SL(n,R)戶田黑洞的隧穿效應*

楊維

(桂林理工大學理學院,桂林 541004)

由于 SL(n,R) 戶田黑洞具有很好的數(shù)學結(jié)構(gòu),是研究黑洞物理較為理想的場所.本文主要研究其黑洞的霍金輻射,以及相關(guān)信息丟失問題.為了簡單,只考慮在四維靜態(tài)球?qū)ΨQ SL(n,R) 戶田黑洞下,通過計算靜止質(zhì)量為零的粒子在事件視界附近隧穿效應來研究霍金輻射.在粒子的隧穿過程中,利用能量守恒并考慮了隧穿粒子對背景時空的反作用.獲得粒子通過事件視界的隧穿概率取決于粒子出射前后黑洞熵的變化,并在此基礎(chǔ)上討論了其信息丟失問題,在滿足一定條件下,我們的結(jié)果與RN 黑洞和施瓦茨黑洞的結(jié)果一致.

1 引 言

20 世紀70 年代,自從史蒂芬·霍金[1]發(fā)現(xiàn)黑洞具有熱輻射以來,霍金輻射就一直備受理論物理學家的關(guān)注.在此基礎(chǔ)上,建立了起來的黑洞信息丟失問題[2?4]更是當今研究的熱點.Parikh 和Wilczek曾經(jīng)提出了一種研究霍金輻射的半經(jīng)典方法[5?9],該方法滿足量子力學幺正性和信息守恒,對黑洞信息丟失問題具有一定的解釋.盡管這一解釋受到一些質(zhì)疑[7],但對我們理解霍金輻射提供了一些新思路.該半經(jīng)典方法將黑洞事件視界視為一個勢壘,霍金輻射源于事件視界附近粒子的量子隧穿效應.為了消除事件視界上奇異性而使用Painleve 坐標[10],是該方法的關(guān)鍵.隨后文獻[11,12]從半經(jīng)典的Hamilton-Jacobi 方程出發(fā),也簡化了黑洞輻射的研究.進一步有大量的文獻研究了Dirac 粒子的隧穿輻射[13?20],也得到了很多有趣的結(jié)果.

在文獻[21]中計算了一系列的 SL(n,R) 戶田黑洞的精確解,并給出了相應的熱力學性質(zhì).該理論由愛因斯坦理論耦合 (n ?1) 個U(1) 場和(n ?2)個標量場組成,最一般的解包括 2 (n ?1) 個非平凡的積分常數(shù),消除 (n ?2) 個導致裸奇點和破壞漸進平直的標量荷,可獲得帶 (n ?1) 個獨立電荷和質(zhì)量的黑洞解.黑洞在近視界極限下的極端幾何為AdS2×SD?2,這類黑洞的熱力量能夠普遍的獲得,并滿足熱力學第一定律.戶田方程也出現(xiàn)在p-膜超引力,像四維的Kaluza-Klein dyonic 黑洞如[22]屬于一系列 SL(3,R) 戶田方程.引力約化下 SL(n,R) 戶田瞬子或 (D ?3) -膜攜帶的軸子荷被構(gòu)造[23]等.

本文中,將通過量子隧穿效應來重新研究SL(n,R)戶田黑洞的霍金輻射,考慮無質(zhì)量的粒子隧穿黑洞視界,結(jié)果表明隧穿概率與隧穿前后霍金熵的變化有關(guān),并在此基礎(chǔ)上簡單分析了此黑洞的信息丟失問題.第2 節(jié),先對 SL(3,R) 戶田黑洞的情況做相應的研究.第3 節(jié),利用 SL(n,R) 戶田黑洞的通解獲得半經(jīng)典隧穿輻射率.第4 節(jié),給出SL(n,R)戶田黑洞的信息丟失問題的一個具體分析.最后給出本文的總結(jié).

2 SL(3,R)戶田黑洞

為了簡單讓我們先考慮愛因斯坦引力理論耦合兩個U(1) 場和一個伸縮子場?,其拉格朗日量表述為

這里Fi電磁場強,其運動方程滿足 SL(3,R) 戶田方程,可以得到在四維情況下有解:

兩個U(1) 電磁場和一個伸縮子場分別給出:

現(xiàn)在對自由下落的觀測者穿過事件視界是非奇異的,于是徑向零超曲面方程:

通過簡單的計算可得

這里正負號分別對應沿測地線方向的出射和入射.不失一般性,假設(shè)時間方向是朝未來增加的,這意味著我們?nèi)≌?討論粒子穿過事件視界,當考慮粒子自引力時,方程(7)將修改為

3 SL(n,R) 戶田黑洞

現(xiàn)在考慮愛因斯坦理論耦合 (n ?1) 個U(1) 場和 (n ?2) 個伸縮子場?,其拉格朗日量表述為[21]

這里Fi=dAi是二形式場強,ai是耦合常矢量,并滿足下面關(guān)系:

其運動方程滿足 SL(n,R) 戶田方程,可以得在四維情況下有解:

考慮靜止質(zhì)量為零的粒子,它的運動方程為徑向類光測地線方程,考慮粒子自引力時有

其中ω是輻射粒子能量.同樣有粒子的輻射率Γ與經(jīng)典作用量的虛部 I mS的關(guān)系Γ∝e?2ImS,從ri到rf穿過事件視界作用虛部可以表示為

這里取ri=2M,rf=2(M ?ω) .即黑洞視界處的隧穿輻射率:

4 黑洞信息悖論的討論

本節(jié)我們來討論 SL(n,R) 戶田黑洞的信息丟失問題.從上兩節(jié)的計算我們可以看出利用Parikh 和Wilczek 提出的隧穿模型計算的黑洞輻射譜并非純熱譜,而是有一個小的偏離.Zhang 等[24]曾證明非熱譜之間存在關(guān)聯(lián)過程,在此基礎(chǔ)上我們對戶田黑洞的信息丟失問題做一個簡短的說明.考慮相繼輻射兩個能量為ω1和ω2中性粒子的概率為

這說明黑洞輻射粒子之間不是相互獨立的,而是存在相互關(guān)聯(lián).根據(jù)香農(nóng)熵的定義:

利用信息論中互信息I(A:B)=S(A)+S(B)?S(A,B) 的概念,可以精確定義A,B兩個系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián).于是可以定義輻射粒子ω1,ω2之間的關(guān)聯(lián)為

正好等于 SL(n,R) 戶田黑洞的熵S=,這表明黑洞在輻射過程中熵是保持守恒的,也即信息是守恒的.而引起這個熵守恒的原因正是由于黑洞輻射之間的關(guān)聯(lián),其的產(chǎn)生機制,以及關(guān)聯(lián)的方式如何尚存在問題.或許當前研究的Page 曲線和量子糾纏能給出具體回答[25,26].

5 結(jié) 論

本文研究了 SL(n,R) 戶田黑洞的霍金輻射可以作為一種量子隧穿效應.當粒子穿過黑洞時,由于能量守恒,黑洞將改變其質(zhì)量,并導致尺寸收縮.因此,背景度量是動態(tài)的,勢壘是由粒子的自引力作用產(chǎn)生的.計算表明,在 SL(n,R) 戶田黑洞時空中,粒子通過事件視界的隧穿概率取決于粒子出射前后黑洞熵的變化,我們計算結(jié)果也再一次支持Parikh 和Wilczek 提出的隧穿模型.我們在這種半經(jīng)典圖像的基礎(chǔ)上,利用香農(nóng)熵定義對SL(n,R)戶田黑洞信息悖論作了具體的計算,發(fā)現(xiàn)由黑洞輻射粒子之間的關(guān)聯(lián)能夠攜帶信息并維持黑洞信息的守恒.這種關(guān)聯(lián)的具體來源,以及產(chǎn)生機制還有待進一步的研究.