基于分形理論和擴展有限元法的鋼纖維混凝土損傷破壞機理

王輝明，李汝飛，鄧平貴

(新疆大學建筑工程學院，烏魯木齊 830017)

0 引 言

鋼纖維混凝土(steel fiber reinforced concrete， SFRC)是由亂向分布的鋼纖維、粗細骨料、砂漿等組成的多相非均質復合材料，具有良好的受拉、受彎和受剪性能。有研究[1]發現只需摻入0.5%～1.5%(體積分數)的鋼纖維就可使SFRC的抗壓強度、抗拉強度和抗折強度分別提高5.41%～32.87%、24.02%～29.90%和7.33%～40.07%，故其在工業與民用建筑、機場、高速公路、特種結構等領域得到了廣泛應用。大量工程災害表明，混凝土結構的破壞往往是其內部裂紋擴展和損傷積累所導致的。因此，對SFRC損傷演化和裂紋擴展進行研究是很有必要的。SFRC的損傷本質上是其內部細觀微缺陷在荷載、溫度等外部因素作用下不斷萌生、擴展、交叉、融匯、貫通成為宏觀主裂縫的過程，從而在宏觀上表現出本構關系的非線性和力學性能的劣化等行為。SFRC承載能力喪失只是裂紋發展的最后階段，只能在很小程度上揭露損傷演化的歷史和特征，要想真正描述混凝土破壞的非線性特征，必須追溯到初始裂紋分布、裂紋擴展和損傷演化過程，從微裂紋動態演化和材料損傷的角度出發，尋找演化機理及失穩破壞的依據[2]。但是，復雜的外界條件及SFRC自身的非線性特征使裂紋的動態演化規律研究變得十分困難。

隨著科學技術的不斷發展，聲發射、計算機層析掃描(computed tomography, CT)、數字圖像相關(digital image correlation, DIC)等技術為混凝土的裂紋發展研究提供了新的方式。李杰等[3]研究了混凝土破裂過程中伴隨的聲發射現象，通過建立混凝土破裂過程中內部結構狀態變化(損傷演化)和聲發射特征的對應關系，揭示了混凝土的變形破壞由漸變性發展到突變性。方建銀等[4]基于CT技術研究了混凝土試件靜、動力單軸拉伸和壓縮破壞過程中的裂紋演化規律和強度特征。雷冬等[5]運用DIC技術對混凝土材料表面損傷應變場進行了測量。上述方法雖然可以有效研究混凝土的裂紋發展和損傷演化過程，但聲發射過程常伴隨著噪音干擾，結果容易受去噪方式的影響，難以將細觀破壞定量化；CT技術只是對不同層位CT圖像或剖面圖像的裂紋進行統計，并不能全面反映裂縫的空間分布狀態，且試驗結果因受掃描斷面和掃描次數的影響表現出離散性；DIC技術則著重關注試件表面變形前后的散斑圖像，無法捕捉其內部變形特征，不能全面反映試件變形特征。分形理論的提出為混凝土的損傷破壞研究提供了新的視角，很快在微細觀結構及其受力變形特性等方面得到了廣泛應用。謝和平院士最早將分形理論引入巖石和混凝土研究，現階段分形理論在混凝土研究方面的應用主要包括：一是以分形骨料級配為變量對混凝土配合比設計進行研究；二是對混凝土裂紋的產生和發展過程進行分形計量和表征。李國強等[6]首次應用分形理論，通過分析路面材料骨料級配分形行為推導出骨料的分形級配公式。于江等[7]進行了混凝土梁四點彎曲試驗，并將提取到的梁表面裂紋進行分形計算，研究裂紋分形維數與再生骨料取代率的聯系。趙志浩等[8]進行了鋼筋混凝土梁的受剪試驗，并用計盒維數法分形處理梁的表面裂紋，研究剪跨比和箍筋配筋率對裂紋分形特征的影響。已有研究表明，裂紋分形維數可以很好地描述混凝土受力過程中裂紋和損傷的演化過程。在混凝土損傷破壞過程中，隨著裂紋的產生和擴展，有限元等傳統數值方法往往需要重新生成網格，這不僅工作量巨大,還會因為網格扭曲等問題造成計算過程不收斂。擴展有限元法(extended finite element method， XFEM)在模擬界面、裂紋生長等不連續問題時具有明顯優勢[9]，能夠克服傳統有限元法在諸如裂紋尖端等高應力和變形集中區進行高密度網格劃分所帶來的困難，模擬裂紋擴展時無需重新生成網格，因此在研究混凝土裂紋發展方面得到了廣泛應用[10-11]。

目前，國內外對鋼纖維混凝土的損傷破壞研究多數是通過試驗方法探討鋼纖維對混凝土強度、韌性等宏觀力學性能的影響，而從細觀層次研究鋼纖維混凝土損傷破壞的工作相對較少。為了更深入、更全面地研究鋼纖維混凝土裂紋發展及損傷演化過程，本文以分形理論和擴展有限元法為基礎，采用基于裂紋分形維數計算得到的損傷值對混凝土開裂全過程的裂紋分布進行表征，同時利用擴展有限元法在模擬裂紋擴展時無需對網格進行重新生成的優勢，對SFRC的裂紋發展和損傷演化過程進行研究，并以鋼纖維體積摻量和長度、骨料形狀等重要因素為考察因素，研究其對SFRC損傷演化過程的影響。加深對宏觀尺度上鋼纖維混凝土力學行為的理解，以期能夠更科學合理地描述材料的破壞和失效過程，更準確地模擬和預測材料的力學行為，推動科學研究的發展，實現工程結構的精細化設計和控制，最大程度降低安全風險和經濟成本。

1 分形理論和擴展有限元的基本概念及公式

1.1 基于裂紋分形維數的損傷值

分形(fractal)是數學家Mandelbrot基于自相似性(一個幾何對象局部放大后與其整體相似的性質)提出的，具有以非整數維形式填充空間的形態特征。通過引入分形維數的概念，將分形用數值表示。分形維數是傳統維數(整數維)概念的推廣，是一種度量自然界中復雜形態的新方法。分形維數的計算方法有多種，如Hausdorff維數、相似維數、拓撲維數、計盒維數等。

本文利用計盒維數對混凝土裂紋進行研究，其思想是用邊長為r的nd維立方體(盒子)來覆蓋研究對象，并得到不同邊長值r對應的盒子數N(r)，然后在以ln(1/r)為橫坐標、lnN(r)為縱坐標的雙對數坐標系中得出不同的點(ln(1/r),lnN(r))，最后采用最小二乘法擬合得到的直線斜率即為計盒維數，其計算公式如式(1)所示。

(1)

式中：F為裂紋分布的計盒維數；r為盒子的邊長，以1/rk變化(k=0，1，2，…)；N為用邊長為r的盒子去覆蓋裂紋所需的盒子數。

(2)

式中：Fi、Fj分別代表第i和第j個分析步的裂紋分形維數；n為模擬所需的總分析步數，且m≤n。

1.2 擴展有限元

擴展有限元法是1999年美國西北大學Belytschko等[13]為解決裂紋擴展問題而提出的，其核心思想是改進帶有不連續性質的形函數來反映區域間的間斷，在計算過程中，不連續場的描述完全獨立于網格邊界，在處理斷裂問題方面有較好的優越性。擴展有限元裂紋網格如圖1所示。增強的形函數包括捕捉裂紋尖端奇異性的裂尖漸近函數和表示裂紋表面位移跳躍的階躍函數，見公式(3)。

(3)

圖1 擴展有限元裂紋網格Fig.1 Extended finite element crack mesh

階躍函數H(x)用來反映裂紋面不連續的特性，其具體表達式如式(4)所示。

(4)

裂尖漸進函數Fα(x)用于反映裂紋尖端位移場的不連續性，是以裂尖為原點的極坐標系進行表示，設置裂尖切線方向θ=0，由四個基函數組成，其表達式如式(5)所示。

(5)

常采用水平集法(level set method， LSM)來描述裂紋的增長。用LSM表示裂縫和裂尖的位置，用擴展有限元法計算裂紋擴展速率所需的應力和位移場。

2 模型的建立與驗證

2.1 混凝土立方體試件抗拉細觀模擬

基于文獻[14-16]和蒙特卡洛方法建立混凝土立方體試件二維細觀模型，骨料的體積分數為46.9%，試件尺寸為150 mm×150 mm，圓形骨料粒徑分布范圍為10～28 mm。考慮到二維混凝土細觀模型的網格劃分、計算效率及收斂問題，本文模擬不考慮界面過渡區厚度，認為鋼纖維混凝土細觀模型由骨料、鋼纖維、砂漿三相組成，即認為界面過渡區與砂漿的力學性能基本一致，參考文獻[14]，抗拉強度取3.37 MPa，斷裂能取0.161 76 N/mm。采用ABAQUS程序進行有限元分析，骨料、砂漿采用四節點平面應力單元(CPS4)，鋼纖維采用二節點桁架單元(T2D2)，各組分材料參數[14]見表1，破壞準則選用最大拉應力準則。生成的細觀有限元模型如圖2(a)所示，試件下邊界受到豎直方向的面約束和水平方向的點約束，兩側不受任何約束，試件上邊界采用位移加載方式。

表1 各組分材料參數[14]Table 1 Material parameters of each component[14]

圖2 素混凝土立方體試件細觀有限元模型及破壞圖Fig.2 Mesoscopic finite element model and failure diagrams of plain concrete cube specimens

圖3 素混凝土立方體試件受拉應力-應變曲線Fig.3 Tensile stress-strain curves of plain concrete cube specimens

本文數值模擬得到的混凝土立方體最終受拉破壞現象(見圖2(b))與文獻[14]的受拉破壞現象(見圖2(c))相符。圖3是本文數值模擬和文獻[14]的素混凝土立方體試件受拉應力-應變曲線對比圖，可知，本文的二相(骨料和砂漿)素混凝土立方體抗拉強度為4.53 MPa，與文獻[14]采用三相(骨料、砂漿和界面)模型的抗拉強度(4.43 MPa)誤差為2.26%，小于5%，且二者曲線吻合較好，說明本文的細觀有限元模型具有良好的準確性。

2.2 切口梁三點彎曲試驗裂紋擴展模擬

參考文獻[17]的切口梁三點彎曲試驗建立宏觀有限元模型，切口梁試件尺寸見圖4，混凝土參數見表2。切口梁的尺寸為1 000 mm×200 mm×120 mm，預設裂紋長度為80 mm，跨中受集中力作用。為更精確地模擬裂紋的擴展和演化，以預制裂紋為中心劃分為3個區域，中間區域采用高密度網格劃分，兩側區域采用較粗的網格劃分，整個區域均采用四節點平面應力單元(CPS4)，破壞準則選用最大拉應力準則。

表2 混凝土及材料參數Table 2 Concrete and material parameters

本文得到的荷載-裂縫張開口位移(F-CMOD)曲線與文獻[17]的試驗曲線對比如圖5所示，切口梁抗折強度峰值為4.316 kN，與試驗值4.426 kN誤差為2.49%，小于5%，且二者曲線吻合較好。本文二維模擬得到的最終破壞現象如圖6(a)所示，與文獻[17]三維模擬的最終破壞現象(見圖6(b))相一致，說明本文的二維宏觀有限元模型具有足夠的可靠性。

圖4 切口梁試件尺寸Fig.4 Size of notched beam specimen

圖5 素混凝土切口梁荷載-裂縫張開口位移曲線Fig.5 F-CMOD curves of plain concrete notched beams

圖6 素混凝土切口梁破壞圖Fig.6 Damage diagrams of plain concrete notched beams

3 參數化分析

以上述混凝土立方體無預制裂紋抗拉試驗和切口梁三點彎曲試驗數值模擬與相關試驗測試結果比較驗證為基礎，本節探究鋼纖維摻量和長度等重要參數變化對鋼纖維混凝土損傷演化過程的影響。

3.1 SFRC立方體抗拉試驗損傷破壞分析

以鋼纖維體積摻量(0%、0.5%、1.0%)、鋼纖維長度(25 mm、35 mm、45 mm)和骨料形狀(圓形、橢圓形、多邊形)為考察變量，研究其對SFRC立方體抗拉強度及裂紋損傷演化過程的影響。

3.1.1 鋼纖維摻量的影響

選取截面直徑為0.55 mm、長度為35 mm的平直型鋼纖維，并參考文獻[18-19]給出的方法計算鋼纖維數目，可得不同鋼纖維摻量的SFRC細觀有限元模型，如圖7所示。

圖8為鋼纖維體積摻量為0.5%的混凝土立方體受拉過程中不同分析步下的裂紋發展圖，根據計盒維數和損傷值的計算方法，可得如表3所示的各分析步對應裂紋的分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，將應力、裂紋分形維數、損傷值與應變的對應關系由3Y軸圖表示，代表素混凝土立方體受拉損傷過程。根據相同方法計算鋼纖維體積摻量為0%和1.0%的SFRC各分析步對應裂紋的分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，繪制3Y軸圖，如圖9所示。

圖7 不同鋼纖維體積摻量的SFRC細觀有限元模型Fig.7 Mesoscopic finite element model of SFRC with different steel fiber volume content

圖8 鋼纖維混凝土立方體受拉裂紋發展圖(鋼纖維體積摻量為0.5%)Fig.8 Development diagrams of tensile crack of SFRC cube (steel fiber volume content is 0.5%)

從圖9可知,鋼纖維體積摻量為0.5%和1.0%的SFRC立方體抗拉強度分別為5.09 MPa和5.43 MPa，相較于素混凝土的立方體抗拉強度4.53 MPa分別提高了12.4%和19.9%，且相應的峰值應變也隨著摻量的增加而增大。當鋼纖維體積摻量為0.5%時，裂紋分形維數趨于平穩的時刻(此時刻之前，裂紋的分形維數變化明顯，說明裂紋損傷路徑在不斷發展；此時刻之后，裂紋的分形維數趨于平穩，說明裂紋損傷演化的路徑基本形成，如圖8(f)所示)，混凝土應力值剛好達到峰值，損傷值為0.944。隨著鋼纖維摻量的增加，裂紋分形維數趨于平穩的時刻相較于SFRC的應力峰值點不斷提前，說明在裂紋分形維數趨于平穩(裂紋損傷路徑基本形成)后的階段，SFRC的力學性能不會立即退化。這是由于此階段鋼纖維與混凝土基體間的橋接作用(鋼纖維和混凝土基質間的粘結力和摩擦力)在承受拉應力，減緩了SFRC的損傷破壞過程。從損傷值曲線也可看出，損傷值隨著鋼纖維摻量的增加而減小。

表3 損傷發展過程中各分析步對應的參數值Table 3 Parameter values corresponding to each analysis step in the damage development process

圖9 不同鋼纖維體積摻量的SFRC立方體損傷過程Fig.9 Damage process of SFRC cubes with different steel fiber volume content

3.1.2 鋼纖維長度的影響

以0.5%體積摻量的鋼纖維(截面直徑為0.55 mm、長度為35 mm的平直型鋼纖維)為基準，鋼纖維長度分別取25 mm、35 mm、45 mm。按上述建模方法可得不同鋼纖維長度的SFRC細觀有限元模型，如圖10所示。

圖10 不同鋼纖維長度的SFRC細觀有限元模型Fig.10 Mesoscopic finite element model of SFRC with different steel fiber lengths

圖11 不同鋼纖維長度的SFRC立方體損傷過程Fig.11 Damage process of SFRC cubes with different steel fiber lengths

根據上述分形維數和損傷值的計算方法，得到不同鋼纖維長度的SFRC各分析步對應的裂紋分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，將其繪制為3Y軸圖，如圖11所示。

由圖11可知，鋼纖維長度為35 mm和45 mm的SFRC的立方體抗拉強度分別為5.09 MPa和5.27 MPa，相較于鋼纖維長度為25 mm的SFRC的立方體抗拉強度4.94 MPa分別提高了3.0%和6.7%，且相應的峰值應變也隨著鋼纖維長度的增加而增大。隨著鋼纖維長度的增加，裂紋分形維數趨于平穩的時刻相較于SFRC的應力峰值點不斷提前，SFRC的損傷破壞過程得到延緩。這是因為隨著鋼纖維長度的增加，鋼纖維與混凝土基體的粘結力和摩擦力增大，橋接作用增強，延緩了SFRC的損傷演化。

3.1.3 骨料形狀的影響

以圓形骨料、0.5%體積摻量的鋼纖維(截面直徑為0.55 mm、長度為35 mm的平直型鋼纖維)為基準，骨料形狀取橢圓形和不規則多邊形，分別表示卵石和碎石，按照與圓形骨料總面積相等的原則，換算成相應數量的橢圓形骨料以及不規則多邊形骨料，研究骨料形狀對SFRC立方體抗拉強度和裂紋損傷演化的影響。按上述建模方法可得不同骨料形狀的SFRC細觀有限元模型，如圖12所示。

根據上述分形維數和損傷值的計算方法，得到不同骨料形狀的SFRC各分析步對應的裂紋分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，將其繪制為3Y軸圖，如圖13所示。

圖12 不同骨料形狀的SFRC細觀有限元模型Fig.12 Mesoscopic finite element model of SFRC with different aggregate shapes

圖13 不同骨料形狀的SFRC立方體損傷過程Fig.13 Damage process of SFRC cubes with different aggregate shapes

由圖13可知，采用橢圓形和不規則多邊形骨料的SFRC的立方體抗拉強度分別為5.19 MPa和5.24 MPa。相較于采用圓形骨料的SFRC的立方體抗拉強度5.09 MPa分別提高了2.0%和2.9%，且峰值應變均大于采用圓形骨料的SFRC。采用橢圓形和不規則多邊形骨料的SFRC，其裂紋分形維數趨于平緩的時刻均早于采用圓形骨料的SFRC，說明SFRC的損傷破壞得到了延緩。這是因為采用橢圓形和不規則多邊形的骨料，相較于圓形骨料，骨料界面增加，而裂紋萌生和發展均發生在薄弱的界面部位，骨料界面的增加，使SFRC的整體破壞路徑增多，裂紋的擴展路徑增多，則裂紋發展所需的能量亦增加，從而減緩了SFRC的損傷破壞過程。

3.2 SFRC切口梁三點彎曲試驗損傷破壞分析

以鋼纖維體積摻量(0%、0.5%、1.0%)、預設裂紋縫高比(0.3、0.4、0.5)和預制裂紋位置(距跨中0 mm、50 mm、100 mm)為變量，研究其對SFRC切口梁抗折失效荷載及裂紋損傷演化過程的影響。

3.2.1 鋼纖維摻量的影響

鋼纖維尺寸、類型均與前述相同，圖14為鋼纖維體積摻量為0%的切口梁抗折過程中不同分析步下的裂紋發展圖，根據計盒維數和損傷值的計算方法，可得如表4所示各分析步對應的裂紋分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，將應力、裂紋分形維數、損傷值與應變的對應關系由3Y軸圖表示，代表素混凝土切口梁抗折損傷過程。根據相同方法計算鋼纖維體積摻量為0.5%和1.0%的SFRC各分析步對應裂紋的分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，繪制3Y軸圖，如圖15所示。

圖14 素混凝土切口梁抗折裂紋發展圖Fig.14 Development diagrams of flexural crack of plain concrete notched beams

由圖15可知,鋼纖維體積摻量為0.5%和1.0%的SFRC切口梁抗折強度分別為4.801 kN和5.345 kN，相較于鋼纖維體積摻量為0%的SFRC切口梁抗折強度4.316 kN分別提高了11.2%和23.8%，說明鋼纖維摻量的增加可以提高切口梁的抗折強度。由裂紋分形維數曲線和損傷值曲線可知，隨著鋼纖維摻量的增加，SFRC切口梁損傷破壞過程得到了較小程度的延緩，這是因為鋼纖維在混凝土基體中是亂向隨機分布的，并不都集中在預制裂縫附近，在裂紋擴展路徑基本形成后，不同摻量下的鋼纖維橋接作用相差不大，從而SFRC切口梁的損傷演化過程得到較小程度的延緩。

表4 損傷發展過程中各分析步對應的參數值Table 4 Parameter values corresponding to each analysis step in the damage development process

3.2.2 初始縫高比的影響

以0.5%體積摻量的鋼纖維為基準，初始縫高比分別取0.3、0.4、0.5，研究初始縫高比對SFRC切口梁抗折強度和裂紋損傷演化的影響。根據上述分形維數和損傷值的計算方法，得到不同初始縫高比的SFRC切口梁各分析步對應的裂紋分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，將其繪制為3Y軸圖，如圖16所示。

由圖16可知,初始縫高比為0.3和0.4的SFRC切口梁抗折強度分別為6.815 kN和4.801 kN，相較于初始縫高比為0.5的SFRC切口梁抗折強度3.273 kN分別提高了108.2%和46.7%，說明隨著初始縫高比的增大，切口梁的整體剛度減小，導致切口梁的抗折強度明顯降低。由裂紋分形維數曲線和損傷值曲線可知，不同初始縫高比的裂紋分形維數變化基本一致，但隨著初始縫高比的增加，損傷值有所降低，這是縫高比的增加使得切口梁的整體剛度減小引起的。

圖15 不同鋼纖維體積摻量的SFRC切口梁損傷過程Fig.15 Damage process of SFRC notched beams with different steel fiber volume content

圖16 不同初始縫高比的SFRC切口梁損傷過程Fig.16 Damage process of SFRC notched beams with different initial crack height ratios

圖17 不同初始裂縫位置的SFRC切口梁損傷過程Fig.17 Damage process of SFRC notched beams with different initial crack positions

3.2.3 初始裂紋位置的影響

以0.5%體積摻量的鋼纖維、0.4的初始縫高比為基準，研究初始裂紋位置對SFRC切口梁抗折強度和裂紋損傷演化的影響。根據上述分形維數和損傷值的計算方法，得到不同初始裂紋位置的SFRC切口梁各分析步對應的裂紋分形維數和基于裂紋分形維數的損傷值，將其繪制為3Y軸圖，如圖17所示。

由圖17可知，初始裂紋距跨中50 mm和100 mm的SFRC切口梁抗折強度分別為5.376 kN和5.759 kN，相較于初始裂紋位于距跨中0 mm的SFRC切口梁的抗折強度4.801 kN分別提高了12.0%和20.0%。由裂紋分形維數曲線及抗折強度曲線知，隨著預制裂紋距跨中距離的增加，裂紋分形維數趨于平穩的時刻相較于抗折強度峰值不斷提前，裂紋的損傷演化過程有所減緩。這是由于距跨中的距離越遠，所在位置承受的拉應力就越小，所以預制裂紋距跨中位置越遠，SFRC損傷演化相對越慢。

4 結 論

(1)從各試件的損傷過程圖可以看出，裂紋分形維數曲線和損傷值曲線具有較好的同步對應關系，且裂紋分形維數趨于平穩的時刻(裂紋擴展路徑基本形成)基本都發生在應力曲線和抗折強度曲線的峰值及峰值前一段時間。此時刻之前，裂紋不斷萌生，交匯，擴展，材料處于未劣化階段，而在此時刻之后，裂紋擴展路徑基本形成，材料損傷較大，材料開始表現出力學性能劣化等行為，說明基于裂紋分形維數的損傷值可以很好地反映SFRC的損傷變化過程。通過對數值計算結果進行統計分析表明：SFRC立方體試件抗拉試驗達到應力峰值時，損傷值一般在0.870～0.944；SFRC切口梁三點彎曲試驗抗折強度達到荷載峰值時，損傷值一般在0.587～0.737。

(2)鋼纖維體積摻量、長度的增加使鋼纖維和混凝土基體間的橋接作用增強，從而延緩了SFRC的損傷演化過程；橢圓形和不規則多邊形骨料使SFRC中薄弱的骨料界面增加，使得裂紋擴展路徑增多，裂紋發展過程所需的能量亦增大，從而延緩了SFRC的損傷演化過程。

(3)鋼纖維體積摻量的增加、初始縫高比的減小和初始裂縫距跨中距離的增加都可以增加SFRC切口梁的抗折強度，并減緩其損傷演化過程。