shí)物、小棒、點(diǎn)子圖、格子圖和計(jì)數(shù)器等。從實(shí)物到小棒是幾何直觀的第一次抽象，通過(guò)10根一捆小棒的捆與拆，清晰表征“湊十法”“破十法”等計(jì)算方法的道理。點(diǎn)子圖和格子圖是更加結(jié)構(gòu)化的幾何直觀，而計(jì)數(shù)器的抽象程度最高。

稍復(fù)雜的動(dòng)作思維不容易借助肢體或者操作等形式來(lái)體現(xiàn)，教師可以借助多媒體課件來(lái)演示，以演示過(guò)程替代學(xué)生操作思考的過(guò)程。

(二)形象思維可視化

形象思維是運(yùn)用已有表象進(jìn)行的思維活動(dòng)，它要解決的問(wèn)題是把問(wèn)題形象化，或者建立一個(gè)新的形象體系。從學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程來(lái)看，形象思維是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)計(jì)算的描述、舉例和分類過(guò)程。在計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了用直觀手段表征計(jì)算的學(xué)習(xí)過(guò)程后要借助語(yǔ)言來(lái)描述和解釋計(jì)算。如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)中，學(xué)生借助點(diǎn)子圖理解乘法豎式中的“拆分”過(guò)程，在頭腦中形成了乘法豎式的表象。但是仍然不能夠脫離直觀講道理，因此學(xué)生還需要用語(yǔ)言歸納出拆分后的兩步乘法分別表示多少個(gè)“1”與多少個(gè)“10”。解釋計(jì)算的過(guò)程是學(xué)生深入理解新知的過(guò)程，學(xué)生在解釋計(jì)算的過(guò)程中形成計(jì)算的形象，分析每一步計(jì)算的意義，從而理解計(jì)算就是計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

圖2

除解釋計(jì)算外，學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算的過(guò)程還要根據(jù)計(jì)算的特點(diǎn)進(jìn)行舉例，或根據(jù)計(jì)算的特點(diǎn)對(duì)計(jì)算進(jìn)行分類。解釋、舉例和分類是學(xué)生對(duì)計(jì)算的形象表征，本階段的計(jì)算思維比動(dòng)作思維更加深刻，但是還沒(méi)有到達(dá)最后抽象的階段。

(三)抽象思維可視化

數(shù)學(xué)教育的最終結(jié)果，必須使認(rèn)識(shí)和運(yùn)算脫離實(shí)際背景，這就是數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)具有一般性的具體體現(xiàn)。[2]小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)包含整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排中，這四種運(yùn)算呈螺旋式上升。學(xué)生在學(xué)習(xí)中要經(jīng)歷對(duì)計(jì)算算理的深入分析，比較同種或不同計(jì)算，通過(guò)類比來(lái)進(jìn)行計(jì)算推理，概括計(jì)算方法的學(xué)習(xí)過(guò)程。如在二年級(jí)下冊(cè)的“除法豎式”中，教師就設(shè)計(jì)了多次對(duì)比，讓學(xué)生在對(duì)比中構(gòu)建除法豎式的模型，進(jìn)一步理解除法的意義。除法豎式與加、減、乘法的豎式形式不同，包含了加、減、乘三種運(yùn)算，因此除法計(jì)算較難。在“除法豎式”中，教師共設(shè)計(jì)了四處對(duì)比來(lái)突破難點(diǎn)：橫式和豎式的對(duì)比，遷移原有知識(shí)理解豎式；豎式和圖形的對(duì)比，明晰豎式算理；有無(wú)余數(shù)的對(duì)比，理解余數(shù)含義；正誤豎式形式的對(duì)比，深化豎式模型。抽象思維層次較高，難度較大，教師要在學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)中給予學(xué)生充分時(shí)間來(lái)思考、辨析、交流和總結(jié)。

動(dòng)作思維、形象思維與抽象思維可視化是思維可視化的三種方式。這三種可視化的方式在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中常常不能清晰地分開(kāi)，學(xué)生在動(dòng)作思維的過(guò)程中也能夠逐漸形成形象思維和抽象思維，而形象思維可視化的過(guò)程中也是在逐漸建立抽象思維，三者之間無(wú)法完全割裂。

三、促進(jìn)小學(xué)計(jì)算深度學(xué)習(xí)的五步驟

從思維可視化的三個(gè)維度出發(fā)，計(jì)算學(xué)習(xí)要經(jīng)歷五個(gè)步驟來(lái)理解計(jì)算(如圖3)。其中“動(dòng)作思維表征計(jì)算”屬于動(dòng)作思維可視化的范疇；“形象思維表達(dá)算法”是初步建立計(jì)算表象，是形象思維可視化的過(guò)程；“橫向?qū)Ρ雀爬ㄓ?jì)算”“縱向?qū)Ρ壬罨?jì)算”“構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系”屬于抽象思維可視化的過(guò)程。

圖3

(一)動(dòng)作思維表征計(jì)算

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)脫離了生活原型的數(shù)量關(guān)系和空間形式是十分抽象的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助肢體動(dòng)作來(lái)表征。低年級(jí)的小學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)大多處于具象思維階段，通過(guò)肢體動(dòng)作來(lái)理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。例如在學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生要通過(guò)點(diǎn)數(shù)、數(shù)手指等肢體動(dòng)作與抽象的數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)；學(xué)習(xí)用“湊十法”計(jì)算加法時(shí)，學(xué)生要借助圓片、小棒來(lái)理解“滿十進(jìn)一”；學(xué)習(xí)“平均分”，學(xué)生在分草莓中感悟平均分。在具象思維過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了通過(guò)肢體動(dòng)作進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程，積累了豐富的計(jì)算活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

(二)形象思維表達(dá)算法

小學(xué)生思維大多處于具體運(yùn)算階段，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，計(jì)算是十分抽象的，他們通常要硬性記憶計(jì)算方法。記住方法的學(xué)生看似會(huì)算，實(shí)則只是記住了程序，稍有變換就無(wú)法做到遷移算法。在計(jì)算學(xué)習(xí)中，教師要借助直觀表象來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)計(jì)算的理解，建立形象思維掌握算法。如在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中，學(xué)生難于理解乘法豎式的“先分后和”的分乘計(jì)算過(guò)程，對(duì)“個(gè)位上的數(shù)與第一個(gè)因數(shù)的乘積寫(xiě)在第一層，末尾與個(gè)位對(duì)齊；十位上的數(shù)與第一個(gè)因數(shù)的乘積寫(xiě)在第二層，末尾與十位對(duì)齊”的方法難于掌握。教師需要為學(xué)生提供直觀“點(diǎn)子圖”“方格圖”(如圖4)來(lái)幫助學(xué)生經(jīng)歷分步乘的過(guò)程。借助直觀圖象，學(xué)生描述計(jì)算的過(guò)程，將抽象的計(jì)算過(guò)程具體化、形象化，讓計(jì)算過(guò)程可視化，從而突破難點(diǎn)。

圖4

(三)橫向?qū)Ρ雀爬ㄓ?jì)算

對(duì)比是一種很常見(jiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)中包括新舊計(jì)算的對(duì)比，同種計(jì)算的不同形式對(duì)比等。小學(xué)稍復(fù)雜的計(jì)算通常都要寫(xiě)成橫式和豎式兩種形式，如上述的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅要寫(xiě)出13×12的豎式，也要寫(xiě)出橫式(如圖5)，豎式記錄了計(jì)算方法，而橫式表達(dá)計(jì)算道理。

學(xué)生遷移已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛄袡M式來(lái)計(jì)算13×12，將13×12分解為13×2和13×10，采用先分后合的辦法來(lái)計(jì)算，其實(shí)也就是豎式計(jì)算的算理。而豎式計(jì)算清晰呈現(xiàn)了計(jì)算的過(guò)程，即把個(gè)位上的數(shù)與第一個(gè)因數(shù)的乘積寫(xiě)在第一行，末尾與個(gè)位對(duì)齊；十位上的數(shù)與第一個(gè)因數(shù)的乘積寫(xiě)在第二行，末尾與十位對(duì)齊，體現(xiàn)出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。學(xué)生要經(jīng)歷同一題目的不同解答方法的對(duì)比，借助橫式將抽象的豎式道理可視化，從而深入理解計(jì)算的原理。

圖5

(四)縱向?qū)Ρ壬罨?jì)算

遷移和保持是教學(xué)的重要目標(biāo)，任何的計(jì)算學(xué)習(xí)中，學(xué)生都要遷移生活和學(xué)習(xí)中的原有經(jīng)驗(yàn)來(lái)構(gòu)建新的計(jì)算，從而改變?cè)杏?jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在課程理念中指出：課程內(nèi)容的組織重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。因此，數(shù)學(xué)教師不僅要讓學(xué)生掌握各種數(shù)學(xué)知識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的整合，建立前后知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。如在“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要遷移多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法來(lái)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘兩位數(shù)，再總結(jié)乘法豎式的通法，并遷移至更多位數(shù)的乘法，進(jìn)行乘法知識(shí)的縱向延伸。此外，加、減和除法的學(xué)習(xí)也仍然需要在縱向?qū)Ρ戎嘘P(guān)聯(lián)知識(shí)。例如在“除數(shù)是一位數(shù)的除法”中，學(xué)生要在對(duì)比被除數(shù)數(shù)位不同的豎式中發(fā)現(xiàn)除法就是平均分計(jì)數(shù)單位，對(duì)比整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算外在形式不同，在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。

(五)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

2022年版課標(biāo)提到，同類數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在非常緊密的關(guān)聯(lián)，在教學(xué)中重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，能幫助學(xué)生建立體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系。教師要把握知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和概括這一類知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。小學(xué)計(jì)算內(nèi)容是以“計(jì)數(shù)單位”為核心主線，加法、減法、乘法是計(jì)數(shù)單位的累加和減少，除法是計(jì)數(shù)單位的等分；因此，把握小學(xué)計(jì)算的意義要理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性。在小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程中，借助計(jì)數(shù)單位描述計(jì)算是學(xué)生從具體形象思維走向抽象思維的標(biāo)志。

四、計(jì)算深度學(xué)習(xí)五步驟的特征

三維五步是實(shí)現(xiàn)計(jì)算思維可視化的有效策略和途徑，其從認(rèn)知角度提出了動(dòng)作思維、形象思維和抽象思維的可視化。教師根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容從五步驟中選擇部分或全部步驟，設(shè)計(jì)教學(xué)流程。這五步驟之間應(yīng)具有層次性、反復(fù)性和交互性。

(一)層次性

計(jì)算課堂學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生大體經(jīng)歷“動(dòng)作思維表征計(jì)算”“形象思維理解計(jì)算”“橫向?qū)Ρ雀爬ㄓ?jì)算”“縱向?qū)Ρ壬罨?jì)算”“構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系”五個(gè)步驟。從抽象程度思考，這五個(gè)步驟有一定的層次性，動(dòng)作思維和形象思維可視化的抽象程度較低，橫縱對(duì)比與構(gòu)建體系的抽象程度較高，因此在低年級(jí)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)中，具體的思維可視化手段使用偏多，例如數(shù)手指、擺小棒、畫(huà)圖等。而高年級(jí)的學(xué)生抽象能力較強(qiáng)，能夠更加抽象地從數(shù)意義的角度來(lái)理解計(jì)算、關(guān)聯(lián)計(jì)算，完成更高層次的思維活動(dòng)，例如辨析、對(duì)比、關(guān)聯(lián)等。一般情況下，一節(jié)計(jì)算課中，學(xué)生能夠經(jīng)歷“直觀—抽象—直觀”或“抽象—直觀—抽象”的思維過(guò)程，前者適用于低年級(jí)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)，而后者多用于中高年級(jí)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)。如二年級(jí)“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，教師一般先讓學(xué)生動(dòng)手分一分，建立除法的直觀表象，而后再抽象出有余數(shù)的除法算式，最后又將除法算式應(yīng)用到具體情境——分小棒，解決問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀—抽象—直觀”的計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程。而中高年級(jí)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)中，教師可以讓其遷移已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)嘗試計(jì)算，而后結(jié)合直觀來(lái)驗(yàn)證和解析計(jì)算，最后總結(jié)出計(jì)算的通理、通法，讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象—直觀—抽象”的計(jì)算過(guò)程。

(二)反復(fù)性

根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，有些年級(jí)的課例包含全部五個(gè)步驟，而有些年級(jí)的課例只涉及其中幾個(gè)步驟。如在小學(xué)低年級(jí)計(jì)算教學(xué)中，一定要讓學(xué)生有動(dòng)作思維的過(guò)程，不能夠脫離直觀理解抽象計(jì)算。但到了高年級(jí)計(jì)算教學(xué)中，直觀內(nèi)容越來(lái)越少，很多新知學(xué)習(xí)跨過(guò)了動(dòng)作思維，只保留形象和抽象思維的可視化。

根據(jù)不同課例和學(xué)生的前概念水平，新知的學(xué)習(xí)起點(diǎn)有所不同。有些課例是從直觀手段開(kāi)始，而有些課例則是從抽象的計(jì)算開(kāi)始，算出得數(shù)才借助直觀方式進(jìn)行驗(yàn)證。無(wú)論采用何種方式，深度計(jì)算的五個(gè)步驟是可以反復(fù)的，如在教學(xué)進(jìn)行到第四步時(shí)，還可以回到第一步。在“除數(shù)是一位數(shù)的除法”教學(xué)中，教師在新知教學(xué)部分可以設(shè)計(jì)表1幾個(gè)環(huán)節(jié)。

表1 “兩位數(shù)除以一位數(shù)”學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)

(續(xù)表)

在表1教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生連續(xù)兩次經(jīng)歷從形象思維到動(dòng)作思維，而后借助動(dòng)作思維表征計(jì)算，最后將兩次計(jì)算進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)異同，建立除法豎式的同類經(jīng)驗(yàn)，從而初步形成除法豎式的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。

(三)交互性

動(dòng)作思維、形象思維和抽象思維無(wú)法分開(kāi)，它們之間是相融的。在教學(xué)一種計(jì)算的過(guò)程中，教師可借助形象思維來(lái)將抽象計(jì)算具體化，為學(xué)生解釋計(jì)算、舉例和分類提供腳手架，輔助學(xué)生從數(shù)的意義的角度對(duì)計(jì)算進(jìn)行抽象。隨著課程改革的不斷深入，越來(lái)越多的測(cè)試中，單純考查計(jì)算越來(lái)越少，而關(guān)于計(jì)算思維的考查越來(lái)越多，考查深度逐漸提升。部分計(jì)算測(cè)試是在具體的情境中考查學(xué)生對(duì)計(jì)算的理解，也有部分測(cè)試是在動(dòng)作思維過(guò)程中考查學(xué)生對(duì)計(jì)算的理解。基于以上觀念的變革，教師的計(jì)算教學(xué)要關(guān)注學(xué)生計(jì)算思維的培養(yǎng)。例如在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中，教師首先讓學(xué)生嘗試計(jì)算13×12，學(xué)生給出的答案如圖6所示，由此引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突。而后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助操作結(jié)合點(diǎn)子圖(如圖7)，在驗(yàn)證得數(shù)過(guò)程中理解算理。

圖6

圖7

在13×12的計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生將形象思維與抽象思維相結(jié)合，在正誤對(duì)比中理解計(jì)算，深入乘法計(jì)算的意義，明晰乘法就是計(jì)算“幾個(gè)幾”的運(yùn)算。在計(jì)算學(xué)習(xí)中，根據(jù)內(nèi)容與學(xué)習(xí)程度不同，學(xué)生要將動(dòng)作思維、形象思維、橫縱向?qū)Ρ群蜆?gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)中的兩種或兩種以上過(guò)程相結(jié)合，例如可以借助動(dòng)作思維建立形象思維，解析算理；在橫向?qū)Ρ戎懈爬ㄓ?jì)算，深入以理馭法過(guò)程；橫向或縱向?qū)Ρ戎薪⑦w移知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，推理同類計(jì)算的通理、通法。

總之，計(jì)算思維是計(jì)算學(xué)習(xí)的魂，學(xué)生計(jì)算思維的發(fā)展是計(jì)算深度學(xué)習(xí)的核心。借助思維可視化，讓教師真正從促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的角度出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生將抽象的計(jì)算思維可視化、具體化。計(jì)算方法易掌握，計(jì)算道理難理解，借助思維可視化手段來(lái)學(xué)習(xí)計(jì)算，能夠幫助學(xué)生克服理解抽象計(jì)算的困難，使得抽象的計(jì)算更容易被理解，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生愛(ài)上原本枯燥的計(jì)算，學(xué)會(huì)思考，從而提升思維品質(zhì)，促進(jìn)其深度學(xué)習(xí)。