量子態在兩體和k 體下基于min 相對熵的量子關聯測度*

李俊青 黃麗 崔世杰 王銀珠

(太原科技大學,應用科學學院，太原 030024)

量子關聯作為量子力學的奇特資源已經被應用在很多方面,相對熵作為研究量子關聯的關鍵概念之一,總是被用來度量物理系統狀態所包含的不確定性.本文在已知min 相對熵的一些基本性質的前提下,分別提出了在兩體和k 體分劃下基于min 相對熵的關聯測度的定義.除此之外,本文證明了該定義滿足量子關聯測度的一些基本性質,包括非負性、在酉算子操作下保持不變性以及在完全正的保跡線性映射(CPTP)下的單調性.介紹了量子信道的概念,并且討論了量子信道對k 體分劃下基于min 相對熵的關聯測度的影響.通過提出新的關聯測度以及證明量子信道對該測度的影響,能夠更好刻畫物理系統狀態所包含的不確定性.

1 引 言

量子關聯[1?8]作為量子計算和量子信息中一種非常重要的物理資源,通過對量子關聯的研究,能更清楚地刻畫蘊含在量子態之間的非經典關聯特性,以及復合量子系統各子系統之間的關聯程度.量子糾纏作為量子關聯中的重要組成部分,首先,關于量子糾纏態的判別問題已經提出了許多有用的糾纏判據: 約化判據[9]、重排判據[10]、控制判據[11]、糾纏Witness 判據[12]等;其次,在刻畫量子態之間的糾纏程度方面,提出了許多糾纏測度: 形成糾纏測度[13]、concurrence 糾纏測度[14]、相對熵糾纏測度[15]等.但量子關聯遠不止糾纏,為了更好地刻畫量子態之間的關聯程度,已經提出了許多定義良好的關聯測度,如累積關聯測度[16],量子失協關聯測度[17],基于Tsallis 熵的量子關聯測度[18]等.相對熵作為研究量子關聯非常重要的一個物理量,目前,人們提出了越來越多的基于相對熵的關聯測度,以便更清楚地刻畫蘊含在量子態之間的關聯特性以及刻畫復合量子系統各子系統之間的關聯程度.

在2008 年,Datta[19]提出了min 相對熵的定義,其定義如下:

目前提出的量子關聯測度比較少,因此,提出一個新的兩體復合量子系統下的關聯測度以及將關聯測度由兩體推到k 體分劃下是非常有意義的.本文主要考慮在兩體復合系統和k 體分劃下,分別給出基于min 相對熵的兩體和k 體分劃下關聯測度的定義,并且證明了其滿足量子關聯測度的一些必要性質.近幾年,雖然量子信道的應用越來越廣泛,但是并沒有將量子信道與量子關聯測度聯系起來,本文將量子信道與量子關聯測度聯系起來,進而給出了量子信道對k 體分劃下的關聯測度Ek(ρ‖σ)的影響.

2 基于兩體和k 體分劃下基于min相對熵的關聯測度

給出兩體和k 體分劃下關聯測度的定義之前,首先提出一些基本定義.

定義2.1(完全乘積態定義)設H=H1?H2?···?Hm,d imHi ＜+∞,S(H) 表 示H上 全體密度算子組成的集合,ρ∈S(H),如果:

證明由引理2.8 可得定理2.9 顯然成立.

定理2.5,2.7,2.9 分別證明了兩體下基于min 相對熵的量子關聯測度滿足酉不變性、非負性、在完全正的保跡映射下的單調性,接下來給出在k 體分劃下基于min 相對熵的量子關聯測度的定義,并且證明這個關聯測度滿足酉不變性、非負性、在完全正的保跡映射下的單調性.

證明由引理2.8 可得定理2.13 顯然成立.

第2 節定義了兩體和k 體分劃下基于min 相對熵的關聯測度,并且證明了其滿足了一些關聯測度必要的性質.該關聯測度的提出涉及了投影算子,從這一想法出發,不禁讓人聯想到其他物理概念能否也通過投影來定義關聯測度,進而將其歸為一類.除min 相對熵外,量子Fisher 信息同樣滿足非負性、酉不變性、在完全正的保跡操作下的單調性等性質,量子Fisher信息[21]可以表示為F=將其基于量子Fisher信息的關聯測度定義 為E(ρ)=min{Π?}(Tr(ΠρL2)?Tr(ρL2)) ,Π?表示對應?系統上的正交投影組成的完備的投影測量集,可知投影測量增加熵.這樣定義的關聯測度不僅僅滿足非負性、酉不變性、在完全正的保跡操作下的單調性等性質,也滿足關聯測度等于零當且僅當ρ為經典態.通過該發現,可認為本文通過投影來定義的關聯測度,實際可以作為一類關聯測度的定義方式,這一發現有助于提出更多關聯測度.這些關聯測度的提出都是刻畫蘊含在量子態之間的非經典關聯特性,以及復合量子系統各子系統之間的關聯程度.

3 量子信道對 E k(ρ‖σ) 的影響

證明由定理3.3 和定理3.4,定理3.5 顯然成立.

4 結 論

本文分別定義了兩體和k 體分劃下基于min相對熵的關聯測度的定義,并且證明了其滿足量子關聯測度的一些基本性質,包括非負性、酉不變性、在完全正的保跡操作下的單調性,說明了量子關聯測度定義良好.與已經提出的關聯測度相比較,本文提出并且證明了在k 體分劃下該關聯測度也是定義良好的,并且本文給出了量子信道對Ek(ρ‖σ)的影響,對給出的性質加以證明,從而將量子信道應用在了關聯測度上.